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数值分析(26) 线性多步法

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数值分析数值分析11 - k 1R - K,,n n y y y-单 步 法 在 计 算 时 , 只 用 到 前 一 步 的 信 息 。为 提 高 精 度 , 需 重 新 计 算 多 个 点 处 的 函 数 值 , 如方 法 , 计 算 量 较 大 。 如 何 通 过 较 多 地 利 用 前 面 的 已 知信 息 , 如 , , 来 构 造 高 精 度 的 算 法 计 算 ,这 就 是 多 步 法 的 基 本 思 想 。第三节 线性多步法数值分析数值分析001002200,( , )00T , )0l n j j n j n k j n j j nj j n h f x yy y h f x y       多 步 法 中 最 常 用 的 是 线 性 多 步 法 , 它 的 一 般 形 式 为其 中 均 为 常 数 , 上 式 也 可 表 示 为若 称 为 多 步 法 。 时 , 为 显 式 多 步 法时 , 为 隐若 = ;。构 造 线 性 多 步 公 式 常式 多 步用法展 开 和 数 值 积 分 方 法 。数值分析数值分析一、线性多步公式的导出a y lo a y lo r ) xT a y lo r,n+1利 用 展 开 导 出 的 基 本 方 法 是 : 将 线 性 多 步公 式 在 处 进 行 展 开 , 然 后 与 y(x 在 处 的展 开 式 相 比 较 , 要 求 它 们 前 面 的 项 重 合 , 由 此确 定 参 数 。1 0 1 1 1 1 0 1 1( ) ( )n n n n n y y h f f f            设 初 值 问 题 的 解 充 分 光 滑 , 待 定 的 两 步 公 式 为数值分析数值分析( ) ( )'''2()1( ) ( 1 , 2, ) , ( )( ) ( ) ( )2( ) ( ( ) )!n n n y x k y x x y y x x x x O x         记 则 在 处 的展 开 为'( ) ,( ) ( , ) ( ) ,i in y y xy x f x y i n假设前 步计算结果都是准确的,即则有数值分析数值分析'''21''' ( 4 ) ( 5 )3 4 5 ( 6 )'1 1 1 1''' ( 4 ) ( 5 )' '' 2 3 4 ( 5 )( )2!( )3 ! 4 ! 5 !( , ) ( )( )2 ! 3 ! 4 !( , )nn n n nn n nn n n nn n n y x h y y h hy y yh h h O hf f x y y xy y yy y h h h h O hf f x y               ''1 1 1 1''' ( 4 ) ( 5 )' '' 2 3 4 ( 5 )( , ) ( )( )2 ! 3 ! 4 !nn n n nn n f x y y xy y yy y h h h h O h        数值分析数值分析'1 0 1 1 1 0 1'' 2 '' ' 31 1 1 111( 4 ) 4 ( 5 ) 51 1 1 1 1 16( ) ( )( ) ( )2 6 2 2( ) ( )2 4 6 6 1 2 0 2 4 2 4()n n y y hy h y hy h y                               将 以 上 各 公 式 代 入 并 整 理 , 得1 0 1 1 1 1 0 1 1()n n n n n ny y y h f f f            数值分析数值分析1' ' ( 5 )' 2 5 61()( ) ( ) 2 ! 5 !p+ 1 n np y x xT a y lo x y y h h h O h     为使上式有 阶精度,只须使其与 在 处的展开式的前 项重合。'1 0 1 1 1 0 1'' 2 '' ' 31 1 1 111( 4 ) 4 ( 5 ) 51 1 1 1 1 16( ) ( )( ) ( )2 6 2 2( ) ( )2 4 6 6 1 2 0 2 4 2 4()n n y y hy h y hy h y                               数值分析数值分析010 1 0 11 1 11 1 11 1 11111221 1 1 16 2 2 61 1 1 124 6 6 24             5 , 5,1 个参数只须 个条件。由推导知,如果选取参数,使其满足前 个方程(p = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,则近似公式为p 阶公式。数值分析数值分析1 1 0 11111 , 0, , 02( )2n n n y f f          0如 满足方程组前三个方程,故公式此为二阶公式。