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基于混合差分进化算法的地球物理线性反演第一期_图文

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基于 混合 进化 算法 地球物理 线性 反演 一期 图文
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第52卷第12期 2009年12月 地球物理学报 F 2,2 2009 潘克家,王文娟,谭永基等.基于 昆合差分进化算法的地球物理线性反演.地球物理学报,2009,52(12):3083~3090,0 3969/j.001—5733.2009.12.017 J, J, J,et 2009,52(12):3083~3090,on :10.3969/j.001—5733.2009.12.017 基于混合差分进化算法的地球物理线性反演 潘克家 ,王文娟。,谭永基 ,曹俊兴。 1中南大学数学科学与计算技术学院,长沙410075 2复旦大学数学科学学院,上海200433 3成都理工大学“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室、“地球探测与信息技术”教育部重点实验室 成都610059 摘 要地球物理反问题线性化处理之后,各种反演算法归结为对病态线性方程组的求解.为了快速准确地计算 出地球物理参数,本文提出了一种全新的基于该算法利用高不同 噪声水平下,对四种正则化方法论模型和实际数 据反演的结果都表明:改进的演结果与原设定模型具有较 高的相关性,在稳定性和准确性上较常规的反演算法都具有一定的优势;而且不需要给定正则化参数,具有更强 的实用性. 关键词 正则化方法,地球物理反演,算法稳定性,混合差分进化 0.3969/j.001—5733.2009.12.017 中图分类号631 收稿日期2009—02—23,2009—11—23收修定稿 il e—i ,1 10075, 00433, ab of ab ,10059,of of n to a DE)is to of E we a by of DE he of DE is as 金项目 国家自然科学基金项目(10431030,10701029)资助. 作者简介潘克家,男,1981年生,博士.2004年毕业于中国石油大学,2009年获得复旦大学数学科学学院博士学位,主要从事地球物理反演、 工业应用数学等研究.E 球物理学报(. 引 言 人类对地球内部的物理性质(如速度、密度、电 导率、温度等)以及矿产资源分布的了解,大多来自 于可直接观测到的地表地质和地球物理、地球化学 资料的反演和解释 置.建立合理的地球物理模型, 根据理论值与观测值之间的某种最佳拟合,确定最 优的模型参数,可获得对地球物理问题新的认识. 这一直是是地球物理研究中的重要问题. 自20世纪90年代以来,非线性地球物理反演 已经取得了很多可喜的进展非线性反演方法中 一大类为线性化迭代方法:如最速下降法、牛顿法、 共轭梯度法、非线性最小二乘法等.由于梯度的局 部性质,使得这些方法在目标函数多极值的情况 下,容易陷入局部极值,其解严重依赖于初始模 型.另一类非线性反演方法是模拟自然界某种物理 过程或某种现象的“启发式”反演法.例如模拟“赌 博”的蒙特卡洛法 。。。。、模拟生物从低级到高级进化 过程的遗传算法[6 ]、冷却结晶过程的模拟退火法 和量子退火法 和模拟原子跃迁过程的反演方 法_l .这类非线性方法不依赖于初值和函数梯度 值,在收敛速度和避免陷入局部极值等方面具有 一定的优势,适合非线性、多极值的地球物理反演 问题. 在地球物理学中,绝大多数的观测数据与模型 参数之间都不满足线性关系.但在一定的近似条件 之下,均可简化或近似简化为线性关系,各种反演 算法最终归结为对大型病态线性方程组的求解.大 部分的地球物理反问题,如位场延拓、波阻抗反演、 重磁解释、地震层析成像等大多数归结为求解病态 第一类算子方程,或其相应的病态离散线性方程 组 ~一.为了有效地求解此类病态线性方程组,许 多学者提出了各种有效的数值方法,其中最著名的 方法是、截断奇异值 (解方法[1 、最小二乘算法¨] 和联合代数重建算法(按行运算,在大规模计算中不存在内存不足的问 题,在地震层析成像中得到广泛的应用.