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地震波反演的基本问题

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物探 地震资料解释 地震处理 反演
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第 24 卷 第 6 期2012 年 12 月岩 性 油 气 藏20120 引言地震波反演成像包含 2 个层次 ,即反射系数估计 (或称真振幅成像 ,其简化形式为一般的叠前偏移成像 ,仅仅定位反射系数出现的位置 );全波形反演 (写为 计速度和密度 (也可估计各向异性参数和吸收衰减参数等 ,但多参数反演的难度更大 )。地震波反演的基本思想是 计理论 。]详细而深入地分析了地震波全波形反演的理论问题 。 在整个地震数据处理与反演成像过程中 ,去噪音 、反褶积 、数据规则化 、一维波阻抗反演 、前 )弹性参数反演 、叠前偏移成像 、速度分析 、层析成像等都是在此框架下进行的 。 根据 首先假设存在一个正演算子 ,它可以预测观测数据 ,并预测噪音为高斯白噪 ,此时的 在一定的范数意义下建立一个预测误差 ,数据误差一般用 数 ,模型约束一般用 数等 ;根据正算子的线性与否 ,选择用线性最小二乘方法或非线性最小二乘方法求解反演问题 。预测观测数据正算子的作用十分重要 ,如褶积算子用于反褶积 ,一维波动方程用于预测自激自收的地震道 (波阻抗反演 ),型算子常用于线性信号预测 (压制噪音 ),旅行时计算算子用于预测实测数据中的旅行时 (层析成像 ),程及各种简化形式用于预测角度反射系数 (性参数反演 ),换算子用于预测规则无假频数据的谱 ,动校正时距关系用于预测实测 集中的双曲时距关系 (估计均方根速度 ),各种形式的波动方程用于预测实际观测的炮记录 (全波形反演 )。反演问题是典型的不适定问题 ,包括解的存在性 、唯一性和稳定性问题 。 在地球物理反演中 ,解的存在性是有物理保证的 ,主要问题是解的不唯一性收 稿日期 :2012回日期 :2012国家重点基础研究发展计划 “973”项目 “基于散射点道集的全波形速度反演与成像 ”(编号 :2011助 。作者简介 :王华忠 (1964-),男 ,教授 ,博士生导师 ,主要从事地震波传播 、偏移成像与反演 、近地表与中深层速度分析 (反演 )和速度模型建立 、地震数据规则化处理等方面的工作 。 地址 :(200092)上海市四平路 1239 号同济大学海洋楼 。 1673012)06雄文1,王西文2(上海 200092;甘肃 兰州 730020)摘要 :论框架下的地震波全波形反演是油气勘探中的导引性技术 ,其基本思想在去噪音 、反褶积 、地震数据规则化 、一维波阻抗反演 、前 )弹性参数反演 、叠前偏移成像 、速度分析及层析成像中占据核心位置 。 但由于观测数据与反演模型参数之间的高度非线性性 ,导致在实际地震数据处理中地震波全波形反演 (难度增大 。 据此 ,首先从概率论的观点说明了地震波反演的本质 ,指出在假设观测噪音为高斯白噪的情况下 ,计可以在最小二乘意义下实现 ;接着分析了数据空间向参数空间映射的数学物理含义 ,指出映射的非线性性强弱取决于数据和模型之间的非线性关系 ,更准确地说取决于介质模型的复杂性和描述地震波物理传播过程的正算子的复杂性 ;最后在分析陆上和海上地震数据特点的基础上 ,指出了地震波反演走向实用化的策略 。 通过以上分析 ,提出 :①速度场的反演是利用特征波场的反演 (而不是全波形的反演 ;②合理地增加波场的相位信息在泛函中所占的比例 ;③尽量充分考虑初始模型的先验信息 。 