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数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近

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数值分析数值分析01010( ) [ , ] ( [ , ] || || )1 ( ) , ( ) , .. ., ( ) [ , ]{ ( ) , ( ) , .. ., ( ) } [ , ]( ) [ , ] ( ) , ( )( ) ( )( ) ( ) || ( )x C a b C a bn x x x C a bS x x x C a bf x C a b f x s xs x c xs x f x f x            ( 契 比 雪 夫 意 义 下 的 逼 近 )若取 个 线 性 无 关 函 数张 成 空 间对 但 构 造 逼 近一 、 赋 范 线 性 空 间 中 的 最 佳 一 致 逼 近函 数用 使 ( ) || m ) ( )x f x则 称 为 最 佳 一 致在 中 的 逼 近 函 数 。01, m a x | ( ) |b e a b x 选 取例 : 常 数 , 使 达 到 最 小 。连续函数的最佳一致逼近数值分析数值分析插值多项式。待求的实际上是一个插值节点这里构造一般取L a gr a ng p )()()(},,,1{ 2 一、赋范线性空间中的最佳一致逼近 ( ) [ , ]( ) ( ) [ , ]1nf x C a bP x H f x a b定理 若 ,则必存在一个多项式是 在 上的最佳一致逼近多项式。[ , ]( ) [ , ] , ( ) ,( ) ( ) m ) ( ) 0()( ) ( ) ,( ) ( ) ,n k nx a n k kk n k kf x C a b P x H xf x P x f x P x xf x P x u xf x P x u x      设 若在点 上有称点 是 的偏差点。若 称 为正偏差点;若 称 为负定义偏差点.数值分析数值分析0 0 , 1 ,( ) [ , ] ,{ } { }( ) [ , ]( ) ( 1 ) ( ) ( 0 , 1 , 2 , )11nk k x C a bx x x xf x a bf x f x k n  设 函 数 称 点 集是 在 的 交 错 点 组 , 当 且 仅 当 满 足其 中 取 或定 义。13( ) s i n [0 , 2 ] { , }22f x x  在 的 交 错 点 组例 。个交错点。有对 32)()(,1 1  ) [ , ] , ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ , ]2x C a b P x H P x f xC h e by sh e vf x P x a 设 ,则 是 的定理2 ( 定最佳一致逼近的充分必要条件是 在上至少有 交错点组成理)的交错点组。数值分析数值分析2 ' '1 0 11( ) [ , ] , ( ) ( )( ) [ ]nf x C a b f x P x a a xf x a   下 面 给 出 时 最 佳 一 致 逼 近 多 项 式 的 求 法 :设 且最 佳 一 致不 变 号 。 构 造为 在 , b 上 的 最 佳 一逼 近 多 项 式 的致 逼 近计 算多 项 式 。1110 1 0 11 ( ) ( ) 2 3,,( ) ( ) ( ) ( )n f x P x na b x a x bf a a a a f b a a b       由 理 , 对 , 有 个交 错 点 , 且 为 交 错 点 . 设 另 一 个 交 错 点 是 且 。由 交 错 点 的 定 义 知' ' '''1 1 11' ' ' '1 1 1 1 1 1 1[ ] ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 , ( )a f x f x af x P x f x a f x P x f x a f x f x a       又由于在 ,b 上 不变号,故 在 ,b 上单调。又因为( 也是单调的。所以在( ,b )内只能有一个偏差点 。于是即。数值分析数值分析'1 1 1 11101 0 1( ) ( ), ( )( ) ( ) ( ) ( )22()()f b f aa f x a a f x a xf b f x a a x      综合以上,可解出再由 解出这样就得到 的线性最佳一致逼近多项式为a x)P1(x)=a0+ 0 1( ) ( ) ( ) ( )f a a a a f b a a b    ' 11()f x a0 1 1 0 1 1( ) ( ) ( ( ) ( ) )f a a a a f x a a x     数值分析数值分析01, m a x | ( ) |b e a b x 选 取例 : 常 数 , 使 达 到 最 小 。