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高量15-时间平移和时间反演

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15 时间 平移 反演
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1§ 21 时间平移和时间反演§ 21间平移一 、量子力学中的时空观在量子力学中 , 系统或粒子的空间坐标是物理量 ,有厄米算符与之对应 , 有本征值和本征矢量 , 但是时间却不是物理量 , 没有算符与之对应 , 它在理论中的地位只是一个实数参数 , 所以系统的哈密顿量在时间变换方面的不变性或对称性 , 与对空间变换的不变性是不完全一样的 。2二、时间平移操作以及对态函数和算符的作用在位置表象中1. 时间平移算符及对态函数的作用设系统处于某一含时态 中,其态函数满足()( tt r )(),ˆˆ(ˆ)(  P,R态的时间平移态 是一个运动变化完全与 相同,但全面推迟 时间 发生的态,即)(t )(t)(t )()(  )()(   作用于时间参量上的时间平移操作,即)(Q  (定义 为作用于时间函数上的时间平移算符,这是一个函数空间上的幺正算符,其对函数的作用可写为)(ˆ D),(])(,[),()(ˆ),( 1    时间平移算符对其他算符的作用时间平移 为),ˆˆ(ˆ ,R ),ˆˆ(ˆ ,R)(),ˆˆ(ˆ)(ˆ),ˆˆ(ˆ 1   ,))(,ˆˆ(ˆ 1  P,R ),ˆˆ(ˆ  ,)(ˆˆ)(ˆˆ 1    )(ˆˆ)(ˆˆ 1    (ˆ D 作用于 ()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ)()(ˆ)(ˆ)(ˆ 11   即 )()(ˆ)(  此式一般来说与原来 为 )(ˆ 同,因此 不一定是系统一个可能实现的状态。)(ˆ (t5三、哈密顿具有时间平移对称性的情况具有时间平移对称性,即如果系统的 (ˆ)(ˆ   对一切 成立,则 是系统的一个可能的状态,)()(ˆ)(  哈密顿具有时间平移的对称性即是要求它不明显依赖于时间,不显含时间的哈密顿本身是一个守恒量,因此说:系统的哈密顿如果具有时间平移的不变性 )(ˆ)(ˆ  则导致系统的能量守恒。6注意: 时间平移与时间演化是两个不同的概念 。 波函数经时间平移后不一定再满足 而时间演化算符作用后的波函数要服从时间平移算符:  )(ˆ1 )0,(   ( 不显含时间)以: )(ˆ   7§ 21间反演一、态函数的时间反演变换1.时间反演算符0ˆ实算符(不含虚数),且不含时,无自旋。系统的态满足 ˆ),(ˆ),(  ),(ˆ),()(   t:两边取复共轭: ),(ˆ),( **  8令 ),(ˆ),(),(0*  则 为 时间反演态 , 称为 时间反演算符 。每一个含时态都有一个时间反演态与之对应,当哈密顿在时间反演下不变时,时间反演态与原状态满足相同的 ,(  0ˆˆˆ  1ˆˆ 00 动量算符 和轨道角动量ˆ ˆˆˆˆ 100  ˆˆˆˆ 100  ˆˆˆˆ 100  取任意函数 ),( ,有)],([ˆ),(ˆˆˆ *0100 x   ),(ˆ),( x   所以,ˆˆˆ 100 10如果无自旋系统的 不显含时间,又是动量ˆ 100 ˆˆˆ的二次式,则有此时该系统(及其哈密顿)具有 时间反演不变性 或时间反演对称性。这时系统的每一个含时态的时间反演态也是系统的一个可能实现的状态。11在经典力学中,若单粒子所受的外力 只是位置的函数而与速度无关,则其运动方程满足牛顿第二定律,即)F(r)r 22 )(时间反演态t 换成 F ( r )r 22 )(()(  )(足与 相同的运动方程。12反演态的物理图象:当粒子从初始态 经过 时间运动到 点 , 动量为 时 , 则其时间反演态如以 为初始态 ,经过时间 后 , 粒子将按原路径回到 , 而那时动量为 , 情况与将原过程拍成电影倒过来放映一样 。)( ii p,r t ( ff p,r t 3 )(),( 在量子力学中,以无自旋粒子系统为例,原来的含时态),( 的最一般解是),( ),( 与其时间反演态 两者都满足同一个式中)()(ˆ rr H   ,2,1 nd 简并度。时间反演态 :  )(),(),(ˆ),( ***0 ),(),(  可见:14),(  中不含虚数的情况下, 虽然仍旧满足 原 不一定等于原过程的倒放。其原因是:① 经典力学只涉及实数,而量子力学涉及复数;② 量子力学中有状态叠加原理;③ 与 之间有较为复杂的关系。)()(* 53. 时间反演算符的数学性质无自旋系统的时间反演算符可以写成10 ˆˆ ),(),(ˆ *  ),(),(1  不寻常的数学性质:( 1) 时间反演算符0ˆ是 反线性算符 。它虽然满足2010210 ˆˆ)(ˆ  但是 00*0 ˆˆ)(ˆ 16ˆT( 2)时间反演算符 ( )在单一空间的函数空间中不存在厄米共轭算符。  )()()(ˆ)()()](ˆ[ **** 根据定义, 厄米共轭算符 ˆ无论 是什么算符,都不能上式成立。所以 不存在。