0 1 1 1 0140 , 1 , ,33        又如:解上面方程组得相应的线性二步四阶公式(S i m p s o n 公式) 为1 1 1 1( 4 )3n n n n y f f f      数值分析数值分析1 1 2 3( 5 5 5 9 3 7 9 )24A da n n n n y f f f f       此 式 称 为 显 式 公 式 , 是 四 阶 公 式 5 ) 61251 ()720h y O h 局 部 截 断 误 差 为 二、常用的线性多步公式( A d a m s )( 1 ) 阿 达 姆 斯 公 式1 1 1 25 ( 5 ) 61( 9 1 9 5 )24A 720n n n n n y f f f fR h y O h         为 四 阶 隐 式 公 式 , 其 局 部 截 断 误 差 为数值分析数值分析(2)基于数值积分的 1 1( ) ( ) ( , ( ) )( ), , , , , ,( ) ( ) ( ) ,1n n k n n n x y x f x y x x x x x x xF x x F x   基 本 思 想 是 首 先 将 初 值 问 题 化 成 等 价 的积 分 形 式用 过 节 点 或 的的 k 次 插 值 多 项 式 代 替 求 积 分即 得 k 阶 的 线 性 多 步 公 式 。数值分析数值分析1 2 33301 2 3303 , , , , ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( )( 0, 1 , 2, 3 )n n n ni n n n i n i n x x x F xL x l x F xx x x x x x x x x         例 如 k 时 , 过 节 点的 三 次 插 值 多 项 式 为其 中数值分析数值分析1111131301 2 33231 3132 33( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )( ) ( ) ( )()6( ) ( ) ( )()2( ) ( ) ( )()2( ) (()n i n n n n x y x L x dx l x xx x x x x xF x x x x x xF x x x x x xF x x           11231 2 3) ( )6[ 55 ( ) 59 ( ) 37 ( ) 9 ( ) ]24n n nx x x F x F x F x     数值分析数值分析111 1 2 33, ( ) , ( ) , ( , )( ) ( , ( ) ) ( , 1 , 2, 3 ) ,( 55 59 37 9 )24[ , ]n n n n k k kk k kn n n n n y y x y x f x yF x f x y x k n n n y f f f m sx x m s           对 上 式 用 代 替 用代 替则 得这 就 是 四 阶 显 式 公 式 。 由 于 积 分 区 间 在 插 值区 间 外 面 , 又 称 为 四 阶 外 插 公 式 。11( 4 ) 310( 5 ) 30()()4!()()4!n x x x 由 插 值 余 项 公 式 可 得 其 局 部 截 断 误 差 为数值分析数值分析131( 5 ) 35 ( 5 )10, ) ,( ) 2 5 1( ) ( )4 ! 7 2 0n x x d x h y  由积分中值定理,存在 ( 使得数值分析数值分析1 1 2311 1 1 25 ( 5 )1 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1 , 0, 1 , 2 )( ) ( )()( 9 19 5 )2419()720n n n i n i n n n n n nn n n nx x x x x x x xl x ix x x xF x A da m y f f f fR h y x x                     其中代替 求积分,即得四阶 隐式公式其局部截断误差为由于积分区间在插21[ , ]x A da m sA da m s值区间 内,故 隐式公式又称为 内插公式1 1 2231, , , ( )( ) ( ) ()n n n ni n x x x F xL x l x F x +同 样 , 如 果 过 节 点 的 三 次插 值 多 项 式 为数值分析数值分析1 3 1 25 ( 5 ) 614( 2 2 )314()( )45n n n n y h f f l i n eR h y O l i l i n      称 为 公 式 ,( 3 )其 局 部 截 断 误 差 为公 式 是 四 阶 四 步 显米 尔 尼 公 式式 公 式 。数值分析数值分析1 2 1 15 ( 5 ) 6113( 9 ) (( m i 81( )40)n n n n n y y h f f fR h y O hH am g         其 局 部 截 断 误 差 为 式 是 四 阶 三(步4 ) 哈 明 公 式隐 式 公 式 。