只有满足以上 3 个条件 ,才能使地震波全波形反演逐步走向实用化 。关键词 :地震波反演 ;线性与非线性 ;数据空间与模型空间 ;正则化 ;多层次与多尺度反演中图分类号 :献标志码 : 油 气 藏 第 24 卷 第 6 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期和计算过程中的不稳定性 。 从最小二乘解法来看 ,二者具有关联性 ,计算的不稳定性进一步影响了解的不唯一性 ,但最根本的问题还是解的不唯一性 。反演问题中解的不唯一性本质上是由数据空间向模型空间映射的非线性性引起的 ,更进一步地 ,是由模型参数变化的复杂性和描述波场及参数场关系的正算子决定的 。 不唯一性只可以减弱 ,不可以完全消除 。 减弱反演解的不唯一性的关键是减弱由数据空间向模型空间映射的非线性性 ,以及增加关于反演解的先验信息 。20 世纪 80 年代 ,地震波反演处于热潮时期 ,多位学者[2全波形反演理论做了十分扎实的研究工作 。 但受当时野外地震观测技术和高性能计算机技术的局限 ,无法将提出的理论方法转为实用 。 此后 ,一维波阻抗反演 、前弹性参数反演得到不断发展 。 但从理论上看 ,这些反演方法都不具备高维叠前反演的潜力 。近几年 ,地震波高维叠前反演又成为勘探地球物理方面的核心议题 ,这首先得益于地震数据采集技术和大规模高性能计算机技术的进步 ,以及很多研究者[7地震波高维叠前反演研究也做了大量的铺垫工作 。笔者首先从概率论的观点说明了地震波反演的本质 ,指出在假设观测噪音为高斯白噪的情况下 ,计可以在最小二乘意义下实现 ;分析了数据空间向参数空间映射的数学物理含义 ,指出映射的非线性性强弱取决于数据和模型之间的非线性关系 ,更准确地说取决于介质模型的复杂性和描述地震波物理传播过程的正算子的复杂性 ;在分析陆上和海上地震数据特点的基础上 ,指出了地震波反演走向实用化的策略 。1 地震波反演的概率论观点1. 1 实测地震信号 (地震波场 )的随机性一般认为观测到的地震数据是一个确定性信号 ,但如果从概率论的角度看 ,将采集地震数据这一过程视为一个随机过程 ,则观测到的地震数据只是该随机过程的一次具体实现 。 因此 ,地震数据是一个随机的信号 ,具有均值 、方差等统计特征 ,而不是一个确定性的信号 。反演的结果在很大程度上取决于所用的观测数据 ,当观测数据不同时 ,所得到的反演结果也肯定不同 ,因此当所用的观测数据具有随机性时 ,反演结果也肯定是随机的 。 由于反演结果的方差描述了反演结果的可靠性 ,所以方差值不能太大 ,否则所得到结果的可靠性就会很低 ,反演问题就会失去其意义和价值 。 因此 ,对反演问题的求解过程也可以理解为利用尽可能多的先验信息和约束条件来降低反演结果方差的一个过程 。综上所述 ,基于随机观测数据的反演结果也是随机的 ,其主要统计特征可以用均值和方差来衡量 ,所得估计结果的统计特征应该是无偏 、方差最小的 ,其中无偏是为了保证估计结果与真实情况保持一致 ,方差最小是为了保证估计结果的可靠性达到最高 。 为了得到这样的估计结果 ,可以在 论框架下求解反演问题 。1. 2 计基本思想计基本思想可以简单概括为 :估计的结果 m 是由后验概率密度函数 P(m/y)所决定的均值E{m/y},其中 y 代表观测数据 。m=E{m/y}=乙mP(m/y)1)式 (1)表示参数估计的结果是由观测数据所对应的模型参数出现的概率所决定的 。由于后验概率密度函数 P(m/y)很难估计 ,所以将其转化为较容易估计的模型空间的先验概率密度函数 P(m)、数据空间的概率密度函数 P(y)和条件概率密度函数 P(y/m)来表示 ,其中 P(y/m)体现了正算子的不确定性 ,描述了从模型空间到数据空间的映射关系 。 