但通常需要较多的迭代次数,否则解的误差比较 大.,关于这两种方法在一定条件下的等价性问题, 可参考文献[14,18].与数值稳 定,为一种迭代正则化方法,更适合处理此类病态 问题.关于这几种数值方法在地球物理线性反演中 的应用,以及各种正则化解的详细比较和评价,可 参考文献[18~差分进化(法是由码的具有保优思想的全局优化进化算法,其原理 非常简单,控制参数少,无需设置初值和计算导 数,且易于理解和实现,是一种有发展前途的算 法.在已有方法的基础上,本文利用法的初始种群,然后通过叉 和选择等基本操作,进一步优化所得到的正则化 解,提出了一种全新的地球物理线性反演方法—— 基于用理论模型和 实际资料的反演验证了方法的可行性. 2反演方法的稳定性 各种地球物理反问题,线性化后归结于求解大 型稀疏线性方程组的问题,即: Ax—b. (1) 式中,"1阶矩阵,条件数非常大,甚至为奇 异矩阵; 系数矩阵含 测量误差和线性化引起的误差. 在式中设,相应 引起解的扰动为8 ,则(1)式可表示为 (( +6 )一b+3b. (2) 根据数值扰动分析理论一 j,有: (A) 『』3.4 i 丌 『二 : _ ‘I 十可f. (3) 其中 (A)一l』A I J·I J A 【 于矩阵致解的相对误差非常 大,一般的求解方法难以得到方程组(1)可靠的近 似解,必须采用各种正则化方法求解. 12期 潘克家等:基于混合差分进化算法的地球物理线性反演 3正则化方法 3.1 矩阵A ( ≥ )的奇异值分解为 一∑, (4) 其中,u∈ , ∈ 均具有正交列向量,即满 足U U=V V—L,对角阵Ig=2,…, ), 且奇异值满足 ≥ 。≥…≥ ≥0. 利用奇异值分解,则正则化解可表示为 一 (5) —i=—1 , 其中3.2 所周知,如下二次优化问题: l Ax—b l} + ;l Lx . (6) 其中 为正则化参数,控制残差和解的约束大小的 权重;散梯度算子或离 散拉普拉斯算子,分别对应零阶、一阶和二阶正则 化.求解无约束优化问题即可得到原问题的 X 一(A A+ L L) A b. (7) 当正则化参数 趋于零时,正则化解X 趋于原 方程(1)的解.实际上,零阶一步化简为 一耋等v 一 i=l T v =∑8) 其中f — 竿 为过滤因子.从(5)式可以也看 出:对于过滤因子 一』 ≤ (9) 【0 i>是. 3.3 ,它利用相比,且能 很容易地利用矩阵的稀疏性简化计算,因而适合求 解大型稀疏问题. 见文献7]): (1)初始化 Ul—b, (2)双对角化 一A (11) l —A “ +1一 +l V . (3)正交变换 P!一 + ,p ,s 一 /p , 一s 计1,卢 +1一一c 口 +l, 一f , (12) +1一(4)更新 Xi+l— w£’ (13) Wi+l—一( +1/p )上述迭代公式中,选取非负常数n ,8单位化 相应的右端向量,如 ===ll b l 一 易/ll b 3.4基于则化方法,若得到可信度比较高的解,必须选择 合适的正则化参数.而最佳正则化参数的选取往往 依赖于原始数据误差水平的精确估计,本文中正则 化参数的选取采用文献[26]中提出的而需要事先 选取正则化参数,正则化过程随着迭代而进行.和 直接方法相比,,且数值稳定,更适合处理大型不适定问题. 然而,收敛”的性质, 随着迭代过程的进行,得到的近似解在一定的迭代 步数之后是发散的(见图1).本文中采用确定图1 E C of 一 . 。王 一 , l T A , J『 a 一 虮 地球物理学报(. 差分进化(法是一种基于实数编码的具 有保优思想的全局优化进化算法.在1996年举行 的第一届国际提出的各 种方法进行了现场验证,法.与传统的进化算法如遗传算法等相比较,除 了具有收敛速度快、控制变量少、更易于理解和编程 实现等特点之外,其主要区别在于: (1)传统的法采取实数编码; (2)个体,而子个体; (3)代父个体,而有当它 比相应的父代个体优良时才替换父个体. 3.4.1基本差分进化算法 为求非线性函数_厂( ,z。,…, 。)的最小值, 进化过程中的第种群{ ,,…,种群大小过程中保持不变. (1)种群初始化 在机产生满足边界约束的量: 32 。一(6},u—b,,L)+b},L, (14) 构成初始种群.