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数值分析(19)数值微分

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数值分析数值分析第六节 数值微分在实际问题中,往往会遇到某函数 f(x) 是 用表格表示的 ,用通常的导数定义无法求导 ,因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有 :一、 用函数差商求数值微分二、 用代数插值函数求数值微分三、 用数值积分求数值微分数值分析数值分析一、 用函数差商求数值微分最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商 ()2()()(',000处在点根据导数定义0( ) ( )x h f x  数值分析数值分析( ) ( ):' ( ) ' ' ( )2x f x h hf x 一 阶 向 后 差 商 公 式( ) ( ):' ( ) ' ' ( )2x h f x hf x 一 阶 向 前 差 商 公 式2' ( 3 )( ) ( )( ) ( )26:x h f x h hf x  一 阶 中 心 差 商 公 式利用 数值分析数值分析( ) ( )' ( ) ' ' ( )2x h f x hf x 得 一 阶 向 前 差 商 公 式2()( ) ( ) '( ) '' ( )2ii i if x x h T a y lo x h f x f x h f    对 在 点 以 为 增 量 作 展 开 有证 明 :( ) (:)' ( ) ' ' ( )2x h f x hf x 证 明 一 阶 向 前 差 商 公 式数值分析数值分析20 0 00 2( ) 2 ( ) ( )( ) ( )f x h f x f x hf x O   二 阶 中 心 差 商 公 式2 3 3 42 3 3 4()11( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( )2 3 !11( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( )2 3 !:ii i i i ii i i i if x x h T a y lo rf x h f x f x h f x h f x h O hf x h f x f x h f x h f x h O h          ( )( )对 在 点 以 为 增 量 作 展 开 有证 明)(2)( 22 11''2  得:两式相加除以数值分析数值分析例 1 设 f(x)= 2点公式计算 f’(0 222" ( )' ( ) ,221. 8 1. 8 1. 8 1. 8( 1. 8 ) ( 1. 8 ) ( 1. 8 ) ( 1. 8 )2 ( 1. 8 ) 2 ( 1. 8 )0. 1 0. 54 06 72 2 0. 01 54 32 1 0. 57 15 84 1 0. 01 73 01 00. 01 0. 55 40 18 0 0. 00 15 43 2 0. 55 71 04 5 0. 00 15 60 50. 00 1 0. 55 54hf h f h f f h h h        计 算 的 误 差 为这 里 或列 表 计 算 如 下 :解 : 0. 00 01 54 3 0. 55 57 09 93 0. 00 01 54 5' ( 1. 8 ) 0. 55 5f 数值分析数值分析在构造数值微分公式时,不仅要考虑公式的截断误差,而且还要考虑公式的舍入误差。2( 3 )000( ) ( )( ) ( )26f x h f x h hf x   考 察 公 式 :0 0 00 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x h f x h e x hf x h f x h e x h        设0 0 0 002( 3 )1( ) ( ) ( ) ( )()22()6f x h f x h e x h e x       则 有数值分析数值分析02( 3 )0 0 0 00()( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 6x h f x h e x h e x h hf x         计 算 的 总 误 差 是从截断误差的角度看, h 越小误差越小。但从舍入误差的角度看, 断误差不超过 222 m a x ( )66f x 舍入误差 不超过 一阶 中心差商的 总 误差 不超过 226 数值分析数值分析解:利用公式( 0 . 9 0 0 ) ( 0 . 9 0 0 )( 0 . 9 0 0)2f h f    计算。' ( 0. 90 0 )0. 00 1 0. 62 50 0 0. 00 33 90. 00 2 0. 62 25 0 0. 00 08 90. 00 5 0. 62 20 0 0. 00 03 90. 01 0 0. 62 15 0 0. 00 01 10. 02 0 0. 62 15 0 0. 00 01 10. 05 0 0. 62 14 0 0. 00 02 10. 10 0 0. 62 05 5 0. 00 10 6近 似 误 差例 2 设 f(x)=x ,计算 f’(值分析数值分析二、用代数插值函数求数值微分    )()()( 1)1( )!1( )(设 Ln(x)是 f(x)的 过点 { …  [a, b]的n 次插值多项式,由 有对任意给定的 x[a, b], 总存在 如下关系式 :若取数值微分公式)()( ' n误差为 :)!1()()()()!1()()()()()1(11)1('数值分析数值分析( 1 ) ( 1 )'10( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) ! ( 1 ) !i i n i n i i x f x L x x x       ( 1 )1( 1 )1()( ) , ,( 1 ) !()( ) 0 ,( 1 ) !x x  中 是未知的 其误差不能估计注意到在插值节点处 此时的余项为因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值0 1 101'01( ) (())()(( ) ' ( ) 0, 1 , .. .,) ( )()( ) ( ) ( ) ( )k k k k k ni n i k k x x x xf x L x f x lx x x x x x x        称为 n+1点求导公式 。