该 式为P(m/y)=P(y/m)P(m)P(y)(2)1. 3 地震波反演的概率论认识关于模型空间的先验概率密度函数 P(m),其先验信息就是模型参数的均值和方差 ,而 P(m)的取值反映了对模型的认识程度 。 P(m)的均值和方差在反演求解过程中主要起到约束解的取值范围的作用 。 如果 P(m)某个分量的方差较小 ,则代表由先验信息所决定的该分量的值的可靠性就较高 ,因此该分量的估计结果主要由先验信息所决定 ;如果P(m)某个分量的方差较大 ,则代表由先验信息所决定的该分量的值的可靠性就较低 ,因此该分量的估计结果主要由观测数据所决定 。 P(m)初步定义了反演问题的解在整个模型空间的概率密度函数 ,而反演问题的求解过程就是利用所观测到的数据更新这一概率密度函数的过程 。^^22012 年2012 年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年 王华忠等 :地震波反演的基本问题分析关于数据空间的概率密度函数 P(y),可采用以下方式定义其均值和方差 。 地震数据可认为是随机过程的一次具体实现 ,由于该随机过程只实现一次 ,所以可将该次实现看做该次随机过程的均值 ,即P(y)的均值由采集到的地震数据所决定 。 而 P(y)的方差主要由地震数据的观测方式所决定 ,地震数据在某个空间范围内的采样密度越高 ,该空间范围内的地震数据所对应的方差就越大 。 如果假设P(y)为高斯函数 ,则其均值和方差都可用上述方法来决定 。关于条件概率密度函数 P(y/m),它表示在给定模型 m 的条件下 ,采集到数据 y 的可能性的大小 。实际上 ,P(y/m)也体现了用来描述实际物理现象的正算子的精确程度 。 当所用的正算子可以准确无误地描述实际物理过程时 ,P(y/m)应该是一个 δ 类函数 ,否则它也应该有自己的均值和方差 。 因此 ,正演问题描述方法的差异会明显地影响 P(y/m)的取值 。一般情况下 ,假设正算子在某些假设条件下可以比较准确地描述地震波的物理传播过程 ,并且其概率密度函数也是高斯函数 。 但实际情况并非如此 ,由于使正算子成立所要求的那些假设条件在实际情况中不一定都能得到满足 ,因此用正算子预测的数据与观测数据会存在较大的差异 ,并且正算子的概率密度函数也不一定是高斯函数 ,再加上先验信息的不充分 ,反演问题实际上是一个非常复杂的问题 ,如果不加上合理的约束条件 ,则很难直接得到一个具有地质意义的结果 。根据 式可以看出 ,P(m/y)的均值和方差主要由 P(m),P(y)和 P(y/m)来决定 。 从这个角度看 ,对反演问题的求解可认为是在 P(y),P(m)和P(y/m)的约束下使 P(m/y)最大化 ,并且期望均值为m=乙mP(m/y) ,模型空间的方差最小 。 目前 ,常规反演问题的基本做法是假设 P(m)和 P(y/m)均为高斯函数 ,在忽略观测系统不规则性的前提下 ,假设 P(y)是标准的正态分布 (当地震数据是规则采样时 ,其各个分量的方差均应相等 ),把 P(m/y)的最大化问题转化为代价函数 S(m)的最小化问题 。 一般地 ,如果假设 P(m)和 P(y)均为高斯分布 ,并且忽略正算子的不确定性 ,则代价函数 S(m)可以简单地定义为S(m)=12{g(m)m)+λ(CM( (3)式中 :如果正演问题 g(m)是线性函数 ,即 g(m)=且矩阵 (正定的 ,则 S(m)是一个正定二次函数 ,有唯一的极小值点 。 求解 S(m)极小值点的收敛速度和解的稳定性取决于矩阵 (件数的大小 ,因此可以用 的方法快速得到其最优解 。 如果矩阵 (不定的 ,即其特征值有正有负 ,则要先对 S(m)做适当的正则化处理 [在 S(m)的构建过程中加入适当的约束条件 ],再求取其极小值点 。