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数值分析(25) 常微分方程初值问题的

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数值分析数值分析第九章 常微分方程数值解第一节 求解初值问题数值方法的基本原理第二节 高精度的单步法第三节 线性多步法第四节 一阶微分方程组的解法第五节 边值问题的打靶法和差分法数值分析数值分析考虑一阶常微分方程的初值问题 /* 0)(],[),(f (x, y) 在 [a, b]  连续,且关于 y 满足 件 ,即存在与 x, y 无关的常数 L 使对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立,则上述 ||),(),(| 2121 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = 得),,(  11 1( ) ( )pO h p  ( , , )x y h( , , ) ( , , )Q x y h Q x y h L y y  对一切 成立 ,则该方法收敛 ,且有( pn 由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶对 E r 方法, ( , , ) ( , )Q x y h f x y , 当 ( , )f x y 关于 y 满足 s 件时是收敛的。 数值分析数值分析对改进的  )),(,(),(),,(  21于是有1( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )21( , ( , ) ) ( , ( , ) )2Q x y h Q x y h f x y f x yf x h y h f x y f x h y h f x y       设 L为 则由上式可得( , , ) ( , , ) ( 1 )2hQ x y h Q x y h L L y y   限定 满足 故而改进的 数值分析数值分析3. 稳定性设在计算 有误差 n ,即实际计算得第 n 步的 解为 n n  , n n  。则第 n +1 步的 解为 111   , 11 1nn   。 如果有 1 /1   ,说明计算中的舍入误差可 以 得到控制,数值方法是稳定的,否则是不稳定的。 一般分析时为简单起见,只考虑 模型方程 常数,可以是复数数值分析数值分析一般分析时为简单起见,只考虑 模型 方程 当步长取为 h 时,将某算法应用于上式,并假设只在初值产生误差 ,则若此误差以后逐步衰减,就称该算法相对于 绝对稳定 ,的全体构成 绝对稳定区域 。我们称 方法 A 比方法 B 稳定 ,就是指 A 的绝对稳定区域比 B 的 大 。0 0 0h  h 考察显式欧拉法的稳定性 1 ( 1 )n n n ny y h y h y    00011 110( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 )n n y h y           | 1 | 1h0考察梯形的稳定性可见绝对稳定条件是:1 ( 1 )h y  显式欧拉法的稳定性条件是11()2n n n y y y  112 11211212数值分析数值分析111h 1 11 可见绝对稳定区域为:| 1 | 1h210 一般来说,隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法好。解:1 1 1(,9 4 ? ) ( 0 , 1 , )n n n ny y hf x y n    讨 论 隐 式 欧 拉 法 的 绝 对 稳 定 区 和 局例部 截 断 误 差 。用于模型 ' ,得到 11n n ny y h y 数值分析数值分析考察其局部截断误差。在点 1 以 h 为增量作 T a yl 展开 211( ) ( ) ' ( ) ' ' ( )2n n x y x hy x y    1 1 121 1 1 1()( ( , ( ) ) ( , ) ) ''( )2n n nn n n nE y x f x y x f x y y        1 1 1( , ) ( 0 , 1 , )n n n ny y h f x y n     得到 21 1 1( ) ( ) ( , ( ) ) ' ' ( )2n n n x y x h f x y x y      两式相减 , 得数值分析数值分析利用 ( , )f x y 关于 y 满足李普希茨条件 1 1 1 1 1 1( , ( ) ) ( , ) ( )n n n n n nf x y x f x y L y x y        1121 1 1 1211()( , ( ) ) ( , ) ''( )2( ) ''( )2n n x f x y x f x y y x y y       211( ) ''( )2 ( 1 )x y 211( ) ( )x y O h 隐式 欧拉公式是一阶方法数值分析数值分析例: 对于常微分方程初值问题证明 隐式 欧拉公式是一阶方法 。