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数值分析(23) 非线性方程的数值方法

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数值分析课件
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数值分析数值分析在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题 , 它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的求解问题 。第一节 预备知识第二节 非线性方程求根的迭代法第 三 节 非线性方程组的简单迭代法第 四 节 非线性方程组的 约束优化算法第八章 非线性方程组的数值方法数值分析数值分析第一节 预备知识非线性方程组的一般形式是   1 1 22 1 212, , , 0, , , 0....................., , , 0x x xf x x xf x x x   令则方程组 ( 8用向量形式表示为 :12( , , , )x xx  12( , , , )f fF () 08值分析数值分析满足方程 (8 程的根或解 ,也叫函数 f(x)的零点。当 n=1时就是单个的方程 f(x)=0 (8里 f(x)是单变量 x 的函数,它可以是 代数多项式f(x)=a0+… + ()也可以是 超越函数 ,即不能表示为上述形式的函数。10 1 0 0/ ()xe s i n x 如数值分析数值分析1 . 根的存在性; 2. 根的隔离; 3. 根的精确化非线性方程包括两类:代数方程和超越方程 。求解非线性方程有以下三个基本问题 :一、非线性方程求根的基本问题1. 根的存在性对于代数方程11 1 0 0x a x a x a    01 111 nn n a am , ,   根的范围数值分析数值分析定义 8有 x* 满足 (x*)=0 ,则称 x*为方程的根或函数 f(x)的零点,特别地,如果函数 f(x)可分解为 f(x) =(x  x*)mg(x)且 g(x* )0,则称 x*是 f(x)的 f(x) =0的 m=1时,称 x*是 f(x)的单根 或单零点。定理 8根的存在定理, 零点定理)f(x)为 [a,b]上的连续函数,若 f(a)·f(b)> f= x.^3*x.^2+1.9*x+;a=;b=4.2;h=c,d]=f,a,b,h) c = [ [值分析数值分析3. 根的精确化在有根区间内,一般采用迭代法求解满足精度要求的根的近似值。用迭代法求解时,需要给出初值。二分法是提供迭代初值的非常有效的方法.设函数 f(x)∈ C[a,b],且 f(x)在 [a,b]内只有一根 , 二分法的基本思想是:将区间逐步分半,根据分点处函数的符号逐步将隔根区间缩小。取 [a,b]中点 a+b)/2,( 1) 若 f(0,则 f(x)=0的实根;( 2) 若 f(a)·f(0;则 s 收敛到 f (x) 在 [a, b] 的唯一根。根唯一产生的序列单调有界,保证收敛。定理数值分析数值分析     ba   xf a   迭代法求 在隔根区间 [123  求准确到小数点后第 4位。( 1) 牛顿迭代公式为)(2232231 ( 2) f f .1有,023)( 2  6)(  故取 ,牛顿迭代法收敛。0)1' ( * ) ( * )( * )( * )f x f    局部收敛定理 8 - 6 设 x* 为方程 0() 的根 ,且 () x* 附 近二次连续可微, 0 ( * )则 牛顿 迭代法局部平方收敛. 证明 : ( 1 ) 牛顿 迭代法也是一种 不动点 迭代法, 其 迭代函数 为 ()()()   22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) 1( ) ( )f x f x f x f x f x f x f x     数值分析数值分析2)*()(!2)()()(*)(2)()*(*21  由 开:2)*(!2)()*)(()(*)(0 ( 2)1122* ( * )l * )*x x x x    由定义 8顿迭代法平方收敛。注: 在 单根 附近收敛快,是平方收敛的.数值分析数值分析1 '( ) 0 ( ) ,,()( 0 ) .()87x m a m x m  若 方 程 有 重 根 试 证 明牛 顿 迭 代 法 是 线 性 收 敛 的 而 改 用 修 改 的 格 式才 是 局 部 平 方例收 敛 的8'' 1 ''()( 1 ) )()( ) 0( ) ( ) ( ) , ( ) 0 .( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ))( ) ( ( ):)x mf x x a h x h af x m x a h x x a h xx a h h x x a h x     对 牛 顿 格 式 ,迭 代 函 数 (因 有 重 根 ,故 有 且代 入 迭 代 函 数 式(证 明数值分析数值分析'''())1( ) ( ) ( )()( ) ( )( ) ( ) ( )h x x a h xd h m h x x a h x (' 1, ( ) 1 0 .x a   代 入 有由 定 理 8 牛 顿 迭 代 法 只 有 线 性 收 敛 速 度 。数值分析数值分析    ''''''2' ''12''()( 2 ) )()( ) ( ))( ) ( ) ( )())1( ) ( ) ( )()( ) ( )( ) ( ) ( ), ) 01))21)2k k k x a h xx x mm h x x a h xm h h x x a h xd h xm x m h x x a h x a x a x          对 修 改 的 牛 顿 格 式 ,迭 代 函 数 (((此 时 (再 由 (((由 定 理 8 ,修改后的牛顿迭代法是局部平 方 收敛的。 数值分析数值分析算法 8顿迭代法)y,k]=,m)% 输入 初值 最大迭代步数 N, 误差限 m=1为牛顿迭代法, m>1为修改的牛顿迭代法。% 输出 近似根 y, 迭代次数 k .y=x0;x0=y+2* k=0; k= f(& r>e)w=w/2;f(df(F= 'x^2-a*b'; z= ,'x')z =1/2*a+1/2*(a^2+16*b)^(1/2)1/2**(a^2+16*b)^(1/2)数值分析数值分析2. 对于一般一元方程 F( x) =0, 命令形式为 z=‘F’, , 表示求方程在 F 是函数名, 值 默认为 求方程 在 1附近的根 。s X= 'x*x)1)X= 3321 ( ) ( )f x x a、 设( ) 0f x N e w t o n 的( 1)写出解 迭代格式;( 2)证明此迭代格式是线性收敛的。习题数值分析数值分析习题八
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