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数值分析(21)离散数据的最小二乘拟合

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数值分析数值分析010101201 , , , ,( ) ( ) , ( ) , , ( ) ,, , ... , ( , )()( ) ,( ( ) ( ) ) m i n ( 1 )i x x x xf x f x f x f xs x x s x  给定 个数据点及权系数 , 并已知函数模型 。用给定的数据点,按给定的函数模型,构造拟合函数逼近未知函数 使此问题称为最小二乘曲线拟合,又称为离散数据的最佳平方逼近。使拟合误差的平方和最小 —— 最小二乘原理第三节 离散数据的最小二乘曲线拟合一、问题的提法与计算数值分析数值分析20 1 101( , ) ( , , , , )2.( , )x c c c c c cs x c c x c e是 关 于 系 数 的 非 线 性 函 数 。如非 线 性 最:小 二 乘 曲 线 拟 合两 种 拟 合 问 题211 1 00 1 12 1 0( , )( , ) ( , , , , )( , )x x c c x c x c x cs x c c c c c cs x c c e c e c e c          如 : 取是 关 于 系 数 的线 性 最 小线 性 函 数 。这 是 多 项 式 拟 合 。若 取 , 这 也 是关 于 系 数 的二 乘 曲 线 拟 合线 性 拟 合 。数值分析数值分析数值分析( ) ( ) , 0 , 1 , .. .,x s x y i m 若 求 s ( ) = c , 使0 0 0 0 1 1 0 0 01 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 1( ) ( ) ( ) . . . ( )( ) ( ) ( ) . . . ( )( ) ( ) ( ) . . . ( )m m n n m ms x c x c x c x ys x c x c x c x ys x c x c x c x y                   Y A C Y   m C Y显 然 这 是 不 能 成 立 的 。 只 能 求 出 使A C Y线 性 最 小 二 乘 问 题 : 求 矛 盾 方 程 组 的 最 小 二 乘 解 。C A C Y是 矛 盾 方 程 组 的 最 小 二 乘 解 。2 220m ( ) ) m y s x    数值分析数值分析连续函数最佳平方逼近问题的一般提法    12 22 ( ) , ( ) ( ) ( )f x f x x f x  及 内 积 范 数[ , ] ( )( , ) ( ) ( ) ( )a b xf g x f x g x d x 在 中 , 定 义 带 权 内 积[ , ] ( ) [ , ] , ( ) ,C a b f x C a b f x  在 内 积 空 间 中 , 设 但*0( ) ( )x c x   在 中 寻 找 一 个 函 数2 2*22 ()( ) ( ) m ) ( )xf x s x f x x   使 得* ( ) , ( ) [ , ]x f x a b若 s 存 在 则 称 其 为 在 上 的 最 佳 平 方逼 近 函 数 。数值分析数值分析离散数据的最佳平方逼近问题的一般提法2*2( ) ( ) m i nf x s x使 得* ( ) , ( ) [ , ]x f x a b若 s 存 在 则 称 其 为 在 上 的 最 佳 平 方 逼 近函 数 ( 最 小 二 乘 拟 合 曲 线 ) 。*20( ( ) ( ) ) m i x s x即[ , ] ( ) [ , ] , ( ) ,C a b f x C a b f x  在 内 积 空 间 中 , 设 但*0( ) ( )x c x   在 中 寻 找 一 个 函 数数值分析数值分析 0010101[ , ] ( 0, 1 , .. ., )( ) , ( ) ( ) ( ) , )( , , .. ., )( ( ) , ( ) , .. ., ( ) )( ( ) , ( ) , .. ., ( ) )i a b i mf x x f x x Y W YW f x f x f xx x x           在 中 , 定 义 带 权 的 内 积( ( 不 严 格 )其 中数值分析数值分析 ( ) , ( ) , ... , ( )( ) , ( ) , ... , ( ) ( )x x x xx x x x x       0 1 n i 求 s ( ) s p a 线 性 无 关 。 s ( ) = 0 1 0 1 0 00 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1( , ) ( , ) 0 ( 0, 1 , , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )nk j j n n n n nf s f c k nc c c fc c c fc c c f                                   由得 法 方 程线性最小二乘曲线拟合问题的法方程数值分析数值分析 01( ) , , . . x x x由 函 数 和 点 集 定 义 一 个 向 量01 1()(), 0, 1 , .. .,()jj j   01()()()101( , , ),c c c F若 记 向 量法 方 程 用 矩 阵 形 式 表 示 为法方程 存在惟一解的充要条件显然是系数矩阵即 非奇异。数值分析数值分析 0 0 1 0 00 1 1 1 10101( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )n n Y F                    法 方 程其 中0 0 0 1 0 1 0 00 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n nc c c Yc c c Yc c c Y                            法 方 程 可 改 写 为数值分析数值分析定义 7 - 2 设 点集 0{}  ,若存在不全为 0 的 j 使得 0 0 1 1( ) ( ) ( ) 0 , ( 0 , 1 , , )i i n n ix x x i m         成立, 则称 0{ ( ) } x  在点集 X 上线性相关。否 则称函数 系 0{ ( ) } x  在点集 X 上线性无关。 函数系 0{ ( ) } x  关于点集 0{}  的 线性 无关性等 价 于 1 中向量系 0{}  的 线性 无关性,此亦等价 于 在 点 集 X 中必存在 1n  ( )个点 01 , , ,j j x x X , 使得行列式 0 0 1 0 00 1 1 1 101( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0( ) ( ) ( )j j n jj j n jn n x xx x xx x x      数值分析数值分析0101( ) 1 ( ) , , ( ) ,, , . . x x x xx x x    例 : 取 ,为 n+1 个 互 异 点001 11()(), 0, 1 , ...,()xx xR j         01 01( ) , ( ) , .. ., ( ), , .. .,x x    0 1 点 集 上 线 性 无 关 ,且 n
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