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小波变换的强反演公式_图文

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第39卷 第6期 陕西师范大学学报(自然科学版) 201 1年11月 9 2章编号:1672—4291(2011)06—0001—05 小波变换的强反演公式 李万社, 雷娟侠, 杨 莹 (陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062) 摘 要:基于规范窗口究了小波变换的性质和反演公式.对 任意的一个厂∈L (R),通过厂的正规积分小波变换} ,证明了{ ) 依 L。(R)中的范数收敛于,,从而得到了小波变换的强反演公式. 关键词:积分小波变换;小波变换;强反演公式;窗口图分类号:文献标志码:A of I i 10062,n of f, (R),a ) 1 is by it is to in of f iS R 233续窗口离散窗口 都是时一频分析的重要工具, 其基本思想与方法是D.的_】],离散窗口例子,通常称为.20世纪8小波变换应运而生,它继承和发展了部化思想,同时克服了的一些缺陷,它是一种很理想的局部分析的数学 工具.文献[5—8]研究了小波变换及其传统意义上的 反演公式,文献[8]研究了正规化积分小波变换的连 续性和弱反演公式.关于窗口、强反演公式在文献[9得到解决.本文将 窗口变换上,进一步研究小波变换的性质,并建立其强 反演公式. 1 预备知识 先给出本文需要的定义和相关结论. 定义1 设 ∈L (R)n L (R)满足 0,V(6,口)∈ R×R .值得指出的是:传统的积分小波变换定义为 c 一 ( ) V(6,n)E R×R . 在定义2中,我们加入了“正规化因子” _= ,从而使得由(3)式定义的算子 是 ~/2 (gr)a 等距线性算子,保持了换的保范性.同时,使得反演公式与(3)式具有对 称的形式. 定理1 设 ∈L (R)n L。(R)是小波,厂∈ L (R)则 (i)T f:R×R 一( b∈R,(T 厂)(6,·)在E(届,B)上一 致连续; (n∈R ,( 厂)(·,口):R—(f:R。一(V) f E 12),且II f z; ( f, g)一(,,g),Vf、g E ). 定理2 设 ∈L (R)n L (R)是一个小波, {A } 是任意一个严格增加且趋于。。的正数列, 厂∈L (R),定义D 一{(6,n):1 b l≤A ,A ≤ },则 (i)向量值函数H:(6, )一( 6,a) 是从D 到L。(R)中的其 =6,口)(ii) 一,1I。一O(n— 定理2的结论(可以写为 厂一T 6,口)吼 (4) 一 这就是积分小波变换的反演公式,其中的极限是 L。一范数极限,即强极限.因此,(4)式又可记为 f一(s) 厂)(6,n)吼.。(5) 一 因此,当 充分大时,有 f≈ 厂)(6,a)吼 值得一提的是:公式(5)并不意味着 厂( )=:=厂)(6,n)吼 (t)一 V a.e.t E R, 尽管存在子列{m)使得 )一 ∽= (Ⅱ(T ,)· D (6,n), ) ),V a.e.t E R. 下面是弱收敛意义的逐点反演公式. 定理3 设 ∈L (R) (R)是一个小波, {A ) 是任一严格增加且趋于。。的正数列,厂∈ L。(R),定义D ::={(6,口):I b 1≤A ,A ≤l a l≤ A },且 (£)一厂)(6,口) ,。( )V t E R, (6) 则 (1) E L。(R)( 一1,2,…); (2){ ) 弱收敛于厂. 2 主要结果及其证明 由定理2和定理3可知:{F } 依范数收敛于 ,,{ ) 弱收敛于厂.下面进一步研究{ ) 是 否也可以依范数收敛于厂. , 定理4 设 ∈(L (R)n L。(R))\{0)是一个 万方数据第6期 李万社等:小波变换的强反演公式 3 小波且在任意一个有限区间上有界,{A ) 是任一 严格增加且趋于。。