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数值分析(20)连续函数的最佳平方逼近

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数值分析数值分析第一节 函数逼近的基本问题第二节 连续函数的最佳平方逼近第三节 离散数据的最小二乘曲线拟合第四节 非线性最小二乘曲线拟合第七章 函数逼近数值分析数值分析连续函数最佳逼近的一般提法0101( ) [ , ] , ( ) , ( ) , .. ., ( ) [ , ]{ ( ) , ( ) , .. ., ( ) }x X C a b x x x a bs p a n x x x    设 在上 线 性 无 关 ,() 近 的 函 数 类 , 求*0( ) ( )x c x  *( ( ) , ( ) ) m i nf x s x 使 得 ( 即 逼 近 误 差 最 小 )**( ) [ , ]( ) [ , ]( ( ) , ( ) ) m f x C a bs x C a bf x s x  已 知 函 数 称 为 被 逼 近 函 数构 造 函 数 称 为 逼 近 函 数称 为 逼 近 条 件第一节 函数逼近的基本问题数值分析数值分析123( ) 用 什 么 样 的 函 数 去 逼 近 , 换 言 之 即 所 选 择 的逼 近 函 数 所 在 的 空 间 是 什 么 ?( ) 逼 近 的 标 准 是 什 么 ?( ) 最 佳 逼 近 元 素要 解 决 的是 否 存 在三 个 问 题 :和 唯 一 ?一、逼近空间的选择   211 1 01 ( ) 1 , , , ,()p a n x s p a n x x xP x a x a x a x a    ni i=0n( ) 多 项 式 逼 近 取 = ,逼 近 函 数 为  2 ( )1 , s i n , c o s , s i n 2 , c o s 2 , , s i n , c o ss p a n xs p a n x x x x n x n xni i=0( ) 三 角 逼 近 取=数值分析数值分析二、逼近标准称 ( ) ( ) ( )x f x s x  为逼近误差或余项。 定义 7 - 1 (最佳逼近元素) 逼近的标准即要求 () x *()( ) ( ) m ) m ) ( )x s x R x f x s x   的某一种范数达到最小,即寻找 * () 满足 称 * () 在  中及给定 范数下 对 ()最佳逼近元素。 称 **( ) ( ) ( )x f x s x  为最佳逼近余项, * () x 为最佳逼近偏差。 要 求 整 体 均 匀 逼 近 ( 最 佳 逼 近 思 想 ) 。数值分析数值分析* * *1.( ( ) , ( ) ) ma x | ( ) ( ) | | | ( ) ( ) | |a x bf x s x f x s x f x s x   ( 即 两 种 最 佳 逼 近 )赋 范 线 性 空 间 中 的 最 佳 一按 逼 近 误 差致的 度 量 有 两 种 逼 近 问 题逼 近**22.( ( ) , ( ) ) | | ( ) ( ) | |f x s x f x s x 内 积 空 间 的 最 佳 平 方 逼 近1'0 0 0' ' ( )210000( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) . . . ( ) ( )2 ! !a y lo rf x P x O h f x f x x xf x f xx x x x O          展 开数值分析数值分析    12 22 ( ) , ( ) ( ) ( )f x f x x f x  及 内 积 范 数[ , ] ( )( , ) ( ) ( ) ( )a b xf g x f x g x d x 在 中 , 定 义 带 权 内 积[ , ]C a b 构 成 内 积 空 间 。0101[ , ] 1 ( ) ,( ) , . . . , ( ) [ , ]{ ( ) , ( ) , . . . , ( ) } [ , ]a b n xx x C a bs p a n x x x C a b    在 内 积 空 间 中 , 取 个 线 性 无 关 函 数张 成 的 子 空 间第二节 连续函数的最佳平方逼近一、问题的提法与求解数值分析数值分析连续函数最佳平方问题的一般提法[ , ] ( ) [ , ] , ( ) ,C a b f x C a b f x  在 内 积 空 间 中 , 设 但*0( ) ( )x c x   在 中 寻 找 一 个 函 数2 2*22 ()( ) ( ) m ) ( )xf x s x f x x   使 得* ( ) , ( ) [ , ]x f x a b若 s 存 在 则 称 其 为 在 上 的 最 佳 平 方逼 近 函 数 。*** 2 * 21. ( ) ;2. ( ) ;3. || ( ) || || ( ) ( ) ||f x s x中 的 存 在 唯 一 性构 造 的 具 体 方需 要 解 决 几 个 重 要 问 题 :法平 方 误 差 ( 偏 差 ) 。数值分析数值分析  20202 si n 02 si n 0ax b x x b x     即  220, s b a x b x d x 例 : 选 取 常 数 使 达 到 最 小 220( , ) s i n, ( , )0, 0I a b ax b x b I a  设确 定 使 达 到 最 小 , 必 须 满 足解 :数值分析数值分析22 2 20 0 02 2 20 0 0x dx b x dx x xd xa x dx b dx xd x        32212 4 81820 4 4 3 8 9 , 0 4 7 7 0 7解得数值分析数值分析01***[ , ]{ ( ) , ( ) , .. ., (7)}( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ) 0, ( 0, 1 , .. .,-3) a bs x x x Xs x f x Xf x s x xf x s x x j n        设 内 积 空 间 中 的 子 空 间,函 数 是 对 的 最 佳 平 方 逼 近 函 数 的充 分 必 要 条 件 是 与 所 有 的 (j=0,1,...,n) 正 交 , 即 满 足(定 理*( ) ( )f x s x())数值分析数值分析必 要 性 :证 明 : 用 反 证 法 。