如果正演问题 g(m)是非线性问题 ,但代价函数 S(m)是个严格凸的函数 ,那么 S(m)的极小值点也是唯一的 。 求解 S(m)极小值点的收敛速度和解的稳定性 ,取决于 S(m)的二阶导数在模型空间各个方向上的比值的大小 ,此时各种最优化方法均可以用来求解其极小值点 。 如果初始值在极小值点附近 ,此时可以用一个二次函数来近似 S(m)在该局部范围内的值 ,也可以用 方法加快其收敛速度 。 如果 S(m)不是严格凸的函数 ,则 S(m)的极小值点不再唯一 ,解决此类问题可以用信赖域方法 、法等 。 这些方法都可以用来求解非线性最优化问题 ,但由于 法计算量大 ,如果缺乏比较好的策略则很难进行求解 ,因此在这种情况下信赖域方法是一个比较好的选择 。 信赖域方法的具体实现方式有很多种 ,其主要思想就是通过相关的先验信息来约束解的范围 ,从而降低解空间的大小 ,使 S(m)在约束后的解空间里为一个严格凸的函数 ,再用相应的最优化方法即可求取其极小值点 。通常也可以把反演过程视为在所有可能的参数模型形成的模型空间 (也是方程的解空间 )中进行采样的过程 。 反演结果对应的采样点应该是能够使式 (3)达到极小值 ,或是使后验概率密度函数P(m/y)达到最大值的采样点 。 基于上述用采样的观点来理解反演问题 ,可以认为 :在确定性的观点下利用梯度导引类的方法求解非线性反演问题仅仅是在初始值附近的局部范围内对可能的模型参数进行采样 。 但勘探地震学中模型空间的规模巨大 ,初始值虽然很重要 ,但其选择却很困难 。 如果初始值的选择不能接近真实值 ,梯度导引类的算法将不能得到有意义的反演结果 。 此外 ,也说明所有可能的参数模型依赖于建模过程中对参数所选择的描^113岩 性 油 气 藏 第 24 卷 第 6 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期述方式 ,它会直接影响到模型空间的采样方式 。 因此 ,在正演过程的建模中要尽可能选择最佳的描述方式以获得足够小的模型空间 。基于此观点 ,样反演方法就显得非常直观 。 与梯度导引类方法不同 ,演方法是基于一定的概率密度函数在所有可能的参数模型所形成的模型空间中进行采样 ,而不是基于梯度导引类方法在初始值附近对模型空间进行采样 。 法对模型空间的采样所依据的概率密度函数体现了对模型的认识 ,这种认识主要来源于模型空间的先验信息 。 与梯度导引类方法相比 ,法对初始值的依赖性要小得多 ,但无论是 机采样方法还是梯度导引类采样方法 ,二者都是在 计的思想框架下进行的[25因此 ,对反演问题最后结果的评价原则上应该是统计决策的问题 ,主要评价依据是反演结果的均值和方差 ,其中方差的意义尤其重要 ,它反映了反演结果的可靠程度 。2 数据空间向参数空间的投影2. 1 地震波反演中的数据空间与模型空间地震波反演的正演过程可以简单地描述为 :由震源激发出来的地震波在由地球介质所组成的系统中进行传播 ,最后被检波器接收 。 在这一物理过程中 ,任何与地震波传播现象有关的介质参数都可以是地震波反演所估计的模型参数 (如纵波速度 波速度 收衰减系数 Q 等 ),这些参数构成了反演问题的模型空间 。 这里用 M 表示模型空间 ,用m 表示模型空间中的元素 ,那么在地球介质中传播后被检波器接收到的波场可以理解为震源激发的子波经过地球介质系统后的系统响应 ,它包含了地球介质系统的参数信息 。 因此 ,在接收到的波场中 ,与模型参数有联系的地震波场就构成了反演问题的数据空间 ,这里用 D 表示数据空间 ,用 d 表示数据空间中的元素 。在地震波反演问题中可以将模型空间 M 和数据空间 D 都视为线性空间 ,并且元素 m 和 d 的表达形式取决于线性空间对基函数的选择 。 