的正数列,定义 :=={(6,n): l b{≤A , ≤I n l≤A ),则V f E ),有 F ( )一 厂)(6,a) . (£)V a.e.t E R. 证明 根据定理3知,由公式(6)定义的函数 ∈L (R).只需证明:在任一有限区间[一M,M] 上有F ( )一 (£),a.e.设 l gt(x)I≤B , 所以,V(6,口)E D ,有 ( 厂)(6,口)一( 厂)(6,a)(忌一(11) 又因为V(6,n)E D ,有 l( 厂)(6,n)一()(6,n)I≤ 2\\,\l (惫===1,2,…), 从而,根据(11)式及rw a 厂)(6,a)一(Tw a ,)(6,口)I (是 (12) (Zw 6,口)一( ,)(6,n)j (忌一 ’(13) 进而由(10)及(12)式知 c 捌 一 D D 且 万方数据4 陕西师范大学学报(自然科学版) 第39卷 c … n 一 c c ( ,)(6,n)f·『l( ) 一 . ll (T 厂)(6,n)w 6,a)I· n II 1· 1,『I 『l 一 【l m(D )+ l a l 1· 1 llⅡl( ( )一 、 丽1 n… 一 一 (T 6,口)I 一。。). 可知F 一F ( 一从而,存在子列{F ) 使 得当i— £)一F ( ),V a.e.t E R. 根据(10)与(13)式知 ∽(6' 一 c ,.(t))(6, ㈤一 (T 厂)(6,口) ,。( )+ ( 厂)(6,口) ,。(£)一 (Tw a 厂)(6,口)]( 厂)(6,口)1.) ( )一 D 吼, (£)lI 盯f( (6'n)F (6, · D 1I ( )lI II f II l( )一 )l 1 2+(,,2. D D (Tw a ,)(6,口)一 (T (㈨1 2≤ . __II f I 一 f a f 。 … ‘ 佩 + ( 厂)(6,口)一 ( 厂)(6,&)l O(). I 其中D 一{(b,a):1 b l≤A ,A ≤l a 1≤A }, {A ) 是任一严格增加且趋于∞的正数列.从而, V t E R,有 w a ,)(6,口)( ) (t)rr ,)(6,口) , ( )一∞). 因此 ( )一 ( )(七一。。),V t E R. 从而 t(t)一 (t)(i—O(3),V t E R. (14) 由(9)式知F (£)一 (£),V a.e.t E R.再由 )一 ( )( 一。。),V a.e.t E R 可得F (£)= ( ),V a.e.t E R,即 (£)=F 厂)(6,a) ,。( ) 一1,2,…),V a.e.t E R. 推论2 设 ∈(L (R)n L (R))\{0)是一个 小波,{A } 是任意一个严格增加且趋于。。的正 数列,定义D 一{(6,n):1 b l≤A ,A ≤l a l≤ A ),则V f E L (R),有 £)一 ,)(6,口)吼, ( )V a.e.t E R, 则 ∈L (R)( 一1,2,..·)且{ ) 依范数收敛于 证明 由推论1及定理2知. 推论3 设 ∈(L (R)N L (R))\{0)是一个 小波,{A ) 是任意一个严格增加且趋于列,定义D 一{(6,口):l b l≤A ,A ≤l a I≤ A ),则V f E L (R),存在严格递增的自然数列 {n(k)) 使得 ( )一l(T 厂)(b,n) , (£)— ∞n(k) V a.e.t E R. ⅡD ,,I●I\ ⅡD ,,●●●\ ⅡD Ⅱ 万方数据第6期 李万社等:小波变换的强反演公式 5 3 结语 本文将窗口公式拓展到小波变换上,并研究了 演公式.对任意一个厂∈L (R),证明了{ ) 按 L (R)中的范数收敛于而得到了函数,∈L。(R) 的积分小波变换的强、弱反演公式是一致的. 参考文献: [1].of ]. 946,93(3):429—457. [2] P,J]。