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关于Laplace数值反演Stehfest方法的一点注记746617429

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关于 Laplace 数值 反演 Stehfest 方法 一点 746617429
资源描述:
    基 金 项 目 : 国 家 教 委 高 等 学 校 骨 干 教 师 基 金 资 助 和 山 东 省 自 然 科 学 基 金 资 助 。作 者 简 介 : 同 登 科 , 男 , 1963 年 2 月 生 , 1997 年 毕 业 于 石 油 大 学 (北 京 ) 油 气 田 开 发 专 业 , 获 博 士 学 位 , 现 任 石 油 大 学 应 用 数 学 系 教 授 , 主 要 从事 非 线 性 渗 流 力 学 理 论 及 其 在 油 气 田 开 发 中 的 应 用 研 究 。文 章 编 号 : 025322697 (2001) 0620091202来 稿 选 登关 于 值 反 演 法 的 一 点 注 记同 登 科     陈 钦 雷(石 油 大 学   山 东 东 营   257061)摘 要 : 在 国 内 大 多 数 试 井 文 献 中 都 采 用 法 进 行 L ap 换 数 值 反 演 , 但 在 使 用 反 演 公 式 时 出 现 了 一个 错 误 。 文 中 给 出 了 正 确 的 反 演 公 式 , 并 比 较 了 这 两 个 公 式 的 计 算 结 果 与 真 实 函 数 的 误 差 , 发 现 差 异 很 大 。 因 此 在使 用 法 时 要 使 用 正 确 的 计 算 公 式 。关 键 词 : L ap 换 反 演 ; 积 分 变 换 ; 法 ; 试 井中 图 分 类 号 : T       文 献 标 识 码 : 井 分 析 中 , 压 力 方 程 的 解 析 解 一 般 不 易 得 到 , 即 使 得 到 还 需 作 数 值 处 理 。 在 实 际 应 用 中 往 往 先 对 压 力方 程 作 拉 氏 变 换 , 求 得 拉 氏 空 间 解 , 然 后 进 行 数 值 反 演 得 到 实 空 间 的 解 [1, 2 ], 通 常 采 用 的 数 值 反 演 方 法 就 是 法 。我 国 在 20 世 纪 80 年 代 初 将 法 引 入 不 定 常 渗 流 的 研 究 之 中 , 其 后 许 多 现 代 试 井 分 析 数 学 模 型的 求 解 都 采 用 了 这 一 算 法 , 但 是 大 部 分 作 者 都 使 用 了 ]最 初 论 文 中 的 公 式 , 而 没 有 注 意 到 来 的 评 注 [4 ]。1970 年 , ]发 表 了 题 为 “ 拉 普 拉 斯 变 换 的 数 值 反 演 ” 一 文 , 在 此 文 中 给 出 了 拉 普 拉 斯 变 换 数 值 反 演的 一 个 计 算 公 式 , 假 设 函 数 f (t)的 L ap 换 为 f (s)f (s) = L [f (t) ] =∫∞0f (t) e- 1)倘 若 能 够 计 算 f (s) , 那 么 函 数 f (t)在 t= T 的 值 可 由 下 式 算 得f (T ) = 1V if i (2)其 中V i = (- 1)N 2+ i ∑M i,N 2)k= i+ 122+ 1 (2k ) !(N 2 - k) ! k ! (k - 1) ! (i - k) ! (2k - i) ! (3)在 随 后 发 表 的 评 注 中 , ]指 出 了 文 献 [ 1 ]中 的 错 误 , 认 为 式 (2)中 的 V i 式 (3)有 误 , 其 正 确 形 式 应 为V i = (- 1)N 2+ i ∑M i,N 2)k= i+ 122 (2k) !(N 2 - k) ! k ! (k - 1) ! (i - k) ! (2k - i) ! (4)式 (2)、 式 (4)即 为 法 的 主 体 , 也 是 其 正 确 的 表 达 形 式 。 法 本 身 有 着 比 较 复 杂 的 数 学 背 景 。 它 形 式 上 有 如 一 个 经 验 公 式 , 实 质 上 是 理 论 推 导 的 结 果 。 