• / 20
  • 下载费用:1 下载币  

空间-时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演

关 键 词:
空间 时间 分数 系数 对流 扩散 方程 微分 数值 反演
资源描述:
2014年5月 014 计算数学 36卷第2期 6. 空间一时间分数阶变系数对流扩散方程 微分阶数的数值反演 ) 贾现正 张大利 李功胜 (山东理工大学理学院应用数学研究所,山东淄博255049) 池光胜 (山东凯文科技职业学院本科教育学院,济南250200) 李慧玲 (山东理工大学理学院应用数学研究所,山东淄博255049) 摘 要 考虑终值数据条件下一维空间一时间分数阶变系数对流扩散方程中同时确定空间微分阶数 与时间微分阶数的反问题.基于对空间一时间分数阶导数的离散,给出求解正问题的一个隐式差 分格式,通过对系数矩阵谱半径的估计,证明差分格式的无条件稳定性和收敛性.联合最佳摄动量 算法和同伦方法引入同伦正则化算法,应用一种单调下降的对所提微分阶数反问题进行精确数据与扰动数据情形下的数值反演.结果表明同伦正则化算法对 于空间一时间分数阶反常扩散的参数反演问题是有效的. 关键词:空间一时间分数阶扩散;差分格式;稳定性与收敛性;微分阶数反问题;同伦正则化 算法;数值反演 000)主题分类:3555.引 言 近二十年来,反常扩散行为引起人们越来越多的关注,分数阶扩散方程在物理学、力学、 环境科学、水文地质学及金融学等领域得到了广泛的应用[1 如,污染物在多孔介质中的 传输往往存在着非对称的拖尾(提前穿透(象,这就是溶 质运移的非费克(常扩散.对于这类反常扩散行为,已有研究表明,分数阶扩 散模型相比经典的整数阶高斯(型能够更好地模拟扩散过程和重建试验数据.分数 阶导数具有记忆性、遗传性和整体性,特别对于污染物长距离传输时表现出的非对称、非线 性的整体性行为模式的研究,分数阶扩散模型可能是一个很有效的研究工具.通常,若考虑时 间相关性或扩散的记忆性,就得到时间分数阶扩散方程,其中时间微分阶数介于0与1之间 的反常扩散要比正常扩散慢;若考虑空间相关性或非局域性,则得到空间分数阶扩散方程,其 中空间微分阶数介于1与2之间的反常扩散相比正常扩散要快一些.如果既考虑时间相关性, 又考虑空间整体性,则得到所谓的空间一时间分数阶扩散方程. 2013年5月21日收到. )基金项目:国家自然科学基金资助项目(11071148)和山东省自然科学基金资助项目(。)通讯作者:李功胜,114 计算数学 2014钲 上世纪90年代以来,相继出版的专著[8干分数阶微分方 程解的适定性理论分析、解析解与数值解法,以及分数阶微分方程在科学与工程中的应用研 究等给予了综述总结,这其中关于时间分数阶扩散的研究居多.在时间分数阶扩散方程的应 用研究方面,]以及示了实 际存在的一些反常扩散行为.在时间分数阶微分方程初边值问题理论分析研究方面,[11_ ],3],4],以及5 17】等作出了开创性的研 究,证明了解的存在唯一性,以及关于时间分数阶扩散的极值原理等结论.对于时间分数阶 扩散方程的数值方法,刘发旺(F.其研究团队[18国内许传炬团队_22_, 以及孙志忠团队l 2 3_等主要在差分法研究方面做出了贡献.对于空间分数阶扩散方程的研究, 4最具影响,刘发旺及其研究团队的工作[29 32 J 也广受关注,国内陈文等 3 3_、邓伟华等_34_35]在数值解法及应用方面也有较好的研究. 另一方面,一旦建立了一个分数阶扩散模型,求解和分析模型中难以直接测量的关键参 数就成为一类很重要的科学问题.比如,反映空间或时间相关性的微分阶数的确定问题,反映 空间非均质性的扩散系数的确定问题,反映外界力作用属性的源/汇项的确定问题,等等.这 就导致了对于分数阶反常扩散中的反问题研究.虽然对于分数阶扩散中的反问题研究还不多 见,但近年来一些工作已引起了大家的关注.这其中对于时间分数阶扩散方程反问题的研究 较多,见6J,程晋等 ,,刘继军和9J,郑 光辉与魏婷_41],徐翔等 ,a】,5】,李功胜等【46_ ,熊向团等【48],魏婷等[49].此外,对于空间分数阶扩散模型,由于 正问题研究的困难性,相应反问题的研究相对较少,见韦慧等【50],郑光辉与魏婷 ,池光胜 等_邓伟华等 . 随着对于分数阶扩散正演/反演问题的研究进展,有两个方面值得关注:一是分数阶扩散 在空间多维数情形下的相关问题研究.