数值分析数值分析11,),)n+1n+1n+1一 般 地 , 同 阶 的 隐 式 法 比 显 式 法 精 确 , 而 且 数 值稳 定 性 也 好 。 但 在 隐 式 公 式 中 , 通 常 很 难 解 出 y 需要 用 迭 代 法 求 解 , 这 样 又 增 加 了 计 算 量 。在 实 际 计 算 中 , 很 少 单 独 用 显 式 公 式 或 隐 式 公 式 ,而 是 将 它 们 联 合 使 用 : 先 用 显 式 公 式 求 出 y(x 的 预估 值 , 记 作 y 再 用 隐 式 公 式 对 预 估 值 进 行 校隐 式 法 与 显 式 法正 , 求出 y(x 的 近 似 值的 比 较。数值分析数值分析三、预估 后用隐式公式进行校正,得到近似值 这样一组计算公式称为 预估 用的预估 2 311 1 1 21( 55 59 37 9 ) 24[ 9 ( , ) 19 5 ] 24n n n n n n n n y f f f y f x y f m s              预预估正校 正校估 — 系 统数值分析数值分析3 1 211 2 1 114( 2 2 )313( 9 )l[ ( , ) 2 ) ]88i m n n n n n n y h f f fy y y h f x y f fM i a m g             预 估 — 校 正 系 统( 1 )R - :以 上 两 种 预 — 校 正 均 为 四 阶 公 式 , 其 起 步 值通 常 用 四 阶 公 式 计 算 。(2) 有 时 为 提 高 精 度 , 校 正 公 式 可 迭 代 进 行 多 次 , 但 迭代 次 数 一 般 不估 统超 过系次 。数值分析数值分析用局部截断误差进一步修正预测-校正公式5 ( 5 ) 61 15 ( 5 ) 6115 ( 5 ) 61 15 ( 5 )1 1251( ) ( )72019( ) ( )720270()720720()270nn nn n nA da m sy x y h y O hy x y h y O hy y h y O hh y y y             由 公 式 的 局 部 截 断 误 差 公 式两 式 相 减数值分析数值分析用局部截断误差进一步修正预测-校正公式5 ( 5 ) 61 15 ( 5 ) 6115 ( 5 )1 111 111 1 1 1251( ) ( )72019( ) ( )720720()270251( ) ( )27019( ) ( )270nn nn n n n ny x y h y O hy x y h y O hh y y yy x y y yy x y y y                由 得数值分析数值分析1 1 2 3111 1 1 1 21 1 1 1( 55 59 37 9 ) 24251()270[ 9 ( , ) 19 5 ] 2419()270n n n n n nn n n nn n n n n n nn n n y f f f C y f x m f f                       多 环 节 的 预 估由 上 面 就 得 到预 估改 进校- 校 正 公 式正改 进数值分析数值分析1 3 1 2111 2 1 1 11 1 1 14( 2 2 ) 3112()12113( 9 ) [ ( , ) 2 ] 889()1n n n nn n n nn n n n n n nn n n nP y h f f e H y y h f x m f                      完 全 类 似 , 可 以 导 出预 估改 进校多 环 节 的预 估 - 校 正 公 式正改 进数值分析数值分析001 1 111 1 2 1 123 1 1 4 1 1 311 , , ( , ) , , ( 2 ) , , 1( 3 ) ( , )( , )22( , ) ( , )22n n nn n nn n n b f x y N x a f x h f K h f x h f x y K h f x h y                 ( ) 输 入置计 算算 法1 2 3 41( 2 2 )6( 4 ) ( , ) K K x a n    输 出数值分析数值分析003 3 3 30 3 2 1 0 03 1 3 2( 5 ) 3, 1 , 31 , 0 , 0 , 6( 6 ) ( , ) 4 11 2( 2 2 ) ( )3 12 113( 9 ) [ ( , ) 2 ]889( ) , )121( 7 ) 1 ,jn n nn n p cf f x y x x hp y f f f m p c pc y y h f x m f fy c c p x n n x                     若 置 返 回 ;否 则 , 置 转 。