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利用反演变换证明多圆问题

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利用 反演 变换 证明 问题
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利 用 反 演 变 换 证 明 多  圆 问 题潘   铁(天 津 市 实 验 中 学 ,300074)收 稿 日 期 :2008 - 01 - 18(本 讲 适 合 高 中 )在 所 要 证 明 的 平 面 几 何 问 题 中 有 多 个 圆出 现 时 ,不 妨 利 用 反 演 变 换 ,将 圆 的 问 题 转 化为 直 线 问 题 来 研 究 知 识 简 介1. 1   反 演 的 定 义已 知 一 圆 C ,圆 心 为 O ,半 径 为 r. 如 果P 与 P′ 在 过 圆 心 O 的 直 线 上 ,且 =则 称 P 与 P′ 关 于 O 互 为 反 演 2   反 演 的 性 质定 理 1   除 反 演 中 心 外 ,平 面 上 的 每 一个 点 ,都 有 唯 一 的 反 演 点 ,且 这 种 关 系 是 对 称的 ,即 如 果 点 P 是 P′ 的 反 演 点 ,那 么 , P′ 也 是P 的 反 演 点 . 位 于 反 演 圆 上 的 点 ,保 持 在 原处 ;位 于 反 演 圆 内 的 点 ,变 换 为 圆 外 部 的 点 ;位 于 反 演 圆 外 的 点 ,变 换 为 圆 内 部 的 点 2   设 P 为 反 演 圆 O ( r) 外 的 一 点 的 反 演 点 P′ 是 P 到 圆 的 切 线 的 切点 连 线 的 交 点 1、 2 的 证 明 略 3   任 意 一 条 不 过 反 演 中 心 的 直线 ,它 的 反 形 是 经 过 反 演 中 心 的 圆 ,反 之 亦然 . 特 别 地 ,过 反 演 中 心 相 交 的 圆 ,变 为 不 过反 演 中 心 的 相 交 直 线 证 明 :如 图 1 ,过O 引 直 线 l 的 垂 线 C 为 垂 足 , C′ 为C 的 反 演 点 . 在 直 线l 上 任 取 一 点 M , M′为 M 的 反 演 点 ,则= = 于 是 , M、 M′ 、 C′ 、 C 四 点 共 圆 ,∠ C′ = 90° 的 任 意 性 可 知 , l 的 反 形 是 以 直 径 的 圆 4   不 过 反 演 中 心 的 圆 ,它 的 反 形是 一 个 圆 ,反 演 中 心 是 这 两 个 互 为 反 形 的 圆的 一 个 位 似 中 心 ,任 一 对 反 演 点 是 逆 对 应 点 :如 图 2 ,联 结 ⊙ 点 B 、A ,则 ⊙ 直 径 . M 是 ⊙ 任 意一 点 . 由 反 演 定 义 知 ,= = = 图 2则 △ M′ ,△ M′ A′ M′ B′= 180° - ∠ M′ A′ B′ - ∠ M′ B′ A′= 180° - ∠ M′ ∠ 90° M 的 任 意 性 可 知 , ⊙ 反 形 是以 A′ B′ 为 直 径 的 圆 5   两 条 直 线 或 曲 线 的 夹 角 在 反 演变 换 下 是 不 变 的 (两 条 曲 线 之 间 的 夹 角 是 指它 们 的 切 线 之 间 的 夹 角 ) :仅 就 一 条 曲 线 和 一 条 直 线 所 成 角的 特 殊 情 况 进 行 证 明 3 ,设 曲 线 C 的 反 形 C′ 交 反演 点 P′ 等 数 学图 3下 面 证 明 :直 线 曲 线 C 在 点 P 的 切线 之 间 的 夹 角 值 上 等 于 相 应 的 角 为 此 ,选 取 曲 线 C 上 靠 近 P 的 任 意 一 点A ,割 线 为 A P , A 的 反 演 点 A′ ,作 割 线 A′ P′ △ P′ . 故∠ ∠ P′ → P 时 , 1 ] 例 题 分 析2. 1   在 两 圆 相 切 时 的 应 用两 圆 相 切 时 ,通 常 以 切 点 为 反 演 中 心 ,相切 的 两 圆 变 为 不 过 反 演 中 心 的 两 平 行 直 线 ,过 两 圆 切 点 的 公 切 线 也 与 之 平 行   两 圆 外 切 于 点 A 且 内 切 另 一 圆⊙ T 于 点 B 、 C. 