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基于差分法的反演计算

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基于 差分法 反演 计算
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基 于 差 分 进 化 算 法 的 核 磁 共 振!!谱 多 指 数 反 演!潘 克 家!) "陈 华#)谭 永 基!)!)( 复 旦 大 学 数 学 科 学 学 院 , 上 海 #$$%&&)#)( 中 国 石 油 大 学 ( 华 东 ) , 东 营 #’($)!)( #$$( 年 !! 月 !’ 日 收 到 ; #$$* 年 ! 月 !+ 日 收 到 修 改 稿 )提 出 了 一 种 基 于 差 分 进 化 ( ,-) 算 法 的 核 磁 共 振 弛 豫 信 号 多 指 数 反 演 新 方 法 . 将 核 磁 共 振 !#谱 反 演 问 题 转 化 为带 非 负 约 束 的 非 线 性 优 化 问 题 , 不 需 要 预 先 给 定 横 向 弛 豫 时 间 !#分 布 , 直 接 利 用 差 分 进 化 算 法 进 行 反 演 计 算 . 在 测量 信 号 低 信 噪 比 的 情 况 下 , 计 算 机 模 拟 和 实 验 数 据 反 演 都 表 明 了 该 方 法 在 分 析 处 理 /01 弛 豫 信 号 中 的 有 效 性 词 : 核 磁 共 振 , 多 指 数 反 演 , 差 分 进 化 , 岩 心 分 析"#$$: ())$!国 家 自 然 科 学 基 金 ( 批 准 号 : !$%&!$&$) 资 助 的 课 题 ." 7894:;>.?:!@ 引 言在 核 磁 共 振 测 井 中 , 一 般 采 用 法 测 量自 旋 回 波 串[ !, #], 纵 向 弛 豫 时 间 !!和 横 向 弛 豫 时 间!#都 是 用 来 描 述 自 旋 回 波 信 号 的 弛 豫 特 征 . 由 于和 横 向 弛 豫 时 间 !#相 对 应 的 !#谱 能 够 提 供 许 多岩 石 物 性 和 流 体 特 性 的 信 息 , 越 来 越 受 到 人 们 的 关注[ &— (]. 而 !#谱 的 求 解 本 质 上 是 一 个 多 指 数 反 演的 问 题[ *, +], 对 于 多 指 数 反 演 , 近 年 来 先 后 出 现 了罚 函 数 法 ( 、 奇 异 值 分 解 法 ( 、 非 负 最 小 二乘 ( //以 及 联 合 迭 代 重 建 算 法 ( , 并 且 在 罚函 数 法 和 奇 异 值 分 解 法 的 基 础 上 又 发 展 了 一 些 改 进算 法 , 这 些 算 法 从 不 同 角 度 来 解 决 多 指 数 反 演 问题[ !$]. 但 这 些 算 法 除 了 受 到 横 向 弛 豫 时 间 布 点 数 、原 始 回 波 采 集 个 数 等 因 素 影 响 外 , 还 易 受 信 噪 比 的影 响 , 在 不 做 任 何 参 数 校 正 的 情 况 下 , 这 些 算 法 都要 求 信 噪 比 E/1 J %$@ 对 于 低 信 噪 比 ( E/1 K &$) 情况 , 上 述 算 法 会 出 现 基 线 偏 离 的 情 况 , 导 致 孔 隙 度估 计 不 准[ !!], 另 外 , 在 处 理 !#谱 的 非 负 约 束 条 件时 , 它 们 均 采 用 迭 代 法 修 正 , 大 大 增 加 了 计 算时 间 进 化 ( 546 , ,-) 算 法[ !#, !&]是由 N 和 于 !++) 年 共 同 提 出 的 一 种 采 用 浮 点矢 量 编 码 在 连 续 空 间 中 进 行 随 机 搜 索 的 优 化 算 法 ,由 于 其 原 理 简 单 , 受 控 参 数 少 , 无 需 设 置 初 值 和 进行 导 数 计 算 , 且 易 于 理 解 和 实 现 , 是 一 种 比 较 有 发展 前 途 的 算 法 . 核 磁 共 振 弛 豫 信 号 多 指 数 反 演 问题 , 可 以 转 化 为 一 个 带 非 负 约 束 的 非 线 性 优 化 问题 , 然 后 利 用 差 分 进 化 算 法 求 解 .#@ 核 磁 共 振 !#弛 豫 信 号 数 学 描 述根 据 核 磁 共 振 理 论 , 核 磁 共 振 信 号 与 横 向 弛 豫时 间 谱 满 足 第 一 类 63 积 分 方 程 :"( #) T"!#34U!#35:$( !#) # L!