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数值分析(24) 非线性方程组的数值方法

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数值分析数值分析1 1 212( ) 0( 1 )( ) 0x x xf x x x  非 线 性 方 程 组 的 一 般 形 式, , ,, , ,11()( ) 0()( ) 0 ( 2 ) , :f xx f xF x F D R R                   令则 方 程 (1) 可 改 写 为**( 2 )( ) 0若 存 在 ,使 方 程 组 精 确 成立 , 则 称 为 方 程组 的 解 。第三节 非线性方程组的简单迭代法一、引言数值分析数值分析21 1 2 1 222 1 2 1 2( , ) 0( , ) 0f x x x x af x x x x        2是 平 面 R 上 的 两 条 抛 物 线 , 其 交 点 即 为 方 程 组 的 解 ,当 参 数 在 1 之 间 变 化 就例 :有 以 下 情 形 :121 2 1 21 2 1 212( 1 ) 1 ,11( 2 ) ,42( 3 ) 0, 0 1( 4 ) 1 , 1 , 0 ; 0, 1 ;1( 1 5 )2aa x xa x x x xa x x x               无 解一 个 解 ,两 个 解 , ;四 个 解 ,。非线性方程组解的复杂性数值分析数值分析2:;2:;y1=f1(x2=f2(x1,r:',x2,b')x'),y')(3)a=0 (4)a=)a=1 (2)a=1/4数值分析数值分析几类典型非线性问题2''( ) ( , ) 1( 0 ) 1 , ( 1 ) 2y t f t y t y         非 线 性 两 点 边: 值 题例 问21101()( , ) ( 1 , 2 1 , 2 , . . . ,i i i i i i y y f t y t yy y i n     2 h , 并 令 y y ( t ) , 有- 2 + = h 线 性 方 程 组 。()O 1 i i + 1i 2将区间[ 0 ,1 ] n + 1 等分,在内点t ( i = 1 , 2 , . . . , n )用差商逼近y " ( t ) ,得y ( t ) - 2 y ( t ) + y ( t )y " ( t ) = 值分析数值分析221 11222 22221 112209 0( 0( 0( n h t yy h t yy h t yy h t y                              写 成 矩 阵 向 量 形 式2 - 1- 1 2 - 1- 1 2 - 1- 1 2数值分析数值分析例:半线性椭圆型边值问题2222( , , ) , 0 , 1( , ) | ( , )x y u x x y x y       解 :(1)剖分求解域 ...,1,0,,,N:2100 1 2 …. N N+1 ),(),(2),(),()(),(),(2),(),(221122221122(2)对微分算子进行离散 1,222,1,,1222),(2),(在每个点 (xi,的有限差分方程为2, 1 , 1 , , 1 , 14 ( , , )1,i j i j i j i j i j i ju u u u u h f i h j h ui j N       在边界上0 , 1 , , 0 , 1( 0, ) , ( 1 , ) , ( , 0 ) , ( , 1 ) ,, 1 , 2, .. .,j N j i i Nu jh u jh u jh u j N      数值分析数值分析对非边界点进行编号 :顺序为 从左往右),() ,. .. ,,(),,() ,. .. ,,(...,),,(),,(),,() ,. .. ,,(),,(212222111211 1 2 , 1 , 1 1 , 2 2 , 2 , 2 1 ,2 , ,1 , 1 2 , 1 , 1 1 , 2 2 , 2 , 2 1 ,2 , ,2,( , , .. ., , , , .. ., , .. ., ,, .. ., )( ) ( , , .. ., , , , .. ., , .. ., ,, .. ., ), ( , , )( , )N N Ni j u u u u u u u F F F F F F h f ih jh 其 中 为 非 线 性 函 数 含 右 端 项 及相 应 边 界 点 。数值分析数值分析1122()u F  非 线 性 方 程 组其 中4114114 - 2 ( Fr 数 ) 设 F 是一个从 R 的 非线性映射, 若存在 ,对 D 的内点 x 及 有 0( ) ( )l i m 0hF x h F x   F 在 x 可导 , 称 A 为 F 在 x 的导数 , 记 ' ( )F x A 。 