10( ) ( ) [ 0 1 ]1 1 8 310xP x a b x f x     设 为 在 ,上的最佳一致逼近多项式。故解:1'110 0 . 5 4 1 3( ) 11 ) 0 1 30 1 31 8 3 0 4 022xf x e        由求出( ) [0 1 ]( ) 0 . 8 9 4 0 1 . 7 1 8 3xf x eP x x在 ,上的最佳一致逼近多项式为数值分析数值分析为最小零偏差多项式。称,多项式与零的误差函数看成是首把其最大值和最小值。个交错点,并轮流达到上应有在区间最佳一致逼近多项式。次的在就是函数设)(1)(1]1,1[)()(1]1,1[)()(1011[ 1 , 1 ] ( ) 1nf x x n  在 区 间 上 求 函 数 的 次 最 佳 一 致逼 近 多 项 式 。二、最小零偏差多项式问题数值分析数值分析”的偏差最小;)对“(;)首项系数为(个交错点;上有,次多项式,在是)(应满以下条件03121]11[)(1)(   ( ) c o s( a r c c o s )c o s , 0 , 1 , ( ) [ 1 , 1 ]11( ) c o s c o s 1 0 , 1 ,b y v T x n k n T x n k k       多 项 式当 取 。 在 上轮 流 取 最 大 和 最 小 值 。,数值分析数值分析1[ 1 , 1 ] [ 1 , 1 ][ 1 , 1 ] 1( ) ( ) 2 ( )" 0 "m ) m )3 x T x T xT x P x   在区间 上,在首项系数为 的一切次多项式 中 1 , 1 ] [ 1 , 1 ]( ) 2( ) 11 ( )0 ( ) 0m ) m )e by sh e v T xT x x   因 多 项 式 首 项 系 数 为 ,因 此 是 首 的 次 多 项 式 。反 证 : 如 还 存 在 另 一 个 首 的 次 多 项 式 ,它 对 “ ” 的 偏 差 比 对 “ ” 的 偏 差 还 小 ,即证 明 :数值分析数值分析  0)()(0)()(0)()(,1,02)1()(11,,1,0c 2211001—。于是,由上式知处轮流取在。因此和最小值并轮流取得最大值的交错点是由于 根。上至少有个,在数的连续性,轮流改变正负号。由函在说明——1[)()(,1,0c o s)()( 数值分析数值分析( ) ( ) 1( ) ( ) 1 x n ——但 与 都 是 首 的 多 项 式 , 故是 次 数 不 超 过 次 的 多 项 式 ,与 所 设 矛 盾 。 证 毕 11 2)(2)(]1,1[)(1—,而上有在次多项式的由此定理知,所有首次多项式。为故 — ()( 数值分析数值分析0( 1 )0110111( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )( 1 ) !m ) ( ) ( )( 1 ) !nn k x l x yR x f x L x x x x x x x x h e by sh v        插 值 多 项 式误 差 余 项 估 计 是零 点 插 值 ( 插 值 极 小 化 方 法 )数值分析数值分析 尽可能的小使得如何选取节点在)())((m ,1,0]1,1[1011.)())((m ,2,1,0(,)1(212c 1011)0(1最小作为插值节点,就使个零点的取最小。次多项式中对零的偏差的是所有首多项式的多项式的性质:首由e b y s h e e b y s h e )(1数值分析数值分析a gr a n g 2)!1()()()()()(2)()())((m a ()0(1)0(011的插值误差余项是多项式插值节点的插值的零点作用因为 数值分析数值分析),2,1,0()1(2)12(c [)(]1,1[)2(1,22],[1的插值节点上的零点换成上将区间变量代换时,需要作区间当插值区间是任意有限数值分析数值分析3( ) ( )[ 0, 1 ] ( )x e f x 设 , 用 插 值 极 小 化 方 法 , 求在 上 的 三 次 插 值 多 项 式例。1 [0 , 1 ] [ 1 , 1 ]2x 作 变 量 替 换 (t+1) , 将 变 换 到解 : ,0 1 2 31 1 ( 2 1 )c 0, 1 , 2, 32 2 2 ( 1 )0. 96 16 9, 0. 96 13 4, 0. 30 86 5, 0. 03 80 6x x x     取 插 值 节 点233 ( ) 0 . 9 9 9 7 7 0 . 9 9 2 9 0 0 . 4 6 3 2 3 0 . 1 0 2 4 0P x x x x   利 用 这 些 节 点 构 造 插 商 表 , 由 牛 顿 插 值 公 式 得数值分析数值分析习题2( ) s 0 , 1 ]()f x . 用 插 值 极 小 化 方 法 , 求 在 上 的二 次 插 值 多 项 式 , 并 估 计 误 差 。
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