存在某一个 ()k x   ,有( *( ) ( )f x s x , ()k x )  0 。 构造  = ( *( ) ( )f x s x ,()()),显然  0 。 2* ()( ) ( )()x s 22* * 2( ) ( )= ( ) ( ) 2 ( ( ) ( ) )( ) ( )x s x f x s    ,2* 2 2= ( ) ( ) 2f x s x    2*2= ( ) ( )f x s x 数值分析数值分析22** ()0 , ( ) ( ) ( ) ( )()x s x f x s      与所设 * ()  中对 ()最佳平方逼近元矛盾, 故必要性得证。2* ()( ) ( )()x s 22* * 2( ) ( )= ( ) ( ) 2 ( ( ) ( ) )( ) ( )x s x f x s    ,2* 2 2= ( ) ( ) 2f x s x    2*2= ( ) ( )f x s x 数值分析数值分析0*( ) ( ) ( )( ( ) ( ) , ( ) ) 0x xf x s x x     对 于 任 意 , , 必 有22**22* * * *2 2 2* * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ( ) ( ) , ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x f x s x s x xf x s x f x s x s x x s x xf x s x s x x f x s x               因 为* ( ) ( )s x f x所 以 , 是 中 对 的 最 佳 平 方 逼 近 函 数 。*( ) ( ) ( ) ( ) ( )x f x s x f x x    要 证 对 于 任 意 有**( ) ( ) ( ) , ( ) ) 0 , 0 , 1 , .. .,kx f x x x k n 充 分 性 满 设 s 足 (数值分析数值分析22*01 20( , , . . . , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j c c c f x s x x f x c x d x   记01 , , . . . , )nc c 元 函 数 取 极 值 的 必 要 条 件 , h 的 极 小 点 (应 满 足 方 程 组0*2 ( ) [ ( ) ( ) ] ( )2 ( ( ) ( ) , ( ) ) 0 0 , 1 , 2 , . . . ,b nj j f x c x x d x s x x k n        2**201( ) , ( ) ( ) m , , ..., )ns x f x s xh c c c   求 解 使求 多 元 函 数 的 极 小 值 。*0( )= ( )x c x设数值分析数值分析方程组( 1)、( 2)称为 法方程 。0( , ) ( , ) , ( 0 , 1 , . . . , ) ( 2)nj j k f k n  或*01*( ) , , . . . ,( ( ) ( ) , ( ) ) 0 , 0 , 1 , 2 , . . . , ( 1 )c c cf x s x x k n  故 s 的 系 数 是 如 下 方 程 组 的 解*00 0 0 1 0 1 0 00 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1( ( ) ( ) , ( ) )( ( ) ( ) , ( ) ) 0 , ( 0 , 1 , , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )j n n n n nf x s x xf x c x x k nc c c fc c c fc c c f                                由得数值分析数值分析0 0 1 0 00 1 1 1 1 ( 1 ) ( 1 )011010101( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( ( , ) , ( , ) , , ( , ) )( ) ( ) ( )( , , , )nn n n f f f RG x x x G ra                       其中矩阵 称为关于 , , , 的(克莱姆)矩阵,也常记为01( ) ( ) ( )nx x xG r a m  由 , , , 是 线 性 无 关 的 , 容 易证 明 矩 阵 是 非 奇 异 的 。101( , , )c c c R G C F  若 记 向 量 , 用 矩 阵 形 式 表 示 为称 为 法 方 程数值分析数值分析()()( ) ( )74  j=0,1,...,n) 是 内 积 空 间 中 的 元 素 ,则 其 阵 非 奇 异 的 充 分 必 要 条 件 是 ,,..., 线定 理性 无 关 。( ) ( ) ( )x x x G   0 1 n, ,. .. , 线 性 无 关证 明 : 充 分 性 : 非 奇 异 。