目前对于分数阶高维扩散,反问题研究很少;而鉴于空 间分数阶导数的复杂性和计算复杂度,高维正问题研究也不是很多.第二个方面是对于既含 时间分数阶导数、又含空间分数阶导数的空间一时间分数阶扩散相关问题的研究,这类反常 扩散模型的研究要比单纯的时间分数阶或空间分数阶扩散更难.对于(左侧)空间一时间分数 阶扩散正问题的求解,文[19,54,55]等曾给出了差分求解格式,并证明了格式的稳定性和收 敛性. 本文继续考虑(左侧)空间一时问分数阶变系数对流扩散方程正问题的差分解法,同时将 探讨根据终值数据确定两个微分阶数的反演问题.对于正问题的差分格式,文中将通过对系 数矩阵谱半径的估计,证明格式的无条件稳定性和收敛性.这种证明方法相比已有方法显得更 加简洁清晰,且可应用于一般时间/空间分数阶扩散方程差分格式的理论分析.注意到微分阶 数是刻划分数阶扩散的首要指标,也是分数阶扩散区别于整数阶 于实际问题中微分阶数是未知的,更是难以通过实验手段直接测量获得,因而对于分数阶扩散 中微分阶数的反问题研究具有重要意义.目前,除了程晋等_37J,8J 对于一维时间分数阶扩散中微分阶数与扩散系数联合反演问题的研究之外,尚未见有其他文 献报道关于微分阶数反问题的研究. 本文将从数值方法角度,探讨一维(左侧)空间一时间反常扩散模型中两个微分阶数的数 值反演问题.文中将采用一种结合同伦思想与最佳摄动量算法的同伦正则化算法.从已有文 献看,最佳摄动量算法无论对于整数阶扩散模型的参数反演,还是对于分数阶反常扩散模型的 参数反演问题求解都取得了很好的数值结果,见文【46,47,50,52,56—59]等.然而,对于同时确 2期 贾现正等:空间一时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演 115 定多个不同类型参数的病态性更强的多参数反演问题,常规的最佳摄动量算法可能会失去效 用,我们需要更精细地选取正则参数以克服反演的严重病态性.另一方面,同伦方法是研究非 线性代数方程求解的有力工具,而联合同伦思想与摄动方法的所谓同伦摄动方法(非线性微分方程求解研究方面发挥了重要作用,见文[60—62】等.对于 分数阶反常扩散方程的多参数反演,一种可行的途径是联合同伦方法与最佳摄动量算法,实施 同伦正则化算法.这种迭代算法可以扩大收敛区域,且已被应用于整数阶扩散相关反问题的 数值求解,见【63,64]等.不过,本文仍然应用这种同伦正则化算法,主要基于以下两个原因: (i)正问题更为困难.文中要求解空间.时间分数阶反常扩散方程,计算复杂度较高; (演问题不同.文中要考虑两个微分阶数的同时反演问题,这要比先前的工作病态性 更高. 本文余下的主要内容安排如下. 第2节给出求解一维空间.时间分数阶变系数对流扩散方程正问题的隐式差分格式,并 证明格式的稳定性与收敛性;第3节对于由终值数据确定微分阶数的反问题,讨论一种以4节分别在精确数据与扰动数据情形 下,应用同伦正则化算法对微分阶数进行数值反演;最后在第5节进行总结,给出本文的主要 结论. 2.正问题及其数值求解 对于f>0,T>0,考虑一维空间一时间分数阶变系数对流扩散方程 £ 一 a ( ) +s( ,£),。0为 扩散系数,v(x)>0为对流系数,s( ,t)为源/汇项.显见,若, =2,则方程(1)为通常 整数阶的经典对流扩散方程.方程(1)中的时间分数阶导数用: 1 一 ㈤ at r( 一 ) 0 。 、 而空间分数阶导数用= r(2 . ㈤ 吖) 。/n (1—1一 。 、 对于方程(1),给定初始条件为 u(x,0)=),0 z, 边值条件为 u(o,t)=u(1,t)=0,0 0, :0,1,…,M;t : 丁,丁>0, =0,1,…,Ⅳ,其中 札 =u( t,t ),s =s( i,在(z ,)处, u( {,) u “一l —u 一。)【 +1) 一。一+0(下) =F (,“ + 一( +1) 一 一 + f“ k—j[(J+2) 一。+J 一j+1) 一a])+O(T) +∑f“ +2) 一。+ 一。一 +1) 一。])+ ) J=1 而~u(xi,) —————————————————一= a 方程中的一阶对流项用通常的一阶向后差分近似为 ,) 札 k+ 一 uu l Ox h +O(h) 记 “ =“o(s =s(xi,以及[)( i),(z ),并记 f :2j 一 一 +1) 一 一 —1) 一 ,J=1,2,…,尼, l +1) 一 一 一 , =1,2,…,Ⅳ一1. 