#W!( #) , ( !)其 中 横 向 弛 豫 时 间 谱 $( !#) 为 横 向 弛 豫 时 间 !#对应 的 幅 度 值 , 从 物 理 意 义 上 讲 , $( !#) 为 非 负 值 . !#35:与 !#34 量 的 衰 减 信 号 所 能 分 辨 的 最 短 和 最 长弛 豫 时 间 , 一 般 !#35:T $@! 3X, !#34$$$$ 3X,!( #)为 随 机 噪 声 . 把 ( !) 式 离 散 化 后 , 所 测 的 核 磁 共 振 信号 "( #%) 可 以 认 为 是 由 一 系 列 满 足 单 指 数 衰 减 规 律的 回 波 信 号 叠 加 , 即"( #%)T#&’ T !$’· !#’W!( #%) , !$%$(, ( #)其 中 &, ( 分 别 为 测 量 到 的 回 波 个 数 和 横 向 弛 豫 时间 !#分 布 个 数 , #%为 采 集 时 刻 ( 通 常 为 回 波 间 隔 数 倍 ) , $( #%) 为 #%时 刻 测 得 的 回 波 幅 度 ( 卷 第 + 期 #$$* 年 + 月!$$$2&#+$Y#$$*Y’(( $+) Y’+’)2$)物 理 学 报[\H/.’(, />.+, O, #$$*!%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%#$$* A=5:.!" 多 指 数 反 演 优 化 模 型横 向 弛 豫 时 间 !#分 布 跨 度 大 , 通 常 范 围 从 $"%&’ 到 %$$$$ &’( 因 仪 器 不 同 而 有 所 差 异 ) , 导 致 方 程( #) 的 求 解 是 一 个 典 型 的 不 适 定 问 题 ( 测 量 数 据 很小 的 误 差 也 会 导 致 最 后 的 计 算 结 果 偏 差 很 大 , 这 也增 大 了 反 演 过 程 的 难 度 ( 现 有 的 各 种 !#谱 反 演 方法[ %)— %*], !#分 布 都 是 事 先 采 取 某 种 对 数 均 匀 布 点得 到 , 然 后 由 方 程 ( #) 得 到 一 个 线 性 方 程 组 , 再 利用 +,-, +./0, 112+ 等 方 法 求 解 ( 而 对 "( !#) 非 负约 束 的 处 理 , 都 是 采 用 某 种 迭 代 修 正 的 思 想 ( 由 于!#分 布 事 先 给 定 , 导 致 这 些 方 法 都 存 在 一 个 普 遍的 问 题 : 就 是 在 测 量 !#组 分 离 散 且 分 布 较 宽 时 , 反演 得 到 的 !#谱 分 辨 率 较 低 (并 且 , 这 些 基 于 迭 代 处理 非 负 约 束 的 方 法 , 有 时 收 敛 得 比 较 慢 , 从 而 大 大增 加 了 问 题 的 计 算 量 (文 献 [ %3] 提 出 了 一 种 反 演 与拟 合 相 结 合 处 理 核 磁 共 振 弛 豫 数 据 的 方 法 , 求 解 使用 了 245467489:;9; 和 正 则 化 参 数"对 反 演 结果 的 影 响 $ 通 过 计 算 实 例 和 对 比 说 明 了 /0 反 演 算法 抗 噪 能 力 强 , 收 敛 速 度 比 较 快 $ 第 二 小 节 给 出 了运 用 差 分 进 化 算 法 反 演 /#谱 的 一 个 实 例 $’"(" 理 论 模 型 试 算 结 果 与 分 析在 这 一 节 的 计 算 实 例 中 , 先 给 定 一 个 具 有 双 峰特 性 的 /#谱 分 布 , 由 ( #) 式 计 算 出 不 同 时 刻 0$的 信号 强 度 值 *$, 再 对 * 加 上 一 定 大 小 >9; 的 高 斯 白 噪音 得 到"*, 然 后 由 数 据 ( 0$,"*$) 用 /0 算 法 反 演 /#分布 $ 信 噪 比 >9; 按 如 下 方 式 定 义 :>9; ! #)· ?8@")#*###* 5"*##$当 /#组 分 1 ! ") 时 , 构 造 了 ."