计 算 输 出 (若 , 置1 1 13 3 0 0,,( 0, 1 , 2 ) , , , , , 6j j j j jx y y f fj x x y y p p c c         转 ;否 则 停 机 。数值分析数值分析'120 , 0( , , , , ) ( 1 , 2 , , )( ) ( 1 , 2 , , )i i f x y y y i my x y i m 一 阶 方 程 组 的 初 值 问 题12'01 , 0 2 , 0 , 00012y f Y ( , , ) ;Y F ( , Y ) ;Y ( , , ) ;Y ( ) Y ;F ( , , ) ;y y f f 若 对 和 采 用 向 量 的 记 号第四节 一阶微分方程组的解法一、一阶微分方程组数值分析数值分析'00n + 1 3 41 n 2 n 13 n 2 4 n 3Y F ( , Y ) ;Y ( ) Y ;Y Y ( K 2K 2K K )6K F ( , y ) ; K F ( , y K ) ;22K F ( , y K ) ; K F ( , y K ) ;22x h h            求 解 这 一 初 值 问 题 的 四 阶 龙 格 — 库 塔 公 式 为其 中数值分析数值分析, 1 1 2 3 41 1 22 1 11 2 21 13 1 12( 2 2 )6( 1 , 2, , ) ,( , , , , ) ;( , , , , ) ;2 2 2 2( , ,22i n in i i i ii i n n n N ni i n n n N n Ni i n y K K K f x y y yh h h hK f x y K y K y f x y K          或表达为其中2 22 24 1 13 2 23 3, , ) ;22( , , , , ) ;n N n Ni i n n n N n y KK f x h y h K y h K y h K    数值分析数值分析      '00'00, , , , f x y z y x g x y z z x     以 两 个 方 程 组 为 例      0010011 , , , , , , , 0, 1 , 2,n n n e x y z y x x y z z x       方 程 组 的 法数值分析数值分析方程组的   1 2 3 411 2 3 4112 2 612 2 6 K M            11 , , , , ,n n n n n nK h f x y z M h g x y z112112, , 2 2 2, , 2 2 2n n nn n hf x y hg x y z      数值分析数值分析223223, , 2 2 2, , 2 2 2n n nn n hf x y hg x y z      334334, , 2 2 2, , 2 2 2n n nn n hf x y hg x y z      数值分析数值分析二、化高阶方程为一阶方程组( ) ' ( 1 )00''00( 1 ) ( 1 )00' ''1 2 3( 1 )( , , , , ) ;( ) ,( ) , ,( ) .,,,,,f x y y yy x yy x yy x yy y y y y    高 阶 微 分 方 程 的 初 值 问 题 可 通 过 变 量 代 换 化为 一 阶 常 微 分 方 程 组 的 初 值 问 题 。 设 有 阶 常 微分 方 程 初 值 问 题引 入 新 变 量数值分析数值分析'1 2 1 0 0''2 3 2 0 0' ( 2 )1 1 0 0' ( 1 )1 2 0 0()()()( , , , , ) ( )mm m m y y x yy y y x yy y y x yy f x y y y y x y  则可将 阶方程化为如下一阶方程组:数值分析数值分析"''''0 0 0 0'00''001 1 2 3 41 1 2 3 4( , , ) ;( ) , ( ) ., ( ) ;( , , ) , ( ) .( 2 2 ) ;6( 2 2 )6, 1 , 2, 3, 4 )f x y x y y x yy z y x yz f x y z z x y K K K z M M M i          以二阶方程的初值问题为例:引入新变量 对其用四阶龙格-库塔公式( 2 '''''20 0 01 0 1 0 0 025 si n 2 2 0 1( 0 ) 2, ( 0 ) 3( 0 ) 2,5 si n 2 2 ( 0 ) 30, 2, 3, 3 ( , , ) 2e x y y z e x y z zx y z R KK z L f x y                         用 四 阶 方 法 求 解 初 值 问 题 ( 取 h=因 由 公 式例 :解 :得012 0 0 1 0 , , ) 82 242 2 2h hL f x y K z L        继 续 计 算 ( 略 ) 。数值分析数值分析习题九
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