00( , )()y f x yy x y  1 1 12311()[ ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ] [ ( , ) ]2       n n nn n n n n nE y x x hy x y x O h y hf x 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n nf x y y x y x hy x O h       1 1 1( , ) 0 , 1 , 2 , . . .    n n n ny y h f x y 123 2 2()[ ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ] [ ( ( ) ( ) ( ) ) ]2           n n nn n n n n nE y x x hy x y x O h y h y x h y x O  式 欧拉公式是一阶方法数值分析数值分析第二节 高精度的单步法在高精度的单步法中 ,应用最广泛的是 格 方法一 、 基本原理由微分中值定理,在区间  1, 上存在 01  使 1( ) ( )'( ) x y xy x 其中, 1 , ' ( ) ( , )x x y x f x y   于是, 1( ) ( ) ' ( ) ( , ( ) )n n n n ny x y x hy x h hf x h y x h         令 ( , ( ) )f x h y x h   表示  1, 上函数 () 平均斜率。在  1, 上用不同的方法计算 出平均斜率, 就可得到求解常微初值问题( 9 - 1 )式的不同数值方法。 数值分析数值分析1111 1 2121( , )11()22( , )(,)u l e r E u l e ry y h kE u l e rk f x yy y h k kE u l e rk f x yk f x h y h k     如 果 将 公 式 与 改 进 公 式 写 成 下 列 形 式 :公 式改 进 公 式11( , )()( , )( , )x yy x yf x yf x y以上两组公式都使用函数 在某些点上的值的线性组合来计算 的近似值 。式:每步计算一次 的值,为一阶方法。改进E u l e r 公式:需计算两次 的值,二阶方法。数值分析数值分析, )( , ) ( 2 , 3 , )pn n i n i n i j y h c kk f x yk f x a h y h b k i p     其中, 是待定的参数,选取这些参数的 原则 是使 R - K 方法 式有 p 阶精度 。 数值分析数值分析二、二阶龙格-库塔方法11111R - K( , )( , ) ( 2, 3 , ),( , ) ( )pn n i n i n ij ij in n ny y h c kk f x yk f x a h y h b k i pa b cx y y x x      方 法 的 一 般 形 式 为其 中 , 都 是 参 数 , 确 定 它 们 的 原 则 是 使 近 似 公 式在 处 的 展 开 式 与 在 处 的 展 开 式的 前 面 项 尽 可 能 多 地 重 合 。数值分析数值分析1 1 1 2 212 2 2 1 12 R - K()( , )( , )y h c k c kk f x yk f x a h y hb k    当 p 时 , 方 法 的 一 般 形 式 为1 1 2 2 21'1 2 2'321( , )[ ( , ) ( , ( , ) ) ]{ ( , ) [ ( , ) ( , )( , ) ( , ) ] } ( )n n n n n n nn n n n n x n ny n n n nx y T ay y h c f x y c f x a h y hb f x yy h c f x y c f x y a hf x f x y f x y O h       上式在 处的 展开式为12' ' 2 32 2 2 1( ) ( , )[ ( , ) ( , ) ( , ) ] ( )n n nx n n y n n n ny c c f x y hc a f x y b f x y f x y h O h    数值分析数值分析12' " 312' ' 3()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( , )[ ( , ) ( , ) ( , ) ] ( )2n n nn n nx n n y n n n ny x x T a y lo x y x hy x y x O hy f x y x y f x y f x y O h     在 处的 展开式为1 1 2' ' 2 32 2 2 1( ) ( , )[ ( , ) ( , ) ( , ) ] ( )n n n nx n n y n n n ny y c c f x y hc a f x y b f x y f x y h O h     12222 2 11 1 / 2 1 / 2 ) ,b O  3有无穷多组解,每一组解得一近似公式,局部截断误差均为(h 这些方法统称二阶方法。