令 D 是 小 圆 内 公 切 线 割 ⊙ 的 中 点 . 证 明 :当 点 B 、 C、 D 不 共 线 时 ,A 是 △ 内 心 .(2002 ,土 耳 其 数 学 奥 林 匹 克 )证 明 :以 A 为 反 演 中 心 、 r ( r 为 任 意 实数 )为 反 演 半 径 ,作 图 4 的 反 形 得 到 图 图 5其 中 , ⊙ ⊙ 为 两 条 平 行 直 线T′1 、 T′2 , ⊙ T 成 为 与 两 条 平 行 线 相 切 的 ⊙ T′ ,切 线 演 后 成 为 一 条 平 行 于 直 线 T′1 的直 线 ,点 D′ 在 ⊙ T′ 外 A 为 △ 内 心 ,只 须 证 点 A 到 距 离 相 等 ,且 A 在 △ 内 部 ,即 △ C′ 、 △ D′ 、 △ D′ 的 外 接圆 半 径 相 等 弦 定 理 可 知 ,只 须 证∠ C′ = ∠ C′ , ∠ B′ = ∠ B′ ′ N′ 与 B′ C′ 交 于 点 P. 由 圆 幂 定 理 有 即   14 + M′ · - 1= 1· , - · = 1D′ = 2· M′ - = · P ,· A P = · P· D′ P = · + A M′ P· N′ P = B′ P· C′ , A = D′ ,即 C′ = C′ C′ 、 ∠ C′ ∈ (0 ,π 2 ) ,则∠ C′ = ∠ C′ , ∠ B′ = ∠ B′   在 弓 形 中 ,内 接 一 对 相 切 的 圆 ,对每 一 对 相 切 的 圆 ,通 过 它 们 的 切 点 引 公 切 线 :所 有 的 切 线 通 过 一 个 点 :如 图 6 ,设 P 是 两 圆 ⊙ ⊙ 切 点 . 作 以 P 为 反 演 中 心 的 反 演 变 换 ,于 是 ,在 点 P 处 相 切 的 两 圆 反 形 为 一 对 平 行 直 线 而 和 它 们 相 切 的 弦 和 弧 ,变 为 A′ L′ B′和 A′ K′ B′ ,且 A′ L′ B′ = A′ K′ B′ ,公 切 线 为 K′ L′ ,且 与 行 (如 图 7) 图 772008 年 第 7 期所 以 ,直 线 A′ B′ 垂 直 平 分 K′ L′ . 换 言 之 ,过 点 A 、 P、 B 的 弧 平 分 弓 形 角 A 、 B 且 垂 直 直线 然 而 ,恰 存 在 一 个 过 点 A 、 B 的 圆 ,平分 ∠ A 、 ∠ B (它 的 中 心 O 是 从 点 A 、 B 分 别 向∠ A 、 ∠ B 的 平 分 线 引 的 垂 线 的 交 点 ) ,直 线 直 这 个 圆 ,因 此 ,通 过 它 的 中 心 ,条 件 中 所 有 直 线 都 通 过 点 2   在 两 圆 相 交 时 的 应 用两 圆 相 交 时 ,通 常 以 其 中 一 个 交 点 为 反演 中 心 ,则 两 圆 反 形 为 两 条 相 交 的 直 线 ,交 点为 两 圆 的 另 一 个 交 点 的 反 演 点   如 图 8 , Q 是 以 直 径 的 圆 上的 一 点 , Q ≠ A 、 B , Q 在 的 投 影 为 为 圆 心 、 半 径 的 圆 与 以 直径 的 圆 交 于 点 C、 D. 证 明 : 分 线 段2006 ,土 耳 其 国 家 队 选 拔 考 试 )图 8 图 9证 明 :作 以 Q 为 反 演 中 心 、 ⊙ Q 为 反 演圆 的 反 演 变 换 . 则 ⊙ O 反 演 为 直 线 演 为 以 直 径 且 与 ⊙ Q 内 切 的 圆 (如 图9) ⊙ O 的 直 径 ,所 以 , ⊙ O 正 交 演 的 保 角 性 知 , 以 直 径的 圆 正 交 ,故 分 线 段 0例 4   如 图 10 ,在 等 腰 ∠ A = 90° , 1 , D 为 中点 , E、 F 为 边 外 两 点 . M 为△ 外 接 圆 和△ 的 外 接 圆 的另 一 个 交 点 , N 为直 线 A F 与 △ 外 接 圆 的 另 一 个 交 点 , 线 △ 外 接 圆 的 另 一 个 交点 . 求 A P 的 长 .