( ) ( ) Cx x c k反 证 法 : 设 奇 异 , 则 =0 有 非 零 解 ,即 : ( , ) = 0 , = 0 , 1 , . . . , n 有 非 零 解 。( ( ) ( )jc x x , )=0,k=0,1,...,n 有 非 零 解 。( ( ) ( )x c x0 k= 0由 上 式 得 , )=001( ) 0, , , .. .,x c c c不 全 为 零 。数值分析数值分析* () x 22称 为 最 佳 平 方 逼 近 误 差 , 简 称 平 方 误 差 ( 偏 差 ) 。22* * * *2*( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) , ( ) ( ) )( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )x f x s x f x s x f x s xf x f x s x f x     **( ) ( ) ( )x f x s x 记00( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )x f x c x f xf x f x c x f x平方误差(偏差)估计数值分析数值分析2{ 1 , , , .. ., } ,( ) , 0 , 1 , .. .,a n x x xx x j n取即 取11( ) 1 2( ) ( ) ) , , 0 , 1 , . . . ,1b j k j x x d x j k      取 权 , 则 法 方 程 ( ) 中 的 元 素 由 下 式 定 义( ,( ( ) , ( ) ) ( ) , 0, 1 , ...,x x f x x dx k n 0101, , ... ,( ) ( )( ) ..c cf x xs x c c x c x   求 解 法 方 程 组 , 设 所 得 解 为 ,则 得 的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 s :二、基于幂函数的最佳平方逼近数值分析数值分析2( ) 1 0 1 ,{ 1 , }f x x xs p a n x     给 定 , 取 逼 近 空 间, 在 中 求 其 最 佳 平 方 逼例 7近 函 数 。{ 1 , } , ( ) 1s p a n x x  取解 :111 1 120 0 1 0 1 10 0 011220100)111) 1 , ) , )23) 1 1 , ) 1 0 b j k j d x x d x x d xf x d x f x x d x                    由 ( , , 得( , ( , ( ,( , ( ,011 1 / 2 1 . 1 51 / 2 1 / 3 0 . 6 1         法 方 程 为数值分析数值分析220 0 1 1120 0 1 10( , ) ( , )( , ) ( , )( 1 ) ( , ) ( , )20 4 1 0 6 0 0 0 63f f s ff f c c fx d x c f c f          平 方 误 差 为01 0 . 9 3 4 , 0 . 4 2 6( ) 0 . 9 3 4 0 . 4 2 6x x解 得 , 所 求 最 佳 平 方 逼 近 函 数 为数值分析数值分析 ,,111211 1 12 3 21 1 11 2 2 1nx x nn n n     2在 [0,1] 上 由 1 , , 构 造 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 时 ,法 方 程 的 系 数 矩 阵 是 阵 , 形 如 阵 是 一 种 典 型 的 病 态 矩 阵 , 随 着 n 越 大 ,病 态 越 严 重 。 因 此 法 方 程 是 病 态 方 程 组 , 数 值 计 算 结 果是 不 稳 定 的 。 因 此 要 改 用 正 交 多 项 式 构 造 最 佳 平 方 逼 近多 项 式 。数值分析数值分析01{ ( ) } ( 0, 1 , ... , ) [ , ] ( ),{ ( ) , ( ) , ... , ( ) }j n a b n x x x  设 是 区 间 上 带 权 的 正 交多 项 式 组 取 为0 0 0 01 1 1 12( , ) ( , )( , ) ( , )............. ...( , ) ( , )n n n                                    则 法 方 程 ( ) 为三、基于正交多项式的逼近函数类数值分析数值分析( , ), 0 , 1 , .. .,( , )j n解 方 程 组 , 得00( , )( ) ( ) ( )( , )j x c x x因 此 得 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式220020( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )f s f f f c ff f c ff f c   平 方 误 差 为数值分析数值分析      2001001 1 11011 , , , , , 1( ) ( ) , ( ) , , ( ) ,( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 0, 1 , 2, )( ( ) , ( ) )( 0, 1 , 2 )( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) )0,( ( ) ,k k x x xx x x x a x x kx x           由 线 性 无 关 序 列 可 构 成 首 的正 交 多 项 式其 中12( 0, 1 , 2 )( ) )( ( ) , ( ) ) ( ) ( )bk k x x x x x   公 式 中 的 内 积 。