其中,区间(0,1)上的随机 数,b 和b“分别为第2 的上界和下界. (2)变异 对每一个目标向量 ,在{1,2,…,围 内随机选择3个互异整数r ,r。 ,且使得i≠r (j: 一1,2,3),得到变异向量: l— ~G+F·( G— G). (15) 其中,变异因子F∈(0,2)为一常数,控制偏差向 量的放大程度,本文算例中取为0.8. (3)交叉 为增加种群的多样性,按如下方式得到试验向量: f 73if R />~l if CR ≠ ,…,D. (16) 式中,{1,2,…,D}为随机选择的序列,用 它来确保“ 至少获取一个分量.交叉因 子0,1],本文算例中取作1. (4)选择 差分进化的选择方案基于局部竞争机制,如果 “ 的目标函数值小于 的目标函数值,则令 叶1等于U , 1;否则,令 3.4.2 混合差分进化算法 由于方程系数矩阵的严重病态性质,当测量数 据信噪比较低时,到的解都不是很准确.而化算法,能通过交叉、变异和选择等操作得到可 信度较高的结果. 为了结合提出基于(1)利用各步 迭代得到的近似解 组成(2)通过变异、交叉和选择等操作,利用求解二次优化问题x~b 进一步优化 z 所得到的正则化解. 4 数值结果 4.1理论模型验证 为定量评价各种算法的有效性,分别按如下方 式定义相对误差( RE( 业, (17) ll l 和相关系数( >:( 一 )( 一 ) CC(x' ] .72 ’ 8) l — Il·一 l 其中,X s, 为方程的正则化解和精确解,而 e, 分别为其均值.相对误差越小,相关系数越大,表 示正则化解越接近原方程的真实解. 例1采用 阶 一___÷— ,i,,…, (19) f J ‘ 作为方程组(1)的系数矩阵,该矩阵为典型的病态 矩阵,其谱条件数 (H )一O(e。· ),随着矩阵的 阶数呈指数阶增长,即阶数不高就已极其病态,如 (H 。)一0(10∞) .先给定方程组的准确解 一 c,并由式(1)算出准确右端项b,再加入一 定程度的噪声(信噪比0和30)得 到相应的右端项,然后分别用组. 当”为60和80时,计算结果分别如表1和表2 所示.从表中可以看出,在各种信噪比水平下,则化算法均比其他正则化方法更加有效、可靠: 12期 潘克家等:基于混合差分进化算法的地球物理线性反演 与真解的 相关系数较大.尤其是在右端项没有误差或者误差 相对比较小的情况下,确,见表1、表2中信噪比为无穷时近似解与真解 的相对误差分别为4.09×12×10,相关 系数均为1.一方面,从表中也可以看出, 分情况下都非常相近.关于这两种正则化方法在各 表1,l=60噪声水平下四种正则化解的比较 n 60 情况下某种程度上的等价性可参考文献[14,18]. 当 为6O,不加噪声和信噪比为80的情况下, 三种正则化方法得到的近似解如图2所示.从图中 曲线可以看出,三种方法在没有噪声的情况下求得 的结果都比较准确,和真解几乎完全重合;而在有 噪声的情况下,三种方法所求得的近似解和真解都 有一定的偏差,但相对于其他两种正则化方法, 表2 n=80噪声水平下四种正则化解的比较 n=80 2三种正则化方法结果比较 (a) 一60,;(b) 球物理学报(. 例2采用 阶 一C… i,,…, (20) 作为方程组(1)的系数矩阵,该矩阵为典型的病态 矩阵,当阶数不高时,病态程度相当严重,如 K(P 。)一0(10。 ),且随着阶数的增加,病态程度的 增长非常剧烈.取b 一∑P ,显然此时方程的真 为X==={1,1,…,1} .取 为20、30,计算结果见 表3、4和图3. 表3 n=20噪声水平下四种正则化解的误差比较 n 20 一 一‘ 一 一 . O 15 2O 表4 n=30噪声水平下四种正则化解的误差比较 n 30 表3、表4可以看出,当 为20时,在没有噪声 的情况下对误差 达到0.911;而当竹为30时,在不同噪声水平下, 对 误差分别为0.942和0.698.阵的算例2,则化算法稳健,得到可信度比较高的近似解;而 可从图3看出, —b) +● t i…一八人人~ :: ~ 7 : 2==3三种正则化方法结果比较 .2实际模型验证 本节以双频电磁波电导率成像为例,验证基于 可行性.关于双频电磁波电导率成像的原理及其 成像方程的建立,可参考文献9].