(2003 ,中 国 国 家 集 训 队 测 试 题 )证 明 :以 A 为 反 演 中 心 、 r = 1 为 反 演 半径 作 反 演 变 换 . 在 反 演 变 换 下 ,用 X′ 表 示 点X 的 像 演 变 换 的 性 质 得B 、 F、 D、 E、 C 共 线Z A 、 B′ 、 F′ 、 D′ 、 E′ 、 C′ 共 圆 ;M 是 △ 外 接 圆 和 △ 的 外 接圆 的 另 一 交 点Z M′ 是 D′ E′ 与 B′ F′ 的 交 点 ;N 是 直 线 A F 与 △ 外 接 圆 的 另 一个 交 点Z N′ 是 A F′ 与 C′ E′ 的 交 点 ;P 是 直 线 △ 外 接 圆 的 另一 个 交 点Z P′ 是 与 M′ N′ 的 交 点 1如 图 11 , 设B′ C′ 交 于 O′ 内 接 六 边 形A F′ B′ C′ E′ D′ ,由帕 斯 卡 定 理 知 ,A F′ 与 C′ E′ 的 交点 、 D′ E′ 与 B′ F′ 的交 点 、 与 B′ C′的 交 点 三 点 共 线 ,即 M′ 、 N′ 、 O′ 三点 共 线 ′ 是 M′ N′与 的 交 点 ,则 P′ = O′ ,即 P′ 在 直 线 B′ C′上 . 由 反 演 的 性 质 知 , A 、 B 、 P、 C 四 点 共 圆 , 22 ,A P = 3   巧 设 反 演 幂除 了 选 择 恰 当 的 点 作 反 演 点 外 ,反 演 幂选 择 得 是 否 巧 妙 ,也 决 定 了 反 演 后 的 图 形 是8 中 等 数 学否 简 洁 ,证 明 是 否 “ 巧 ” 2例 5   如 图 12 ,四边 形 接 于⊙ O , 对 角 线 P. 设 △ 、△ △ 的 外 接 圆 圆 心分 别 为 求 证 : 3 、4 三 线 共 点 :作 以 P 为 反 演 中 心 、 P 关 于 ⊙ 为 反 演 幂 的 反 演 变 换 . 则 ⊙ O 反 演 为 本身 , ⊙ i = 1 ,2 ,3 ,4) 反 演 为 四 边 形 所 在 的 直 线 ,过 点 P 的 直 线 也 反 演 为 本身 直 线 ⊙ 交 ,因 此 ,它 们的 反 形 也 正 交 ,即 知 ⊥ 则 , ,四 边 形 平 行 四 边 形 , 4 互 相 平 分 , 3 互 相 平 分 O、 3 、 4 交 于 中 点 [2 ]   如 图 13 , H 是 △ 垂 心 , P 是△ 任 意 一 点 ,由 H 向 垂 线 与 延 长 线交 于 X、 Y、 Z. 求 证 : X、 Y、 Z 三 点 共 线 3证 明 :设 △ 高 线 分 别 为 B E、垂 足 为 D、 E、 F. 于 是 , 、 L 、 D、 X 四 点 共 圆 ,则 , H 为 反 演 中 心 、 k = 反 演幂 的 反 演 变 换 ,则 L 与 X、 N 与 Z、 M 与 Y 均互 为 反 演 点 、 P、 N 、 H , L 、 P、 M、 H 分 别 四 点 共圆 ,所 以 , X、 Y、 Z 三 点 共 线 4例 7   如 图14 ,在 线 段 取 点 C , 以 线 段 直径 作 圆 , 过 点 直 于 直线 , 构 成 曲 边△ △ 其 内 切 圆 分 别 为 ⊙ ⊙ 求 证 :这 两 个 圆的 半 径 相 等 :设 2 2 则 2 ( 利 用 反 演 计 算 ⊙ ⊙ 半 径 5作 以 C 为 反演 中 心 、 k = 4 r1 反 演幂 的 反 演 变 换 (如图 15) ,则 C 分 别 反 演 为A′ B′ 、 A′ C、 B′ C ,且A′ C = 2 B′ C =2 以 直 径的 圆 反 演 为 直 线A′ E. 同 样 ,以 直 径 的 圆 反 演 为 直 线B′ F ,直 线 位 于 原 处 ,且 A′ E、 B′ F、 直 于 A′ B′ ,以 直 径 的 圆 反 演 为 以A′ B′ 为 直 径 的 圆 ′ B′ 的 中 点 为 M , ⊙ 演 为 ⊙ O′2 ,且 切 点 P ,切 B′ F 于 点 Q ,切 以 A′ B′ 为直 径 的 圆 于 点 R. 