但 足*** ),(),(),()ˆ,ˆ(   时间反演算符是反幺正算符 。17( 3)由于不存在厄米共轭, 时间反演算符不是厄米算符 ,所以没有物理量与之对应,没有守恒律与之对应4. 1)反线性算符对左右矢的作用:对线性算符,      A     对反线性算符, ?=例如:可以设 a  则对反线性算符 A ,有*)(    *)(     )(18    若对任意 , ,      成立,则 )()( *   )()( ,且有*那么必须要求不符合矢量的任意性,所以对反线性算符,所以对反线性算符要分别表示: A,  ,2)时间反演算符对态矢量的作用:在 自旋系统的时间反演算符0ˆ,(ˆ),(),( 0*  ()(, *0  利用: 1 d 左乘 r 并积分,得(0   在 T 仍可写成10 ()(  左矢形式    ()()(       d( 3) *”:   用这个符号可以把   写成   所以  ),()ˆ,ˆ(  应1K 1  ,利用 有则以上关系只有处于左右矢之间时才有意义。由此可见反幺正算符与幺正算符的异同之处。1,     1)(,  置算符 ,动量算符和轨道角动量算符的时间反演变换为100 P 100 L 100 旋 1/2粒子系统的时间反演算符象来讨论,自旋 1/2粒子的时间反演算符满足的 应满足 110 其中 , U 22是一个 矩阵,为自旋空间中的算符。1*11001    1001201102 002 xS zS 是实矩阵,而 是纯虚的,所以 应满足 1 *1 U S   1才能使   1*1  0110  01101即可时间反演算符 为 12  T 1满足24四、哈密顿本征函数的时间反演态在时间反演下不变,有时可以讨论哈密顿本征函数的时间反演。如果态不含时,时间反演实际上是 起作 )(),(  由于定态 中的时间因子用 — 取复共轭。)()(ˆ rr H  对无自旋粒子,对 两边取复共轭,)()(ˆ ** rr H  得 )(* )( 的时间反演态,可见, 当哈密顿量具有时间反演不变性时,它的本征函数的时间反演仍是其本征函数,而本征值不变。25§ 21表示和复表示介绍了 如何判断他们之间的关系属于哪种类型。主要内容:讨论了一个空间对称变换群 {Q}的 d 维表示矩阵 D(Q)与其复共轭表示 D*(Q)之间的关系 ,并重点一 、变换算符的矩阵表示  {D(Q)}是群 {Q}的一组幺正的不可约表示,其基函数为,其中 i=1,2,3,…, d j ()()()(ˆ 26两边取复共轭,得 j ()()()(ˆ **** 在上式中,   0* ˆ定义为:在位置及 表象中将算符中的 ˆˆ  ˆˆ  ˆˆ S * S * S *所以因此,空间对称变换中的平移,转动和反演算符都满足ˆ * 27例如: )(* )(ˆ)(ˆ    ii 所以有 ()()()(ˆ*** * )(* 阵元为 的一组矩阵一组幺正的不可约表示, )(* 基函数是28类型 1: 对所有的 , 全是实矩阵,二、表示矩阵的分类Q )(与一个实表示等价,这种表示称为 实表示 ;这时可以说 是实质上的实表示。)(表示 不全是实矩阵,但与实表示等价时,)((* 价。29类型 实表示 。)((* 等价,类型 3.)((* 价,但不存在一个实表示与之等价,)( 复表示 。则30§ 21间反演引起的附加简并一 、附加简并的一组本征函数(共 d 个) 是其对称性群 {Q}的d 维幺正不可约表示 D(Q)的基函数已知某一特定能级 H  ˆ ,2,1()(ˆ 31将证明 : 这一能级的简并度只有 d 和 2d 两种可能。可以发生后一种情况,有时间反演对称性时,肯定是前者;当有时间反演对称性时,在一定条件下,这时时间反演引起了多一倍的 附加简并 。32附加简并的解释 :有时间反演对称性时,它的任意一个本征函数如果这些时间反演态都在原来的表示空间之内,则能级 d。如果所有的时间反演态都在原来的表示空间之外,又形成一个新的 个能级的简并度是 2d。i *0  的时间反演 也是同一能级的本征函数。33二、结论三、例子对于没有自旋的系统 , 当表示 D(Q)属于类型 1时不发生附加简并 , 而当表示 D(Q)属于类型 2或类型 3时 ,则发生附加简并 。ˆ21ˆ  ˆ哈密顿具有平移不变性。34一维位形空间中的平移算符 )(Q 的作用为  (函数空间 )中的平移算符 )(ˆ D 及其作用为)(ˆ λ )()()(ˆ   )(是一维的,其形式取是一个单参量的连续  )()( ( k = 实数)35)()( (*)( × 1矩阵。 与 不等价,)()( 于类型 3。因此表示所以有附加简并,每一能级的简并度为 2。)()( (*)( 表示基矢( 1维)分别是i k )( i k )(乘以时间因子  表示向正负两个方向传播的平面波 。362.碱金属原子具有空间转动性,转动群的表示属于类型 1,所以不发生附加简并,能级 l+1。(),( ,*  Y  ),(*  ),( D ),( * D ),(* 就不会有附加简并。是完全相同的表示空间,而所以,37状态 与 两者的差别是平均概率流密度反向,相当于价电子在原子实外面的转动反向,符合时间反演的物理图象。*
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