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数值分析(18)Gauss积分

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数值分析课件
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数值分析数值分析前面介绍的 n+1个节点的 特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造,复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。 代数精度为 n+1, 数精度为 n 。我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于 n 。 设想: 能不能在区间 [a,b]上适当选择n+1个节点 x 0x1,…,x n ,使插值求积公式 的代数精度高于 n?答案是肯定的,适当选择节点,可使公式的精度最高达到 2n+1,这就是本节所要介绍的高斯求积公式。第四节 高斯 (积公式数值分析数值分析0( ) ( ) ( ) ( )f x f x d x A f x 考虑更一般形式的数值积分问题定义: 若求积公式 对一切不高于 p(x)都等号成立,即 R(p)=0;而对于某个 m+1次多项式等号不成立,则称此求积公式的代数精度为 ) ( ) ( )f x d x A f x 一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法数值分析数值分析定理 6设节点 x n∈ [a,b],则求积公式的 代数精度最高为 2n+1次。 0( ) ( ) ( )f x d x A f x 分别取 f(x)=1, x, ..入公式,并让其成为等式,得: + + …… + A n =∫ 0 + 1+ …… +x n ∫ ( )/2.....+ x1 …… +x n ∫(-a r+1)(r+1)( ) 1 ,x 取 特 殊 情 形证 明 :数值分析数值分析事实上 ,取 2n+2次多项式 g(x)=((…. ( 代入求积公式 ,这里 x 有0( ) ( ) 0 ( ) 0g x d x A g x   左 , 右左 右 ,故等式不成立 ,求积公式 的 代数精度最高为2n+1次。 证毕 r +1个 等式, 2n+2个待定系数 (变元 ),要想如上方程组有唯一解,应有方程的个数等于变元的个数 ,即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是2 n+1,下面 证明代数精度只能是 2n+求积公式达到最高代数精度 2n+1的求积公式称为 系数 0( ) ( ) ( )f x d x A f x 因为 值型 求积公式 ,故有结论 : n+1个节点的 插值型 求积公式的代数精度 d 满足 : n  d  2n+1。数值分析数值分析11 1 2 21 ( ) ( ) ( ) ( 1 )f x d x c f x c f x 例: 选择系数与节点,使求积公式( 1)成为 : n=1, 由定义,若求积公式具有 3次 代数精度,则其是 此,分别取 f(x)=1, x, 入公式,并让其成为等式,得 c1 c2 c1 c2 2/3c1 c2 0求解得:12121,33,33  1133( ) ( ) ( )33f x d x f f   所求 1) 用待定系数法构造高斯求积公式数值分析数值分析设 Pn(x), n=0,1,2,…, 为正交多项式序列, Pn(x)具有如下性质:1)对每一个 n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,…2)( ) ( ) ( ) 0 , ( )b x P x P x d x i j (正交性 )( ) ( ) ( ) 0 , 1b na x P x P x d x n 3)对任意一个次数 ≤(x),有4) Pn(x)在 (a,b)内有 2)利用正交多项式构造高斯求积公式数值分析数值分析定理 6 x0,… , n+1次 正交多项式 (x)的 n+1个零点 ,则插值型求积公式是 积公式。证明: 只要证明 求积公式的代数精确度为 2n+1,即 对任意一个次数 ≤2n+1的多项式 求积公式 都精确成立。00( ) ( ) ( ) , ( )k f x d x A f x A x d 设 f(x)为任意一个次数 ≤2n+1的多项式,则有f(x)=q(x)(x)+r(x),满足 f(r(里, (x)是 n+1次 正交多项式, q(x)、 r(x)均是次数 ≤( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b a ax f x d x x q x P x d x x r x d x    数值分析数值分析由性质 3)及 (4)式,有11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) ( )b b a f x d x x q x P x d x x r x d xx r x d x A f x      由于 n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于 n,故有00( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 )k k r x d x A r x A f x即 对 f(x)为任意一个次数 ≤2n+1的多项式 求积公式 都精确成立 。 证毕数值分析数值分析利用正交多项式构造高斯求积公式 的基本步骤:高斯点),作为积分点次正交多项式的零点以(,,0 a g r a ng )()()(,,值多项式作对用高斯点 代入积分式)()()())()()(()()(00 因此,求积系数为  ba ii ,1,0()()( 数值分析数值分析1 21 1 ( ) , .x f x d x 对 于 积 分 ( ) 试 构 造 两 点 高 斯 求 积 公 式例  21 1 1  首 先 在 , 上 构 造 带 权 ( ) 的解 : 正 交 多 项 式0 1 201 1 0( ) , ( ) , ( ) .