注意到边界条件 6=u =0,方程(1)离散为 再记 k+1 +1 =一 整理可得 当 一0时 一1 . 一∑j) J=l + 1 i+ - r(2 u 1+(1+Pi— 当 >0时 】 一,u +1+l,i=1,2,…, h )JJ r( r(-7)r(j+1) i+1 ( +哪2) 一1一 ∑ 一Ⅲ=u 0+7- r(2一 )s 1 j=3 k +l(1 钆 一(Pi+k+l 薹 “ :u (2—2 一a)+ + 一j+b 钆 +7一a)s +1, j=1 (8) 2期 贾现正等:空间一时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演 1 17 %: 薹 (14) (15) 2.2.差分格式的收敛性与稳定性 本小节证明上述差分格式(14)的系数矩阵 严格对角占优,且差分格式是无条件稳定 和收敛的.为此,需要下述两个引理. 引理1.若7∈(1,2),则对于(11)式中给出的 成立 ∑; (16) 其中,,y,且对于所有J 2,. 证明.由(11)式,改写夕一1) ( ),对任意7>0,注意到下述展开式 (1 k ( J 【0 J 2. 引理2.对于(9)式定义的 }6 ,成立 ∑dj+, =1 2一,Ⅳ一1. 证明.根据(9)式,对于k=1,2,…,Ⅳ一1,直接计算可得 d1+++k 一 一(尼+1) 一 而k+1)卜 一即知引理2成立 应用引理1,易可下述命题成立. 118 计算数学 命题1.对于由(15)式定义的矩阵 ,成立 +∑j=l,J≠{ 中 ∑ 0,,由于 可得 因而,得到 +Pl—+p1+T1,,J 3, 类似地,对于在某种矩阵范数使得成 立p( 一 )+E.注意到- ( 一 )0,则有 Il p( 一 )+ : 0使得 +丁),k=1,2,.一,Ⅳ. (25) 定理4.对于任意有限时间T>0,隐式差分格式(14)是收敛的,且收敛阶为O(h+丁) 证明.由(24)式与(25)式,应用定理2,首先可知 [】= z=(7)∈ .根据最佳摄动量算法,上述极小问题求解又转化为对 于给定的初始迭代求其最佳摄动量、进而反复进行迭代优化求解的过程.设 +1=, J=0,1,…, (35) 其中zj(j=0,1,…)给定,而5F((1一+6x,T)一O(x))+ , (36) 将u()( ,T)在勺处作略去高阶项得到 ,“( + )( ,T)≈钆( )( ,T)+ 钆( )( ,T)·5联系到(36)式,即有 F((1一;~j)(勺)( ,T)-((x)一u( )( , )](0,f)+ 1]6 (37) 进一步将区域[0,z]离散为00是校正参 数.图2分别给出了和 =0.8时同伦参数的变化趋势. (a) 图2同伦参数与迭代次数 (b) =0.8 从图2可以看到,同伦参数随着迭代次数增加而趋向于零,且当迭代次数J 10时, 迅 速逼近于零,这种性质正是一般正则化理论方法中对正则参数的要求.我们将采用由(42)式 给出的同伦参数来实施下面的同伦正则化算法.在给定真解z 。=(, 。)的情况下,反 演算法实施步骤为: 步骤1.给定数值微分步长盯及迭代控制收敛精度真解代入正问题的差分格式进 行计算,得到附加数据向量叩; 步骤2.给定初始迭代=0,1,…),按式(39)一(40),求得∈与矩阵B; 步骤3.按(41)式计算最佳摄动量 z ,其中同伦参数按(42)式选取; 步骤4.判断是否满足ll 成立,则=法 终止;否则由zj+再转到步骤2继续进行. 2期 贾现正等:空间一时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演 125 4.数值反演 本节对于微分阶数反问题进行数值反演.如前所述,每个算例中给出微分阶数的真解,并 利用其得到终值时刻的附加数据,然后应用同伦正则化算法进行反演重建.以下若无特别说 明,正问题计算中取区域长度f=1,终值时刻T=1,且取零边界条件,初始函数f(x)= 。(1一 ),离散点数M=N=100;反演算法中取数值微分步长 =0.01,控制迭代收敛精度 伦参数(42)式中取, =0.5.所有模拟计算都是在一个清华同方微机 上完成的. 4.1.