数值分析数值分析对于 m=1 的情形,即  12( ) , , , ( )nF x f x x x f x     , 有 1  ,即 A 是一个行向量,记  ,如果 F 可导,由定义有 0( ) ( )l x h f x    若记 12( , , , )T na a a   , 取 h e , 不难验证 0( ) ( ) ()l x h e f x  所以, f ( x ) 的导数就是 f 的梯度 12( ) ( ) ( )( , , , ) ( )x f x f x x       数值分析数值分析F : R 的一般情形,记 A 的第 i 行为。 导数定义可以写成等价形式 0( ) ( )l i m 0 , 1 , ,Ti i x h f x     所以可以得到 ( ) , 1 , ,x i m     数值分析数值分析多元向量值函数的导数1 1 1122 2 21212'( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( )n x x F xf x f x f xx x xf x f x f xx x xF x D F x Rf x f x f xx x x                多 元 向 量 值 函 数 () 在 点 的 导 数 记 为 () ,( ) = ( ) ='F x x F xF x x J a c o b 向 量 值 函 数 () 在 点 的 导 数 () 又 常 称 为() 在 点 的 矩 阵 。数值分析数值分析221 2 1 321 2 1 32( ) ( )51x x x xF x D F xx x x x     例 已 知 , 求: 。1111 2 32221 2 31 3 2 123 1 3( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( )221 5 2f x f x f xx x xF x D F xf x f x f xx x xx x x xx x x     ( ) = ( ): =解数值分析数值分析1 2 ;1 1 2 2 ^ 2 ;2 1 ^ 2 2 ;( [ 1 , 2], [ 1 , 2])[ 2, 1 2 2][ 2 1 , 1 ]11122212sy m s x xf x x xf x j ac ob i an f f x x 输函 数出:为例调 用数值分析数值分析多元实函数的高阶导数2 2 221 2 1 12 2 221 2 2 22 2 2212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n nf x f x f xx x x x xf x f x f xf x D f x Rx x x x xf x f x f xx x x x x                     () 的 二 阶 导 数 ( ) =12( ) ( ) ( ) x f x f xf x f xx x x     () 的 一 阶 导 数 ( )=( ) , ,( ) ,( ) ( )nf x x R n nf x H e s s ia nH x D f x多 元 实 函 数 的 二 阶 导 数 是 一 个 矩 阵称 为 的 矩 阵 记 为数值分析数值分析( 1 ) ( )( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )( ) * *(), , , , , ) ( ) 0()x x xx x x x F    由 迭 代 格 式产 生 迭 代 序 列若 , 则 , 即称 为 映 射 的 不 动 点 。( ) 0 ( )F x x x  将 写 成 便 于 迭 代 的 形 式研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转化为研究不动点的存在唯一性。二、简单迭代法及其收敛性数值分析数值分析 * * *( 0 ) ( 1 ) ( )( ) *0( ) *:1 ) ( ) ( ) 1, ( ) ( )( ) ( ) ;8- 7( 2 ) , ( ) R x D x y D x y L x x x x                   设 映 射 , 是 闭 集 , 若 有, 即 对 , 有是 上 的 压 缩 映 射 , 即 存 在 正 常 数 , 使都 有则 有 :(1) 在 上 有 唯 一 不 动 点 满 足对 初 值 由 迭 代 格 式产 生 的 迭 代 序 列 收 敛 到 ,且 有 估 计 式定 理 ( 压 缩 映 射 原 理 )( ) ( 1 )( ) * ( 1 ) ( 0 )11x x   数值分析数值分析证明:                111 1 0|| || || |||| || || ||k k k kx x x xL x x L x x        则对正整数               111 1 021|| || || ||1 || || || ||1pk p k k i k x x L x x x            因为 0 k
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