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反演点的性质与应用

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反演 性质 应用
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2013年第5期 中学数学月刊 · 53 · 反演点的牲质与应用 刘新春 (江苏省扬中高级中学 212200) 1 问题提出 已知圆0的半径为R,从圆心0出发任作一 射线,在射线上任取两点M,N.若,且 ,则称点M,.M, 演点在圆锥曲线中扮演重要角色,有着广泛的应 用. 2 反演点的性质 性质1 若M,则圆0上任意一点到 . 证明 以。为原点建立直角坐标系,使点M 和题意,设圆的方程为 +y 一R ,点M,,O),(n,0), 在圆上任取一点P( , ), 则 一 ( 一 )。+Y 一 .76 +y。一2一 (。+Y。 y 一2z R 一2一 一 R。一2nx+n。 m 一2三 一 ,所以 一√ . [(z—n) +y ],整理得生一 一1. 设b 一n 一方程可化为J 5一 一1.此 为双曲线的标准方程,可知结论成立. 性质4 若M,』\,是一对反演点,分别过M, z ,则到z ,z 的距离之 比为^/ 的点的集合是两条直线. (证明过程略). 例 如图1,在平面直 .D Y} , y k c: + 一l,斜率为(忌>1_ — 0)且不过原点的直线 。 圆两点,线段 中点为E,射线椭圆直线 === 一3于点D(一3, ).若l 0G l。一l OD l· i .求证:直线证明 根据题意,直线质2 在直角坐标系知点 一 .z.由 M(m,O)和N(n,0)( 3n \厂 且 一 ’因为-^、/翌’且 一 丝 l /f 9y k+—m。 I 等√ , 1 0 I 一1 019 1.I ,故3 + 一3k+m. 因为点由 fY—kx+n, . 2 可得(1+3k )z。+6n。一3一 l 十y 一l l J 0. 所以z 一 一一 ,又—3m,所以 — 1.将 一 1代人3 + m 2 —3志+ 中可得k— .所以直线一 +k,即z+1).令Y—O,与实 数以直线 过定点(一1,O).
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