线性空间对基函数的选择应该遵循的原则是 :线性空间中的元素 m 和 d 可以被稀疏地表达 ;联系元素 m 和 d 的算子可以被稀疏地表达 ,并且是稳定的 。 其中 ,第一个原则是为了降低地震波反演的规模 。 由于地震波反演问题中的模型空间经常是一个维数很高的线性空间 ,为了提高计算效率 、降低地震波反演的规模 ,研究模型与数据的稀疏表达就显得非常有必要 。第二个原则是为了提高地震波反演的计算效率 。 由于梯度类的反演方法需要计算目标函数的梯度和步长 ,其中梯度的计算需要实现一次波场正演和一次波场反传播 (本质上也是一次正演 ),步长的计算至少需要一次波场正演 ,每一次模型的更新至少需要 3 次正演计算 ,因此正算子的稀疏性会影响地震波反演中每一次迭代的效率 。 又由于算子的稳定性会影响反演问题的稳定性 ,最终体现在求解反演问题所需要的迭代次数上 。 算子的稀疏性和稳定性决定了反演问题的计算效率 ,而算子的这 2 个原则同模型与数据的表达方式又有很大关系 ,所以这也是模型空间 M 和数据空间 D 在选择基函数的过程中必须考虑的一个因素 。2. 2 数据空间与参数空间的联系很显然 ,观测数据与模型参数的关系涉及到实际物理现象和数学建模这 2 个层次 。从物理层面上看 ,炮点激发的地震波经过地球介质系统后在地表被检波器所接收 ,在此物理过程中 ,观测数据是介质系统对激发的响应结果 。 在给定介质系统以及忽略观测数据中的随机噪音的前提下 ,观测数据是唯一的 。 此时从地球介质系统 d 的映射关系 f ∶ m→d 可视为一个单映射关系 ,但并不能保证这种映射关系的可逆性 ,这也是 稳定的最根本原因 。 通过上述物理过程可知 ,由地球介质系统组成的模型空间和由观测数据组成的数据空间联系紧密 ,只有联合二者才能够完整地描述地震波的传播过程 。 因此 ,不能只靠在数据空间的逼近也不能只靠在模型空间的约束条件 ,而应该是在模型空间和数据空间组成的联合空间 (m,d)中 ,根据对模型合理的约束 ,利用数据空间的逼近关系来求解反演问题的解 。仅靠物理过程是无法得到介质参数的分布结果的 ,因此需要在数学层面上人为地引入正算子 ,把实测数据和介质参数系统地联系在一起 ,当该正算子满足一定的假设条件时 ,就可以通过正算子的逆算子或伴随算子来估计介质参数模型 。 但这些正算子在大部分情况下是不可逆的 ,因此只能根据模型空间的先验信息获得反演问题的一个初始解 ,再利用正算子获得该初始解所对应的正演数据 ,并根据正演数据与观测数据的差异修改初始解 。 当正演数42012 年2012 年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年据与观测数据非常逼近时 ,可认为所用的初始解就是反演问题可以被接受的解 。 但这在概念上也存在问题 ,因为一个观测数据可能会对应无数的模型参数 ,而在一定约束条件下 ,只存在一个模型与观测数据相对应 。 前已述及 ,正算子可以用各种褶积模型或利用第一类 分方程或偏微分方程来表达 ,并建立介质参数 (或是介质参数的扰动 )与预测数据 (或是观测数据 )之间的关系 ,这种映射关系可以认为是实际物理现象的一种数学表达方式 。在此数学建模过程中 ,需要对实际地球介质系统和物理过程作相应的假设 ,最后得到的模型空间是实际地球介质系统的某种抽象表达 ,数据空间的元素也是对实际观测数据的某种近似表达 。 这种抽象的 、近似的表达与实际情况的差异主要由正算子所提出的假设条件是否被满足来定 ,正算子的随机性在这里表现为实际情况随机地满足正算子所要求的假设条件 。2. 3 数据空间向参数空间的投影及投影的非线性分析根本问题还是观测的地震数据与模型参数之间的非线性映射关系 ,这使得实测数据逆映射回模型空间时不是一一对应的 ,而是一对多 ,且极不稳定 ,观测数据中的微小扰动经常会导致逆映射结果的巨大变化 。