# 个 测 量 数 据 进 行反 演 ; 当 /#组 分 1 ! #) 时 , 我 们 构 造 了 ")#, 个 测量 数 据 进 行 反 演 $ 从 表 " 可 以 看 出 , 对 于 反 演 #) 个未 知 参 数 的 情 形 , 不 加 噪 声 时 反 演 结 果 非 常 精 确 ,相 对 误 差 2#范 数 为 )-)6A; 即 使 加 入 信 噪 比 为 =)的 噪 声 后 , 反 演 结 果 也 还 很 精 确 , 相 对 误 差 仅 为"-= 这 说 明 了 /0 反 演 算 法 对 于 比 较 小 的 1,高 信 噪 比 数 据 反 演 非 常 有 效 , 精 确 $下 面 研 究 1 ! #)( 反 演 ,) 个 参 数 ) 时 , 正 则 化参 数 对 反 演 结 果 的 影 响 $ 反 演 结 果 如 图 " 所 示 : 当"取 ")5 =时 计 算 结 果 相 当 好 ; 但 不 加 正 则 化 项 ( 1取 作 )) 时 , 计 算 出 来 的 3 值 振 荡 得 比 较 厉 害 ; 而 正则 化 参 数"过 大 取 ")5 会 把 解 磨 得 太 光 , 甚 至失 去 函 数 本 该 有 的 双 峰 特 性 $ 所 以 , 选 择 合 适 的 正则 化 参 数 对 此 类 问 题 的 求 解 起 着 至 关 重 要 的 作 用 $目 前 还 没 有 非 常 好 的 正 则 化 参 数 选 取 方 法 , 下 一 步=.’: 算 法 的 稳 定 区 间 大 约 为 ,$= %&’, %?’@ 算 法 的 稳 定 区 间 约 为 -$ = %&’, 并 且该 文 中 也 专 门 针 对 传 统 方 法 对 信 噪 比 比 较 敏 感 , 发展 了 相 应 的 校 正 方 法 提 高 反 演 质 量 ! 文 献 [ "0] 中 提到 &&?@* 公 司 的 图 3 实 际 数 据 反 演 结 果 比 较+#! 型 核 磁 共 振 岩 心 分 析 仪 , 对 长 庆 某 井 岩 心 进 行岩 石 核 磁 共 振 横 向 弛 豫 时 间 !+谱 测 量 , 试 验 参 数设 定 为 : 回 波 间 隔 时 间 )45 A*, 回 波 采 样 个 数()+% 个 , 经 数 据 压 缩 后 , 实 际 回 波 采 样 个 数 为 (+/个 , ’- 反 演 算 法 正 则 化 参 数!取 为 54) 6 ()7 (), !+布 点 数 " 取 为 +); 而 G.’ 和 $&’ 算 法 !+均 采 取 对数 均 匀 布 点 , 布 点 数 为 !)4 计 算 结 果 如 图 3 中 所示 , ’- 算 法 在 不 预 先 给 定 !+的 情 况 下 , 得 到 的 结果 与 已 有 算 法 取 得 的 结 果 非 常 符 合 ,14 结 论通 过 计 算 机 模 拟 和 实 际 算 例 , 得 到 如 下 结 论 :(4 和 传 统 算 法 如 $&’ 相 比 , 基 于 ’- 的 优 化 算法 不 依 赖 于 初 值 选 取 , 计 算 稳 定 ; 更 容 易 实 现 非 负 约束 , 计 算 速 度 快 ,+4 优 化 算 法 能 同 时 反 演 出 !+分 布 , 得 到 分 辨率 比 较 高 的 !+谱 ,!4 优 化 算 法 引 入 正 则 化 项 , 抗 噪 能 力 比 较 强 ,可 用 于 低 信 噪 比 !+谱 反 演 ,%4 优 化 算 法 非 常 适 合 !+组 分 离 散 且 分 布 较 宽( " H %)) , 信 噪 比 较 低 的 " 豫 信 号 反 演 ; 当 !+组 分 较 多 甚 至 连 续 分 布 时 , 可 采 用 $&’, $=""#$等 方 法 求 解 ,[ (] I, K?;B I (223 #, $%&’, ()*, $$% (( [ +] N I O, *; S +))! #, $%&’, ()*, $&% 335)123物 理 学 报 35 卷[ !] "#$$%& ’ (, )#*+ , " -."#$/ %&’/ ()"#/ ! 0![ 1] 23 4, 53%67 8 9 -.+," -./’/ 01$/ "# 1:;( +67 E F, =>+6 D, =>+6 D G, D>#67 , 5 -..: -./’/ #&;;0[ B] H 3/ ;6&>/ %&’/ #%) :::1] G%67 D R, 2%67 = E -..; *+," -&,>5/ 01$/ !%;B( / *$"7/#* !0:[ :A] ,, H%S#% I (, G% , H, ’+ R , :-+6 53%-)S%6 8#67V,’1,/, 0."$#."1 -., )-)( 8$19&>’1,/ 5@ -&,>57&=), $# -; )( 9+O+#P $#J Y"9 J+Q%\%& U/ S>+ U K#3& *J+V%??+ P+ X%Q#P + + Y%&##/A;A 期 潘 克 家 等 : 基 于 差 分 进 化 算 法 的 核 磁 共 振 指 数 反 演
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