数值分析数值分析工程中常用的五种重要的正交多项式 22( 1 ) (( ) 1 1 ( ) 1( 2 )1( ) [ 1 1 ] ( )1( 3 )( ) [ 1 1 ] ( ) 1( 4 )( ) [ 0 ] ( )ge n dr eP x xC h e by s h e vT x h e by s h e vU x x e r r eL x x e    勒 让 德 ) 多 项 式, 在 , 上 带 权 正 交 多 项 式 ;第 一 类 ( 契 比 雪 夫 ) 多 项 式, 在 , 上 带 权 正 交 多 项 式 ;第 二 类 ( 契 比 雪 夫 ) 多 项 式, 在 , 上 带 权 正 交 多 项 式 ;( 拉 盖 尔 ) 多 项 式, 在 , 上 带 权 正2( 5 )( ) ( , ) ( )e r m i t eH x x e    交 多 项 式 ;( 埃 尔 米 特 ) 多 项 式, 在 上 带 权 正 交 多 项 式 。数值分析数值分析2[ , ] [ 1 , 1 ] , ( ) 11( ) ( ) ( 11.) , ( 0, 1 , .. ., )2!e b x x j      利 用 多 项 式 , 求 最 佳 平 式取方 逼 近 多 项11( , ) 21( ) ( ) , ( 0 , 1 , . . . , )( , ) 2jc f x P x d x j   则2 222002( , ) ( , ) ( , )21f c P P f f     平方误差为00( , )( ) ( ) ( )( , )j ge n dr x c P x P 因 此 得 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式数值分析数值分析110122334245350,( ) ( )2,21( ) 1()1( ) ( 3 1 )21( ) ( 5 3 )21( ) ( 3 5 3 0 3 )81( ) ( 6 3 7 0 1 5 )8x P x d x xP x xP x x xP x x xP x x x x    正 交 关 系前 几 项数值分析数值分析4( ) [ 1 , 1 ]f x x例 : 求 在 区 间 上 的 二 次 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 。20 1 2( ) ( ) , 0 , 1 , 2 ) 1 , ( ) , ( ) ( 3 1 )2 x jx x x x x     则 有解 取:11450111142211 1 3,02 5 25 1 4( 3 1 )2 2 7c x d x c x d xc x x d x     ,4220( ) [ 1 , 1 ]1 4 1 6 3( ) ( ) ( 3 1 )5 7 2 7 3 5x xs x c x x x      故 在 上 的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 为数值分析数值分析2 22018 2 212( , )211 2 42 ( ) ( ) 0. 01 16 09 97 75 5 7f      平 方 误 差 为数值分析数值分析0 0 2 2 4 4010 0 010012 2 21402[ 1 , 0]()[ 0, 1 ]( ) ( ) ( ) ( )1( ( )7- 2 ( ) , [ 1 , 1 ] ,{ 1 , , }( ) ) ( ) ( ) ) x x c p x c p x c p xc xp x dx xp x xp x dx xp x df x x x Le ge n an x          例 设 用 多 项 式在 中 求 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 。函 数最 佳 平 方 逼 近:多 项 式解14402 4 259( 2 ( ) ) ) 3 1 ) 35 30 3 )c xp x x x x x     求 得 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 为数值分析数值分析01( ) ( )2e b y s he x c T x 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 为21[ , ] [ 1 , 1 ] , ( )1( ) ( ) c o s ( a r c c o s ) , ( 0 , 1 , . . , )2.h e b ya b x j x j ns h e v    利 用 多 项 式 , 求 最 佳 平 式取方 逼 近 多 项121( , ) ( ) ( )2 , ( 0 , 1 , . . . , )( , ) 1f f x T xc d x j x   则2 22200( , ) ( , ) ( , ) 2f c T T f f c   平方误差为数值分析数值分析1 m ) T ( )d π , m n 01π, m n 02     正 交 关 系0122334245356 4 26( ) 1 ,( ) ,( ) 2 1 ,( ) 4 3 ,( ) 8 8 1 ,( ) 1 6 2 0 5 ,( ) 3 2 4 8 1 8 1 ,x xT x xT x x xT x x xT x x x xT x x x x       前 几 项数值分析数值分析 4 0 1 2( ) , [ 1 , 1 ] , ( ) , ( ) , ( )f x x x M x T x T x   例 : 求 在中 的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 。