已知实测数据 (包括数据空间的元素 )与实际介质模型 (包括模型空间的元素 )之间的关系是非线性的 。 非线性性的强弱不仅取决于介质参数的复杂性 ,还取决于描述这一物理过程的正算子的复杂性 。 因此 ,非线性关系既取决于实际物理问题 ,又取决于描述该物理问题的数学形式 ,即非线性性的强弱在某种意义上是可以人为改变的 。 因为线性关系是一对一的 ,比较容易求解 ,所以常把一个非线性性很强的问题逐步线性化 ,用一系列线性问题来逼近原来的非线性问题 。2. 4 反演问题解的不唯一性分析反演问题解唯一存在的必要条件是代价函数S(m)在模型空间 (或是解空间 )中为严格凸 ,而 S(m)的凸性主要由正算子的性质所决定 。 正算子定义了从模型空间到数据空间的映射关系 ,当这种映射关系为线性时 ,代价函数 S(m)是一个非负的二次型函数 (二次项系数非负 ),此时保证了 S(m)的凸性 。当正算子为线性时 ,正演过程 G(m)=d 可以简化为G(m)=Gm=d,其中 G 是离散成矩阵形式的正演算子 。 正算子矩阵 G 条件数的大小决定了代价函数S(m)凸性的好坏 :矩阵 G 的条件数越小 (正算子越稳定 ),代价函数 S(m)的凸性越好 。 当正算子被一线性函数近似时 ,其稳定性主要是指正算子矩阵G 的核空间为空集 A={m|}=覫,并且条件数比较小 ,这一性质保证了矩阵 G 的逆是稳定存在的 。 因此 ,正算子的线性性保证了代价函数的凸性 ,正算子的稳定性保证了代价函数具有好的凸性 ,而正算子的线性性和稳定性决定了反演问题解的唯一性 。实际反演问题所对应的正算子经常是不能同时满足线性性和稳定性这 2 个条件 ,这也是反演问题解不唯一或是不稳定的主要原因 。 以地震数据规则化为例 ,其对应的正算子 (傅里叶算子 )虽然是线性的 ,但由于其不稳定性 (算子矩阵的条件数比较大 ),使得该反演问题的解也不唯一 。 对于全波形反演 ,正算子不仅是不稳定的 ,而且是非线性的 ,这就使得代价函数 S(m)在解空间中的凸性更难得到保证 。 解决这一问题的有效方法是在原来模型空间的某个子空间 (m),使 S(m)在该子空间里具有比较好的凸性 。 如果 S(m)在子空间 那么 S(m)可以用一个二次型函数来逼近 ,而相应的正算子也可以用一个线性函数来表示 ,这就保证了反演问题在子空间 之后再根据相关的先验信息合理地扩展子空间 使求得的解是最初模型空间中合理的解 。 选择子空间 如加约束条件 、分尺度反演 、修改误差函数 、修改正算子等都可以理解为选择子空间的过程 ,但其原则只有一个 ,即保证 S(m)在子空间 综上所述 ,反演问题解的不唯一性的最本质原因是代价函数 S(m)在模型空间 M 中为不严格凸或是凸性不好 ,该性质主要由正算子的非线性性 、不稳定性所决定 。 解决这一问题的有效方法是限制解空间的范围 ,使得 S(m)在新的解空间中具有较好的凸性 。 分尺度反演 、加约束条件 、逐步线性化等方法都可以理解为运用不同的手段选择符合先验信息的子空间 ,根据它们获得的解是反演问题在某个子空间中最合理的解 。 反演问题求解过程中运用的各种正则化方法和手段其实并未消除解的不唯一性 ,只是通过限制反演问题解空间的范围来一定程度地减弱反演问题解的不唯一性 ,此时求得的解应该理解为某种意义上的最佳解 。王华忠等 :地震波反演的基本问题分析 5岩 性 油 气 藏 第 24 卷 第 6 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期岩 性 油 气 藏 第 卷 第 期3 海上和陆上地震数据的特点分析地震波反演需要将计算机的正演结果与野外实际采集到的地震数据进行比较 ,然后根据数据残差来更新地下模型参数的值 。 