004,45(8):3362—3378. [3] E, D.On a of o— ].004,345:153—161. [4] G,.].004,356(5):2001—2023. [5]].011,31(2): 228—248. [6]i on ].011,217(24):10157. [7]of in ].010,29(3):330—353. [8] N.小波与傅里叶分析基础 [M].芮国胜,康健,译.北京:电子工业出版社,2007. [9],,.on a ].2011,217(25):9387—9396. [1O]曹怀信,李卫华.正规积分小波变换及其连续性[J]. 陕西师范大学学报:自然科学版,2002,30(1):1[11]曹怀信,赵书改.规范窗口值域刻画[J].陕西师范大学学报:自然科学版, 2006,34(2):1[12]刘琴,刘楠,曹怀信.规范窗口 式[J],纺织高校基础科学学报,2009,22(4),409—04. [13].实分析与复分析[M].戴牧民,译.北京:机 械工业出版社,2006. [14].].999. [15] K.to ].992. [责任编辑张惠民] 中国高校科技期刊研究会第15次年会暨优秀团队及 优秀个人颁奖大会在南京市举行 中国高校科技期刊研究会第15次年会暨优秀团队及优秀个人颁奖大会于1市隆重举行,来自全国高等院校科技期刊编辑部的580多位代表参加会议。教育部科技司、中共中央宣传 部出版局、新闻出版总署新闻报刊司等部门负责同志出席大会。大会开幕式和颁奖大会1,中国高校科技期刊研究会副理事长兼秘书长郑进宝、副理事长柳建乔主持大会,教育部科学技术司邹晖 副处长宣读《教育部科技司关于公布2011年中国高校科技期刊优秀团队和优秀个人评选结果的通知》(教技 司[2011-]331号)并讲话。为了充分肯定高校科技期刊编辑出版单位、编辑出版工作者的创新精神、辛勤努 力和突出贡献,稳定并壮大编辑队伍,吸引更多高层次人才到高校科技期刊工作,鼓励团队合作、促进学风建 设,教育部科技司主持开展了这次评选活动,共评出高校科技期刊优秀团队5出主编30位、优秀编辑 70位,大会进行了颁奖。《陕西师范大学学报》(自然科学版)常务副主编张惠民编审被评为“中国高校科技 期刊杰出主编”,获得了教育部科技司颁发的荣誉证书。中国高校科技期刊研究会理事长颜帅作评奖总结, 中共中央宣传部出版局戴齐鸣主任、新闻出版总署新闻报刊司董毅敏处长就当前学习贯彻党的十七届六中 全会会议精神、文化体制改革、高校科技期刊的改革创新等作了讲话。 中国高校科技期刊研究会第15次年会举办了大会报告、主编及编辑部负责人论坛、数字出版和版权论 坛、青年编辑论坛、军队专委会分会场、农业专委会分会场共6场学术交流活动,报告和发言就高校科技期刊 功能定位与创新发展、科技期刊的多元化交流和传播、如何打造精品科技期刊、、数字出版中的信息网络传播权保护、国际学术出版新动态和学术期刊数字化现状分析、青年编辑知识结 构与职业规划等内容进行了深入交流。中国高校科技期刊研究会六届六次常务理事会和六届三次理事会议 同时召开,会议研究了人事变更,审议了2(豳 风) 万方数据小波变换的强反演公式作者: 李万社, 雷娟侠, 杨莹作者单位: 陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安,710062刊名: 陕西师范大学学报:自然科学版英文刊名: (期): 2011,39(6)参考文献(15条) of 946(03) P;文期刊] 2004(08) E; D On a of G; 文期刊] 2004(05)011(02)i on 011(24)of in 文期刊] 2010(03) N;芮国胜;康健 小波与傅里叶分析基础 ;; on a 011(25)卫华 正规积分小波变换及其连续性[期刊论文]然科学版) 2002(01)书改 规范窗口刊论文]然科学版) 2006(02)楠;曹怀信 规范窗口刊论文]009(04);戴牧民 实分析与复分析 K to 992本文链接:
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