齐次方程的反演 本小节先考虑齐次方程的情形,即方程(1)中源项s(x,t)三0,另取方程中的扩散系数 D(x)=l+ ,平均流速 ( )= ;反演算法中取初始迭代0.1,1.1),其中)=0.1表 示时间分数阶的初始值,):1.1表示空问分数阶的初始值. 4.1.1.时间/空间微分阶数对反演算法的影响 先看时间微分阶数变化对于反演算法的影响.取定空间微分阶数 =1.5,反演计算结果 列于表3,其中 表示时间微分阶数,z ”表示微分阶数的反演值, 。表示微分阶数的真值, 误差,由表3可以看出,时间分数阶对反演结果虽有影响但并不大.再取定 =0.5,考察空间 微分阶数变化对反演算法的影响,计算结果列于表4,其中 表示空间微分阶数, ”,表示意义与表3中相同. 由表4可以看出,空间分数阶数相比较时间分数阶数对反演算法的影响稍大,随着空间 微分阶数变大,反演误差有减小趋势但迭代次数逐步增多. 126 计算数学 2014芷 表4 4.1节中 =0.5时,空间微分阶数对反演算法的影响 4.1.2.扰动数据对反演算法的影响 实际问题中,附加数据往往带有某种误差,对于扰动数据实施反演算法是反问题数值方法 研究的重要方面.取定时间微分阶数.5,空间微分阶数 =1.5,考察数据扰动对反演算 法的影响.附加数据表示为 0 (z)= ( )(1+0是扰动水平,(为取值于[一1,1]的随机数.注意到扰动的随机性,每次反演计算的 结果并不一样.表5列出了附加数据在不同扰动水平下连续十次反演的平均结果,其中 表示反演解的平均值,表示平均迭代次数. 表5 4.1节中不同扰动水平下的反演结果( =0.5, =1.5) 进一步,取定扰动水平e=1%,表6列出了不同反演次数下的平均结果,其中次数,, 表6 4.1节中给定扰动水平下施行不同反演次数的反演结果 从表5可以看出,随着数据扰动水平的减小,反演解与精确解误差逐渐变小,表明了反演 算法的稳定性.而且,从表6看出,对于给定的扰动水平,随着反演次数增多,解误差变小,但 是平均迭代次数不变. 2期 贾现正等:空间一时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演 127 4.1.3.离散点数对反演算法的影响 仍取时间微分阶数 =0.5,空间微分阶数 =1.5,考察正问题求解差分格式的离散点数 对反演结果的影响.其他参数取值不变,下表给出了反演计算结果,其中M,Ⅳ仍表示空间、 时间离散点数, , (单位:秒)表示一次反演计算所用的. 表7 4.1节中应用不同离散点数时的反演结果( =0.5, =1.5) 从表7可以看出,离散点数的增加对反演解精度影响不大,却对反演计算量影响较大.随 着网格加密,迭代次数稍微减少,但每次反演计算耗用的时间显著增加,而且当空问、时间离 散点数超过180时,计算失败. 4.2.非齐次方程的反演 本小节给出非齐次方程情形下关于两个微分阶数的数值反演,且考虑正问题的精确解与 微分阶数有关的情形.此时,注意到分数阶微分算子的作用,方程(1)中的扩散系数,平均流 速及源项等参数也会依赖于微分阶数.不妨设正问题的精确解由(28)式给出,即有u(x,t)= 1+ (1一 )(1+£ ),且取扩散系数D( )= 7~,对流速度 ( )= 卜 ,则源项仍由 (29)式给出.基于上述条件,这时需要反演计算的微分阶数 与 不仅含于方程的微分算子 中,而且还与扩散系数,对流速度及右端源项有关.本小节的反演中,取初始迭代0.9,1.9), 其他反演参数同于上节.先看时间/空间微分阶数对反演算法的影响.分别取定 =1.6 与 =0.3,反演结果分别列于表8与表9,其中 ,节. 由表8一表9可以看出,本算例与4.1节的计算结果稍显不同.当取定空间微分阶数(7= 1.6),时间微分阶数从0.1变到0.9时,反演精度几乎不变而迭代次数显著减少;当取定时间微 分阶数(.3)时,只有对相对较大的空问微分阶数(7 1.29)才能反演计算,且反演精度 变化不大、迭代次数稍有减少. 表8 4.2节中 =1.6时,时间微分阶数对反演算法的影响 128 计算数学 表9 4.2节中 =0.3时,空间微分阶数对反演算法的影响 再看附加数据有扰动时的反演结果.取定时间微分阶数.4,空间微分阶数7=1.6, 扰动附加数据仍表示为(43)式.