当计算机的正演结果可以重现野外大部分波现象时 ,说明此做法是合理的 。 但如果野外采集的地震记录中有很多能量在正算子中无法重现 ,或者由于简化正算子而被忽略掉 ,那么仅靠数据残差进行模型参数的更正是不合理的 。 这是因为在这种情况下 ,导致数据残差的因素主要有模型参数和正算子的误差 ,而且这 2 个因素所引入的误差几乎是在同一个数量级上 。 因此 ,当野外的波现象比较复杂 ,且正算子无法重现野外大部分波现象时 ,地震波反演就无法得到好的结果 。海上地震数据由于是在均匀的海水中进行激发和接收 ,各炮的气枪震源的子波特征相对比较一致 ,而且可以较容易地记录下来 ;同时 ,与海水面有关的噪音相对比较简单 ,包括鸣震 、源鬼波和检鬼波 、长程多次波 ,对这些噪音的消除或者正演预测都相对比较容易 。 另外 ,目前海上宽方位 、长拖缆采集方式也基本保证了高维全波形反演的空间采样需求 。陆上地震数据与海上地震数据相比 ,地表条件要复杂得多 ,导致观测的波场很难用一个比较简单的波动方程来进行预测 。 首先 ,陆上采集用的震源是炸药震源或可控震源 。 由炸药震源激发的子波会受很多因素的影响 ,因此在陆上采集时很难得到一个各炮一致性比较好的子波 ,而子波的不一致性在地震波反演中会体现在数据残差上 。 可控震源的子波形态由扫描信号和经过地层滤波作用后反射的扫描信号之间的相关结果来决定 ,其在地震波反演中的数学物理含义是不清楚的 。 其次 ,陆上探区近地表的高程变化和岩性变化导致了极其复杂的波现象 ,这些波现象是正算子无法重现的 ,这种误差会最终体现在数据残差上而影响反演迭代的收敛情况 。 这些无法重现的波现象虽然含有地表介质的信息 ,但很难被利用 ,在反演过程中就成为了噪音 。由于传播距离较近 ,这部分波现象的能量常较大 ,会在反演中影响每一次迭代过程 。 这些不能预测或不能较好预测的波现象较难消除 。 可以说 ,与地表有关的复杂波现象和各炮子波的不一致性是陆上地震波全波形反演的最大障碍 。综上所述 ,陆上数据在做速度反演前需完成很多预处理工作 ,而最主要的工作是去噪音和表层介质参数建模 。 在地震波反演中 ,有效信号应该是指那些包含了地层介质信息并且能够被正算子所描述的那部分波现象 ,而其他观测到的反射能量在地震波反演中都应该被视为噪音 ,包括那些虽然包含地层介质信息 ,但却无法被正算子所描述的波现象 。表层建模是为了消除复杂地表对反演的影响 ,避免反演的迭代过程陷入某个局部极值 。因此 ,海上数据的全波形反演相对于陆上数据而言要简单得多 ,这也是目前海上地震数据全波形反演有若干应用实例的原因 。4 地震波反演的多层次多尺度实现到目前为止 ,地震波全波形反演 术很难用于实际情况以得到符合地质实际的参数模型 ,或用于逆时深度偏移成像 (进一步的储层油气预测过程中 ,其主要原因是实测数据波现象过于复杂 、激发震源函数未知 、正演模拟出的预测波场与实测波场差异过大及观测数据的照明角度不足 。4. 1 梯度导引类反演方法的局部寻优特征梯度导引类反演方法的主要步骤可以表述为 :①根据某种条件 (如常见的共轭梯度或最速下降条件 )计算模型更新的方向 ;②计算模型沿更新方向的最佳更新量 ;③根据模型的更新方向和更新量对模型进行更新 ,并将更新后的模型作为初始值以进行下一次迭代 。 从该类反演方法的思想可以看出 ,最终反演结果的好坏完全取决于每一次迭代过程中所选择的模型更新方向和更新量的大小 。 当反演问题建立的范函是一个严格凸函数时 ,梯度导引类方法的思想可以保证最终的迭代结果为全局极小值点 。 寻优的收敛速度由范函的凸性 (或是算子矩阵的条件数 )决定 ,尤其是当初始值特别接近真实值时 ,可以用 方法加快寻优的收敛速度 。 