( ) 1( ) ( ) ( )x x x x x      0)1()1())(),(())(),((11211200001 52)( 22  理求出2 0 122( ) ,55x x x   的 零 点 为数值分析数值分析2 0 122( ) ,55x x x   以 的 零 点 作 为 高 斯 点 。其成为等式。依次代入上式两端,令将形如次代数精度,求积公式应有两点高斯公式)()()()()1(3,11111002 )52()52()1()1(10112101123410  )52()52(34)()1(112 积公式(1)其中 高斯点为 ( ) ( )x f x  数值分析数值分析6( ) ( )x f x  110 , ( ) 2 ( 0)n f x d x f 111( ) ( 0 . 5 7 7 3 5 0 2 6 9 2 ) ( 0 . 5 7 7 3 5 0 2 6 9 2 )nf x d x f f  112( ) 0. 55 55 55 55 6 ( 0. 77 45 96 66 92 ) 0 ) nf x dx 数值分析数值分析11:1 d x运 用 三 点 高 斯 - 勒 让 德 求 积 公 式 与 辛 卜 生 求 积公 式 计 算 积 分例111 5 5 5 5 5 6 ( 0 5 4 0 3 2 4 5 9 6 ) 0 8 8 8 9 1 3 9 9 7 0:9x d x  由 三 点 高 斯 - 勒 让 德 求 积 公 式 有解1111 . 5 ( 0 . 5 4 1 . 5 2 . 5 ) 2 . 3 9 5 7 4 23x d x    由 三 点 辛 卜 生 求 积 公 式 有11 1 . 5 2 . 3 9 9 5 2 9x d x 该 积 分 的 准 确 值数值分析数值分析一般区间的 积公式如果积分区间是 [a,b],用线性变换11( ) ( )2 2 2a b a a bf x d x f t d t  这样就可以用 将积分区间从 [a,b]变成 [],由定积分的换元积分法有22b a a 数值分析数值分析11 ( ) ( 0 . 5 7 7 ) ( 0 . 5 7 7 )G a u s s L e g e n d r e F t d t F F   由 两 点 求 积 公 式100 1 0 110 0 1 10( ) 1,,( ) ( ) ( )f x dx n G au e ge n au ss x x A Af x f x A f xG au 对 积 分 , 试 利 用 的 两 点求 积 公 式 构 造 型 求 积 公 式 。例即 确 定 和使为 型 求 积 公 式 。1 1 10 1 11 1 1 1( ) ( ) ( 1 ) ,2 2 2 21 1 1( ) ( ( 1 ) ) ( )2 2 2x a b b a t t dx x dx f t t           先 作 变 量 代 换于 是解 :11011 1 1 1 1 1( ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 7 ) ) ( ( 1 7 ) )2 2 2 2 2 2f x dx f t dt f f     得数值分析数值分析1110 1 2 30 1 2 31()( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t d t G a u s s L e g e n d r eF t d t A F t A F t A F t A F t   对积分 用四点 求积公式100 1 2 30 1 2 310 0 1 1 2 2 3 30( ) 3, , ,, , ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x d x n G a e g e nd a x x x A Af x d x A f x A f x A f x A f xG a    对 积 分 , 试 利 用 的 四 点求 积 公 式 构 造 型 求 积 公 式 。 即 确 定 和使为 型 求例积 公 式 。1 1 10 1 11 1 1 1( ) ( ) ( 1 ) ,2 2 2 21 1 1( ) ( ( 1 ) ) ( )2 2 2x a b b a t t dx x dx f t t           先作变量代换于是解:数值分析数值分析, ( 0, 1 , 2, 3 ) i 可查表得到 和原积分11010 1 2 30 1 2 30 1 20 1 2331( ) ( )21( ( ) ( ) ( ) ( ) )21 1 1 1( ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) )2 2 2 21( ( 1 ) ) )211( 1 ) 0, 1 , 2, 322ii i if x t t A F t A F t A F tA f t A f t A f tA f tx t A A i           即有数值分析数值分析10( ) 0 . 1 7 3 9 2 7 ( 0 . 0 6 9 4 3 2 )0 . 3 2 6 0 7 3 ( 0 . 3 3 0 0 0 9 )0 . 3 2 6 0 7 3 ( 0 . 6 6 9 9 9 1 )0 . 1 7 3 9 2 7 ( 0 . 9 3 0 5 1 8 )f x d x 于是0 1 2 47855 69432 73927  列表如下:11( 1 ) 0 , 1 , 2 , 322 ii i ix t A A i   数值分析数值分析例 利用高斯求积公式计算解 : 令 x=1/2 (1+t), 则用 高斯 取 n=4积分精确值为I=此可见,高斯公式精确度是很高的 110113d x d 0 . 6 9 3 1 4 7 1 9I  数值分析数值分析例 :分别用不同方法计算如下积分 ,并做比较各种做法比较如下:1、用 n=1时,即用梯形公式, I≈n=2时 , 即用 I ≈ n=3时 , I ≈ n=4时 , I ≈ n=5时 , I ≈ i n xI d  10s i n( 0) 2 ( ) ( 7 ) ( 1 )20 . 9 4 5 6 9 0 8 6x f f h f h     2:用复化梯形公式令 h=1/8=复化辛卜生公式令 h=1/8=   10s 0 ) 4 ( ) ( 7 ) 2 ( 2 ) ( 6 ) ( 1 )30 . 