数值分析数值分析常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式 .当 n=1时 ,有1,0)(!2)()()()( 2)2('11  1,0)()()()(0101'1  ) ( )( ) " ( ) ( 1 )2( ) ( )( ) " ( ) ( 2 )21( 2 )h x xf x h f x hf x x f x h hf x     令( ) 称 为 点 的 一 阶 向 前 差 商 公 式 ,称 为 点 的 一 阶 向 后 差 商 公 式 。数值分析数值分析当 n=2时 ,有2,1,0)()(61))((2)())((2)())((2)()()(61)(')()(20)3(12021022101201201021020)3(20当节点等距时,即有 x1=x0+h, h, h>0,上述公式可简化为数值分析数值分析2002012)3(221021)3(20210)3(22100,2,)(32)(3)(4)()()(62)()()()(32)()(4)(3)(这里有时,也将 上述公式写成如下形式2( 3 )0 0 0002( 3 )00012( 3 )0 0 002003 ( ) 4 ( ) ( 2 )( ) ( ) ( 3 )23( ) ( )( ) ( ) ( 4 )26( 2 ) 4 ( ) 3 ( )( ) ( ) ( 5 )23, 0, 1 , 2. ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 3if x f x h f x h hf x x h f x h hf x x h f x h f x hf x h x h i                 、 、 称 为 点 公 式 。n=2时,计算f’(误差是O(且( 4)的误差最小。数值分析数值分析2( 3 )0 0 0002( 3 )00012( 3 )0 0 0023 ( ) 4 ( ) ( 2 )( ) ( ) ( 3 )23( ) ( )( ) ( ) ( 4 )26( 2 ) 4 ( ) 3 ( )( ) ( ) ( 5 )23f x f x h f x h hf x x h f x h hf x x h f x h f x hf x             例 3 设 f(x)=,用 3点公式计算 f’(21113 4 2. 032 310 22. 228 790 22. 054 2. 414 10 10'( ) ( 1 ) , '( 2 ) 22. 167 168x x e f   公 式 ( ) 公 式 ( ) 公 式 ( )误 差()0 3 2 1 4 1 7 9 9 0 30x f 6), f’(2) ≈差为: 104)计算 f’(2)较准确。 用 5点公式计算 f’(2) :当 n=4时 ,可得到 5点公式 :0 0 0 004( 5 )00( 2 ) 8 ( ) 8 ( ) ( 2 )()12( ) ( 6 ) , 2 2 , 030f x h f x h f x h f x x h x h h            中点求导公式:数值分析数值分析0 0 0 04( 5 )0 0 200001( ) [ 2 5 ( ) 4 8 ( ) 3 6 ( 2 )121 6 ( 3 ) 3 ( 4 ) ( ) ( 7 )54 , 04 , 0f x f x f x h f x x h f x h fx x h hx h x h                端点求导公式:计算左端点: ,计算右端点:5点公式计算 f’(误差是 O(且中点公式( 6)的误差小于端点公式( 7)。数值分析数值分析三、 用数值积分求数值微分'( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )f x F x F x f xf x x Rf x f x F t  设 函 数 的 导 函 数 是 , 即 ,则 可 将 函 数 用 定 积 分 的 形 式 表 示 出 来 , 对给出函数 ()y f x 在等距节点 0 , ( 0 , 1 , , )   kx x k h k n 上的值 ()f x ( 0 , 1 , , ) ,求 ()点 导数 '( ) ( )x F x 。 取 1 , 1 ,则 得到 1111( ) ( ) ( ) ( 0, 1 , 2, , 1 )xf x f x F t dt k n     数值分析数值分析111111,( ) ( ) ( ) ( 1 , 2, , 1 )xx x x xf x f x F t dt k n    取 , 则 得 到11113()( ) 2 ( ) ( )t d tF t d t h F x O h若 对 积 分 用 中 矩 形 求 积 公 式 计 算 , 即得到311'2 11( ) ( ) 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2k k x f x h F x O hf x f xF x f x O     11,这 就 是 在 上 用 中 心 差 商 构 造 的 数 值 微 分 公 式 。数值分析数值分析111111( ) n( ) ( 4 ) ( 1 , 2 , 1 )3k t d t d t F F F k n     对 积 分 用 公 式 计 算 , 即111111,( ) ( ) ( ) ( 1 , 2, , 1 )xx x x xf x f x F t dt k n    取 , 则 得 到得到1 1 1 1( ) ( ) ( 4 )3k k k k x f x F F F      ' ' '1 1 1 1' ' '01( 4 ) ( 1 , 2, , 1 )3,k k k k f f f f k nf f f        这 是 一 个 关 于 的 线 性 代 数 方 程 组数值分析数值分析''0411 4 11 4 114再补充两端一阶导数值 和 ,则上式就是一个封闭的线形方程组,其系数矩阵是严格对角占优矩阵。' ' ' ' '0 1 2 1, , , , ,f f f f于 是 方 程 组 存 在 唯 一 解 , 可 解 出 。' ' '1 1 1 134 ( ) ( 1 , 2 , , 1 )k k k k kf f f f f k        数值分析数值分析习题六 2)
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