但如果反演问题的范函不是一个严格凸函数 ,梯度导引类的反演方法可能无法找到合适的模型来更新方向或更新量 ,从而使迭代过程陷入某个局部极值范围 ,最终得到的迭代结果只能是范函的某个局部极值点 。地震波反演问题的误差范函是一个凸性非常差的函数 ,直接利用数据逼近以及梯度导引类方法很难得到合理的反演结果 。 为了避免地震波反演在迭代过程中陷入某个局部极值范围 ,可以在建立范函的过程中加入合适的约束条件来限制解空间的62012 年2012 年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年 王华忠等 :地震波反演的基本问题分析范围 ,或者用分尺度 、分层次的方法来增加范函的凸性 ,如频率域的 是一种分尺度反演方法 。频率域 用模型中线性性 、凸性较好的低波数成分建立误差范函 ,先估计出该低波数成分 ,然后再估计模型中的高波数成分 。 其他各种对模型 、数据成分分解的方法 ,只要能够有效地利用模型 、数据的多尺度 、多层次信息建立范函 ,并增加范函的凸性和线性性 ,都可以帮助梯度导引类方法获得合理的反演结果 。4. 2 地震波反演多层次实现的必要性综上所述 ,若完全依赖于数据逼近 ,反演问题的不唯一性就会很强 ,若完全依赖于先验信息 ,则失去了反演的必要 。 非线性最小二乘泛函反演理论指出 :只有当泛函的凸性比较好时 ,利用梯度导引的最优化算法才能得到比较可靠的反演结果 。实际上 ,全波形反演的泛函凸性是相当差的 ,只有给出比较合适的初始模型才能改善泛函的凸性 。另外 ,还可以通过修改泛函形式 ,如用旅行时误差泛函来改善泛函凸性 ,但是此做法就不是理论意义上的全波形反演了 。地震波反演的目的是得到一个宽频带的介质参数场 ,既包括比较低频的光滑部分 ,也包括中高频的快速变化部分 。 ]指出 是有很明确的地球物理含义的 。 计角度反射系数 ,反映了反射界面两边速度或波阻抗的跃变 ;计光滑的背景速度场[27];以给出宽频带的介质参数场 。 理论上 ,上述认识毋庸置疑 ,但对于频带 、观测孔径有限的实际地震数据 ,宽频带的模型参数场的估计还应考虑反演策略 (包括很多正则化思想与方法 )。实际上 ,无论是 是 需要一个比较正确的 、有一定背景的介质参数场 ,但通常都用比较粗糙的方法来估计介质参数的背景变化 。 这说明全波形反演不是一种简单的算法 ,而是一个综合性的全频带介质参数场的反演流程 ,需要多层次地实现[28]。笔者提出的宽频带速度场估计的多层次实现方案为 :①各种速度分析方法提供初始速度场 ;②地表初至波 析成像 )+角度道集析成像 )建立更精细的初始速度场 ;③全波形反演估计更宽频带的比较精确的速度场(如果进行弹性参数估计 ,可以继续如下步骤 );④在观测数据比较理想的情况下 ,供保真的角度成像道集 ;⑤零角度或小角度的成像剖面结合测井数据进行 1 维或 黏声介质波阻抗反演 ;⑥中 、大角度成像道集结合测井数据进行 性参数反演 ;⑦与岩石物理学结合进行储层描述 。目前 ,全波形反演的定位仅仅是为 供一个更为精确的偏移速度场 ,还未达到通过 决储层参数描述的程度 ,但这并非说明 论方法没有这样的能力 ,而是各种因素限制了 其不能直接用于储层描述 。4. 3 地震波反演多尺度实现的必要性为了把 种勘探地震学中的领先技术应用于实际 ,我们提出的方法技术的核心是特征波场反演 (写为 CWI
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本文标题:地震波反演的基本问题
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