曹俊兴等 详细讨论了双频电磁波电导率成像方程的建立问 题,而没有深入讨论其求解问题.电导率成像方程 一般都是规模巨大的病态方程,算法选择或设计的 难点在于巨型病态不适定矩阵方程的正确解算与海 量计算的实现,不同的解法得到的结果可能会有较 大的差别.王文娟等。。 提出基于仅克服了该大型病态方程的 求解困难,而且保证了所求得的电导率为非负的物 理限制;但始终无法避开正则化参数的选取,本文 算法最大的优势就是利用服了原问题的病态性,而结合正则化算法最佳参数的选取困难. 为调查某一大型建筑的地基基础,进行了数对 井间剖面的电磁成像测量,仪器为国产J—电磁波仪.采用定点发射,有限扇区扫描观测方 式采集数据,发射点距1 m,接受点距0.5 m,并在 各剖面进行了激发接受互换观测.在每一观测点以 4 3 2 O 4 2 O 8 6 4 1 l , O O O 3090 地球物理学报(. 52卷 [9] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [[[2o] , D, P.by 20(4598):67l~680 姚姚.地球物理非线性反演模拟退火法的改进.地球物理 学报,1995,38(5):643~650 .on . 1995,38(5):643~650 魏超,朱培民,王家映.量子退火反演的原理和实现.地 球物理学报,2006,49(2):577~583 , M, Y.. 2006,49(2):577~583 师学明,王家映,易远元等.一种新的地球物理反演方法—— 模拟原子跃迁反演法.地球物理学报,2007,50(1):305~312 M,Y,et .2007,50(1):305~312 N, Y.ll—977 C.VD as a 987,27:534~553 C.VD to il[j.1990,11:503~518 G, A.n e,1982,8:43~71 刘劲松,刘福田,刘俊等.地震层析成像.地球物理学报,2006,49(2):540~545 I S, T,,et in . 2006,49(2):540~545 顾勇为,归庆明,边少锋等.地球物理反问题中两种正则化 方法的比较.武汉大学学报(信息科学版),2005,30(3): 238~241 W, M, F,et VD in 2005,30(3):238~241 刘伊克,常旭.地震层析成像反演中解的定量评价及其应 用.地球物理学报,2000,43(2):251~256 I, K,.of of .2000,43(2):251~256 常旭.卢孟夏,刘伊克.地震层析成像反演中3种广义解 [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [3O] 的误差分析与评价.地球物理学报,1999,42(5):695~7, X, K.in . 1999,42(5):695~701 李平,许厚泽.地球物理抗差估计和广义逆方法.地球物 理学报,2000,43(2):231~240 , Z.in . 2000,43(2):231~240 李平,王椿镛,许厚泽等.地球物理反演中奇异值分解应 用的若干问题探讨.自然科学进展,2001,11(8):891~896 ,,et on VD in n f 2001,11(8):891~896 ,.A .1997,11:341~359 潘克家,陈华,谭永基.基于差分进化算法的核磁共振多指数反演.物理学报,2008,57(9):5956~596l J,, J.2 MR on 2008,57(9): 5956~5961 H, F.989 C.of by of 992,34:561~58O 冯康.数值计算方法.北京:国防工业出版社,1978.39 .978.39 曹俊兴.双频电磁波电导率层析成像反演.地球物理学报, 2001,44(增刊):199~205 X.M .2001,44( 1 99~205 X, H, S,et at 003,68(2):516~522 王文娟,潘克家,曹俊兴等.基于波电导率成像反演.地球物理学报,2009,52(3):750~ 757 J, J, X,et M .2009,52 (3):750~757 (本文编辑汪海英)
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