表10列出了附加数据在不同扰动水平下连续十次反演的平 均结果,其中 ,一表10 4.2节中不同扰动水平下的反演结果( =0.4, =1.6) 从表10可以看出,随着数据扰动水平的降低,反演解与精确解的误差逐渐变小,这与表5 的计算结果一致.最后,同4.1.3节的讨论,看离散点数对反演算法的影响.不妨取时间微分阶 数 =0.45,空间微分阶数,y=1.56,计算结果列于表1l,其中 ,N, 伽”,以及 p 表示意义同表7. 多 表11 4.2节中应用不同离散点数时的反演结果( =0.45, :1.56) 从表11可以看出,离散点数对反演结果的影响与表7所述基本一致,离散点数也不宜过 5.结 论 本文探讨了(左侧)空间一时问分数阶扩散方程正问题求解的隐式差分格式,应用一种基 于矩阵谱半径估计的方法获得了差分格式的无条件稳定性和收敛性,这种简洁的证明方法可 以应用于其他空间/时间分数阶扩散方程差分格式的理论分析.进一步,对于微分阶数的反问 2期 贾现正等:空间一时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演 129 题,应用一种同伦正则化算法给出了精确数据与扰动数据情形下的数值反演,并讨论了微分 阶数与离散点数对反演结果的影响.文中结果表明应用适当的正则化反演算法可以有效地实 现对于空间一时间分数阶反常扩散模型中微分阶数的数值反演.关于微分阶数反演的存在唯 一性等理论分析是今后的一个主要工作. 参考文献 【1] E, W.of in a :].992,28:3293—3307. [18】 ,.of in an of ].998,34:1027—1033. .].000. . M.of in a[J].003j 67:1079—1084. .】.T:006. ,,,.].010. .n ].010. S. to ].993. .】.999. A, M, J.].006. ,, P.On of ].999,2:163—176. ,.in of 】.009,229:400—415. .of 】.),2002,458:933—957. D, N.].004,199:211.】.J.2009,351:218—223. .].2010,59:1766—1772. .]. 01 1 j 14:1 10,.].006,22:87,_,,.of ].2007.191:12—20. 加 n M 130 计算数学 2014年 [20】, M, J,et ].013,16: 9—25. [39] [40】 A.1. 008.56:1138一 M, J.e— .2007,225:1533—1552. C. Z..].013,232:456—467. A.]. 998. M..].004,172:65—77. M,.].006,56:80—9O. ,, M.].008,55:2212—2226. M,.in 013,51:479.497. ,,.of ]. 004,166:209—219. ,,,.of by 007 222:57—70. ",,.].010,34:200—218. —M, W,,.of a ].010,54:1陈文,孙洪广,李西成,等.力学与工程问题的分数阶导数建模[京:科学出版社,2010. H.】. 008 47:204—226. H. D.、^ Y J.].013,26:362—366. A.of ]. 007,53:1492—1501. ,,,.in an a 1.009.25:1 15002. N、 S.].2009,17:419 J,.A ].010,89:1769—1788. H..a
展开阅读全文
  石油文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:空间-时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演
链接地址:http://www.oilwenku.com/p-63770.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服客服 - 联系我们
copyright@ 2016-2020 石油文库网站版权所有
经营许可证编号:川B2-20120048,ICP备案号:蜀ICP备11026253号-10号
收起
展开