则 2 r′ 2 = 2 设⊙ ⊙ O′2 的 半 径 分 别 为 r、 r′2 ) 第 7 期因 为 ⊙ ⊙ O′2 关 于 反 演 中 心 C 位似 ,所 以 , = 故 r = 4 4 22 - 22= 4 2 - r1 同 理 , ⊙ 半 径 也 为 r1 ,这 两 个 圆 的 半 径 相 等 个 圆 中 ,每 个 圆 都 和 其 他 的 两 个圆 外 切 . 证 明 :四 个 切 点 位 于 同 一 个 圆 上 .(提 示 :作 以 某 一 切 点 为 中 心 的 反 演 变换 ,在 该 变 换 下 ,这 些 给 定 的 圆 变 成 一 对 平 行直 线 和 两 个 相 切 的 圆 . )2. 给 定 4 个 圆 ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 设⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 别 交 于 点 若 点 共 圆 (或 共 线 ) ,证 明 : 点共 圆 (或 共 线 ) .(提 示 :作 以 反 演 中 心 的 反 演 变换 ,于 是 , ⊙ ⊙ 形 为 直 线 A′2 D′1 、A′2 B′1 , ⊙ ⊙ 形 为 △ B′2 C′1 B′1 、△ D′2 C′1 D′1 的 外 接 圆 ,这 两 个 圆 交 于 C′2 . 只要 证 A′2 、 B′2 、 C′2 、 D′2四 点 共 圆 即 可 . )图 163. 如 图 16 ,在 线段 取 点 C ,以线 段 直 径 分 别 作 圆 , ⊙ 三 个 圆 都 相 切 : ⊙ O 的 直 径 等于 它 的 圆 心 到 直 线 距 离 .(提 示 :以 点 C 为 反 演 中 心 作 反 演 变 换 C、 直 径 的 圆 分 别 反 演 成 以 直线 A′ D、 B′ E、 A′ B′ 为 直 径 的 圆 ,且 直 线 A′ D、B′ E 与 A′ B′ 垂 直 , ⊙ O 反 演 成 ⊙ O′ ,且 与 直线 A′ D、 B′ E 及 以 A′ B′ 为 直 径 的 圆 都 相 切 . 由于 ⊙ O、 ⊙ O′ 关 于 点 C 位 似 ,所 以 , ⊙ O 的 直径 与 圆 心 到 距 离 的 比 等 于 ⊙ O′ 的 直 径与 圆 心 到 A′ B′ 的 距 离 的 比 . 易 知 后 者 的 比 值为 1. )4. 凸 五 边 形 边 延 长 构 成 一 个五 角 星 形 作 星 形 周 围 五 个 三角 形 的 外 接 圆 . 证 明 :这 些 外 接 圆 异 于 A 、 B 、C、 D、 E 的 另 五 个 交 点 位 于 同 一 个 圆 上 7(提 示 :如 图 17 ,设 P、 Q、 R、 S 、 T 是 在 条件 中 所 说 的 ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 点 . 下 证 P、 Q、 R、 S 四 点 共 圆 . 作 △ N 接 圆 ⊙ O′ ,得 ⊙ ⊙ ⊙ O′ 交 于 一点 P , ⊙ ⊙ ⊙ O′ 同 样 交 于 另 一 点 S ,所 以 , ⊙ O′ 过 点 P、 S , ⊙ O′ 、 ⊙ ⊙ ⊙ 八 个 交 点 中 的 四 个 交 点 共 线 . 因 此 ,剩 下 的 四 个 点 P、 Q、 R、 S 共 圆 [3 ] . )5. 双 心 四 边 形 是 指 既 有 内 切 圆 又 有 外 接圆 的 四 边 形 . 求 证 :这 样 的 四 边 形 的 双 心 与 对角 线 交 点 共 线 .(第 30 届 选 题 )(提 示 :以 内 心 为 反 演 中 心 、 内 切 圆 为 反演 圆 作 图 形 的 反 形 . )参 考 文 献 :\[1 \]  [美 \]R. 逊 著 . 近 代 欧 氏 几 何 学 \[M\] 译 教 育 出 版 社 ,1997 年 .\[2 \]  沈 文 选 著 . 平 面 几 何 证 明 方 法 全 书 \[ M\] 滨 工 业大 学 出 版 社 ,2005 年 .\[3 \]  [俄 \]B. 索 洛 夫 著 . 平 面 几 何 问 题 集 及 其 解 答\[M\] 荔 ,张 同 君 译 . 长 春 :东 北 师 范 大 学 出 版 社 ,1988 年 等 数 学
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