原则 上 说 算 法 中 反 演 公 式 项 数 N 取 值 越 大 , 计 算 越 准 确 , 但 在 应 用 中 由 于 舍 入 误 差 的 影 响 ,N 的 取 值 是 有 选 择的 ,N 一 般 取 (6~ 18)之 间 的 偶 整 数 。 在 试 井 分 析 中 , 如 果 得 到 了 L ap 换 解 式 , 那 么 结 合 式 (2) 和 式 (4) 编制 程 序 即 可 计 算 得 到 p ~ 据 , 这 是 法 最 广 泛 的 应 用 。第 22 卷   第 6 期2001 年 11 月石 油 学 报A I S o l. 22  N o. 6N 2001 设                                   Y = f (t) = 1)则 其 L ap 换 为                           F (s) = L [Y ] = 1s(6)在 下 面 的 图 1、 图 2 中 , 实 线 表 示 式 (5) 所 描 述 的 曲 线 , 图 1 中 的 散 点 是 利 用 式 (2) 和 式 (4) 对 式 (6) 作 拉 氏数 值 反 演 的 结 果 , 图 2 中 的 散 点 是 利 用 式 (2) 和 式 (3) 对 式 (6) 作 拉 氏 数 值 反 演 的 结 果 , 从 图 1 中 可 看 出 , 由 式(2)和 式 (4)作 拉 氏 数 值 反 演 得 到 的 数 值 与 式 (5)所 表 示 的 曲 线 拟 合 的 很 好 , 但 由 式 (2)和 式 (3)作 拉 氏 数 值 反 演得 到 的 数 值 与 式 (5)所 表 示 的 曲 线 拟 合 的 不 好 , 特 别 是 初 始 值 相 差 很 大 。图 1  式 (2)和 式 (4)计 算 结 果 与 函 数 曲 线 拟 合 图    F 1  P lo ts of fo r fo rm 2)   4) m to 2   图 2  式 (2)和 式 (3)计 算 结 果 与 函 数 曲 线 拟 合 图F 2  P lo ts of fo r fo rm 2)3)m to 是 有 界 封 闭 地 层 圆 柱 分 形 油 藏 压 力 曲 线 图 , 其 中 上 面 三 条 曲 线 是 由 式 (2) 和 式 (3) 作 拉 氏 数 值 反 演 得到 的 曲 线 , 下 面 的 三 条 曲 线 是 由 式 (2)和 式 (4)作 拉 氏 数 值 反 演 得 到 的 曲 线 。 从 图 3 中 可 以 看 出 , 曲 线 的 形 状 相同 , 但 数 值 差 距 很 大 。 图 4 是 双 重 介 质 油 藏 压 力 曲 线 图 , 利 用 不 同 的 反 演 公 式 得 到 的 曲 线 , 情 况 与 图 3 相 同 。 从上 面 3 种 不 同 的 情 况 看 在 试 井 分 析 中 利 用 式 (2)和 式 (3)作 拉 氏 数 值 反 演 将 导 致 较 大 的 错 误 。图 3  有 界 封 闭 地 层 圆 柱 分 形 油 藏 压 力 曲 线 图    F 3  P lo ts of p fo r a  ir  图 4  双 重 介 质 油 藏 压 力 曲 线 图F 4  P lo ts of p fo r an w po ro 文 献[ 1 ]  V F . T he of ap rm to p in ]. T M E, 1949, 186: 305~ 324.[2 ]  李 笑 萍 . 油 气 藏 渗 流 中 的 非 线 性 偏 微 分 方 程 问 题 [M ]. 北 京 : 石 油 工 业 出 版 社 , 1996.[3 ]  . A 68 ap rm s[J ]. 1970, 13 (1): 47~ 49.[4 ]  . R em 68 ap rm s [J ]. 1970, 13(10): 624~ 625.(收 稿 日 期 2001205211    修 回 日 期 2001207205    编 辑 杨   茁 )29 石     油     学     报 2001 年   第 22 卷  
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