数值分析数值分析12222 2 11 1 / 2 1 / 2 ) ,b O  3有无穷多组解,每一组解得一近似公式,局部截断误差均为(h 这些方法统称二阶方法。1 2 2 211 1 21211, 1 ,2( ) / 2( , )( , )c a b E u l e ry y h k kk f x yk f x h y h k       取 此 为 改 进 公 式 。近 似 公 式 为 1 2 2 211212110, 1 , ,2( , )( 2, 2 )c a by y h kk f x yk f x h y h k     取 此 为 常 用 的 二 阶 公 式 ,称 为 中 点 公 式 。 / /数值分析数值分析' ( 0 )( 0 ) ( 0 )'' ( 1 )( 1 ) ( 1 )''' ( 2 )( 2 ) ( 2 )( ) ( 1 );;; ; 2 , 3 ,f f f f f        一般地有数值分析数值分析三、三阶龙格-库塔方法 1 1 2 31213 1 23( 4 )6( , )(,)22( , 2 )y k k kk f x f x y kk f x h y h k h k      类 似 地 , 对 , 即 三 个 点 , 通 过 更 复 杂 的 计 算 ,可 导 出 三 阶 公 式 。常 用 的 三 阶 公 式 为 :数值分析数值分析四、四阶龙格-库塔方法1 1 2 3 412132434( 2 2 )6( , )( , )22( , )22( , ) y k k k kk f x f x y f x y kk f x h y h k      对 , 即 四 个 点 , 可 导 出 四 阶 公 式 。常 用 的 四阶 公 式 为 :数值分析数值分析'h= 0. 2, x = 0 x = 12( 0 1 ) ;( 0 ) y    设 取 步 长 从 直 到 用 四 阶 龙 格 — 库 塔方 法 求 解 初 值 问 题例 :数值分析数值分析1 1 2 3 41211322433( 2 2 ) ;62;2;222;222 ( )y k k k y y y h ky h k            由 经 典 的 四 阶 龙 格 — 库 塔解 公 式 得:数值分析数值分析2 方 法 的 导 出 基 于 开 , 故 要 求 所 求 问题 的 解 具 有 较 高 的 光 滑 度 。当 解 充 分 光 滑 时 , 四 阶 方 法 确 实 优 于 改 进 。 对 一 般 实 际 问 题 , 四 阶 方 法 一 般 可 达到 精 度 要 求 。如 果 解 的 光 滑 性 差 , 则 用 四 阶 方 法 解 的 效 果不 如 改 进 。两点说明 :1 R R K 5) 当 p=1,2,3,4 时 , 公 式 的 最 高 阶 数 恰 好 是 p,当 p>4 时 , 公 式 的 最 高 阶 数 不 是 p , 如 p=5 时 仍为 , p= 时 公 式 的 最 高 阶 数 为 。数值分析数值分析21123322 3 44311,221 1 1)2 2 411)24( , ) () k( ( ) ( )( ( ) ( ) ( )n n h x y y y y h y y h h                             代 入 公 式 :将2 3 4112 3 412 )61 1 112 6 2 4( 2( ) ( ) ( )y k k k ky h h h           数值分析数值分析2 3 411 1 112 6 2 4( ) ( ) ( )nn h h h h        则2 3 41 1 11 12 6 2 4( ) ( ) ( )h h h h       绝对稳定区域: 2 1 - 3 - 2 - 1 0 - 1 - 2 数值分析数值分析五、变步长的龙格 — 库塔方法()1( ) 51115( 2 )15( 2 )11( 2 )11()11,( ) ,2,,2( ) 2 ,2() 1.( ) 16x y c x y cy x yy x yn///以经典四阶龙格—库塔公式为例。从节点x 出发,以 为步长求一近似值将步长折半,即取 为步长从 跨两步到 ,求一近似值 每跨一步的截断误差是 因此有由上两式 ( 2 ) ( 2 ) ( )1 1 1 11( ) [ ] h hn n n ny x y y y      //数值分析数值分析记1()( 1 )211115 ,表示步长分半前后两次计算结果的 绝对偏差。下面讨论用  来判断步长的选择是否合适。 事先给定误差限要求  ,通过步长分半后计算出  。 以下分两种情况来选择步长: ① 若   ,再将步长分半 一次计算下去。 ② 若  >  ,反复将步长分半,直到  <  为止。以最后一 次的步长为合适的步长计 算下去。 数值分析数值分析习题九: 8
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