9 4 6 0 8 3 3f h f h f h f h f       用 n 1 0 . 7 7 4 5 9 0 7 1 )20 . 5 5 5 5 5 5 60 . 7 7 4 5 9 0 7 1I 5、用 令 x=(t+1)/2,1s i 1s i n 8 8 8 8 8 8 9011 0 4 5 9 0 7 1 )20 5 5 5 5 6 0 6 0 8 3 10 4 5 9 0 7 1  11si n ( 1 ) / 21tI 2)用 3个节点的 1)用 2个节点的 此例题的精确值为 . 由例题的各种算法可知: 对 n=1时只有 1位有效数字,当 n=2时有 3位有效数字,当 n=5时有 7位有效数字。 对复化梯形公式有 2位有效数字,对复化辛卜生公式有 6位有效数字。 用复合梯形公式,对积分区间 [0, 1]二分了 11次用 2049个 函数值,才可得到 7位准确数字。 用 次,用了 9个 函数值,得到同样的结果。 用 个 函数值,就得到结果。() ()1d x A f  ( 0 )( 0, 1 , ) 121c 0, 1 , )2 ( 1 )i n n C h e by c h e i 其中 是 阶 多项式的零点( 0 , 1 , , )1iA i  求 积 系 数 是 21( ) , 1 , 11  ( ) ( )f x f x   00 0 000 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x x i x d xf x d x e e f x d x e F x d x F x e f x    求 某 一 个 无 穷 区 间 , 上 的 积 分, 其 中(1) 9 5 , ( ) , 0 , e x     积 分 点 和 求 积 系 数 查 表 权()00[ , ) ( 0 ) ( ), [ , ) [ 0, )( ) ( ) ( )a t a a e f x a t x a tG au e f x dx e f a t dt e e f a t                        对 区 间 上 的 积 分 ,通 过 变 量 代 换 将 变 为 ,再 用 求 积 公 式 计 算(2)积 ) ( )( 0 , 1 , , ) 9 6f x d x A f i n 同 前 , 求 积 分其 中 , 积 分 点 和 求 积 系 数 可 查 表数值分析数值分析 ( 2 2 )0( 2 2 )211 0 11 ( ) ,( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )( 2 2 ) !( , ) , ( ) ( ) ( )67()x a bx f x f f x w x b w x x x x x x x    ( ) 若 在 上 连 续 , 则 高 斯 求 积 公 式的 截 断 误 差 为 :定中:其理012121''2121, , , ( )2 1 ( ) ,( ) ( ) ( 0 , 1 , , )( ) ( ) ( 0 , 1 , , )i in i x x f x H e rm xH x f x i nH x f x i n因 为 阶 高 斯 求 积 公 式 有 次 代 数 精 度 ,因 此 , 用 点 对 作 插 值 ,得 到 次 插 值 多 项 式 并 且 满 足 :证 明 :二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析数值分析数值分析已知 2 2 )2210( 2 2 )2210()( ) ( ) ( )( 2 2 ) !()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 2 2 ) !n nb b a x H x x f x dx x H x dx x x x         因为对 2n+1次多项式求积公式准确成立,即 ()()()(代入上式  2(0)()()!22( )()()()( 即有   2(0)()()!22( )()()()()( 数值分析数值分析例 6斯型求积公式的求积系数恒正( ) ( ) 0x l x d x即 :022220( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 ,( ) ( ) ( )b ni k i k f x d x A f xf x l x l x nx l x d x A l x A在 高 斯 求 积 公 式中 , 取 , 为 次 多 项 式 , 求 积 公 式 等:式 成 立证 明2( ) ( ) ( ) ( ) 0i x l x d x x l x d x   0( ) 1 , ( )b x x d x A 取 有数值分析数值分析0( ) ( )()nn i i f x f 在 求 积 公 式 中 , 若 计 算 有 误 差 ,变 为 , 则 求 积 公 式 也 有 误 差 , 变 为00000( ( ) )()m a x m a x ( )i i i i n i f A AA x d x      利 用 了 的 恒 正 性 质)(1)(m  ,则有,特别取记稳定性分析数值分析数值分析将积分区间 [a , b] 每个小子区间上使用一个节点数较少的 然后把它们加起来,就得到整个区间上 化 面用 化将积分区间 [a , b] , 0 , 1 , . . . ,x a k h k   三、 复化 , ] [ 1 , 1 ] .k k k x x 作 变 换将 小 区 间 变 换 到 标 准 区 间1111101, ( )221( ( 1 ) )21( ) ( ( ( 1 ) ) )22x h a k hx a k t x d x f a k t h d t          由 于所 以从 而 有110( ) ( )x dx f x  数值分析数值分析例如 ,用 2点的 由表 9 n=1,得 1,得 2点的复化 ( ( ( 0 . 2 1 1 3 2 5 ) ( ( 0 . 7 8 8 6 7 5 ) )2x d a k h f a k h     再将上式应用 化 数值分析数值分析习题六), 13,15(2),数值分析数值分析数值实验题六
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