20 1 2( ) 1 , ( ) , ( ) 2 1T x T x x T x x   解 :11450122111 422212 3 2,04112 ( 2 1 ) 121d x c d d    ,223 1 1( ) ( 2 1 ) , 1 18 2 8s x x x x       于 是 所 求 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 为数值分析数值分析1( ) ( ( 2 ) )xs t s x a  最 后 换 回 原 变 量()[ , ]L e g nd r e C he b y s he v f 利 用 多 项 式 和 多 项 式 , 求 函 数在 任 意 有 限 区 间 上 的 最 佳 平 方 逼 近 函 数 。[ , ] [ 1 1 ]1, ( 2 )22a b ax t t x a     作 变 量 代 换 将 区 间 变 为 ,( ) ( ) ( )22( ) , [ 1 , 1 ] ( ) ( ) ( )a b af x f t F tF t t P t T t S t  对 按 或 求 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式数值分析数值分析7- 4 ar c t 0, 1 ] 求 函 数 在 上 的 一 次 最 佳 平 方逼 近 多 项 式 。1[ 0 , 1 ] [ 1 , 1 ]2a r c t a n [ 0 , 1 ] a r c t a n [ 1 , 1 ]2xy x x y    : 解 法 1 , 作 变 量 替 换 (t+1) , 将 变 换 到 ,t+1函 数 , 变解为 , t 。01( ) 1 , ( ) , a r c t a n 2[ 1 , 1 ]P t P t t y  t+1利 用 多 项 式 , 求 在上 的 一 次 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 。101111( ) ) a r c t a n ,22( ( ) , ) a r c t a n 2 22P t y d tP t y t d t     t+1( ,t+1,数值分析数值分析001111( ) ) ,2 4 233( ( ) , ) ( 2 )2 2 2c P t t y     ( ,,0 0 1 113( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )4 2 2 2s t c P t c P t t      所 求 的 一 次 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 为13( ) ( ) ( 2 ) ( 2 1 )4 2 2 20 . 0 4 2 9 0 9 0 . 7 9 1 8 3 1s x      即 :数值分析数值分析7- 4 ar c t 0, 1 ] 求 函 数 在 上 的 一 次 最 佳 平 方逼 近 多 项 式 。01[ 0 , 1 ]( ) 1 ( )2x x x   : 解 法 2 , 直 接 在 上 构 造 正 交 多 项 式1,解100012110100110( ) ( ) ) 1 1 ,11( ) ( ) ) ( )2 121( ) ) ar c t an l n 2,4211( ( ) , ) ( ) ar c t 2 l n 2 )2 4 4x x x x y y x         ( ,( ,( ,,数值分析数值分析0 0 1 1( ) ( ) ( )11( ) 3 ( 2 ) ( )4 2 2 2s x c x c      所 求 的 一 次 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 为0 . 0 4 2 9 0 9 0 . 7 9 1 8 3 1 x000111( ) ) 1( ) ( ) ) 4 2( ) )3 ( 2 )( ) ( ) ) 2      01( ,c( ,( ,c( ,数值分析数值分析 00()( ) ( )( ) ( )f xf x c xf x  令 , 得 到 的 一 个 级 数 展 开 式称 此 式 为 关 于 的 广 义 付 氏 级 数 。称 为 广 义 付 氏 系 数 。0( ) ( ) ( )x s x c x 的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式四 、 f(x)的广义付氏展开数值分析数值分析,...)2,1,(,0c o ss i n,...)2,1(,0s i ns i n,. .. ) ,2,1(,0s i n,...)2,1(,0c o sc o s,. .. ) ,2,1(,0c o s,],[,...s i n,c o s,...,2s i n,2c o s,s i n,c o i n)(1,c o s)(1)()s i nc o s(2)(10x d x d x d x d x d x d x d 即上正交在区间,三角函数系的傅里叶系数为、其中的傅里叶级数函数数值分析数值分析02220()( ) ( )|| ( ) || || ( ) ( ) |||| ( ) || ( ( ) , ( ) )nn j x c xx f x s xf x c x f x的 广 义 付 氏 展 开 的 部 分 和就 是 函 数 的 一 个 最 佳 平 方 逼 近 元 , 其 误 差 是数值分析数值分析习题七 计算基函数之间的内积,构造 造 求解多项式系数阵原函数 变换函数 ()用采用
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本文标题:数值分析(20)连续函数的最佳平方逼近
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