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数值分析(17)复化求积法

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数值分析数值分析第二节 复化求积法复化求积公式的基本思想:将区间 [a , b] 分为若干个小子区间,在每个小子区间上使用低阶的 后把它们加起来,作为整个区间上的求积公式。一、 复化求积公式数值分析数值分析1、 复化梯形公式  1,, , ( 0, 1 , , ) ,, 0, 1 , , 1b x a kh k x k n   将 区 间 等 分 ,在 每 个 小 区 间 , ( )上 用 梯 形 公 式 :1( ( ) ( ) ) 0, 1 , , 12k k f x f x k n   1101( ( ) ( ) ) ( )2k f a f b h f x   复化梯形公式 为数值分析数值分析截断误差分析:   3''11, ( ) , ,12k k k k k k x R f x x   在 区 间 上 , 1'' ''01 ( ) ( ) ,f f a    利 用 和2 ' ' 2( ) ( ) ( )12 h f O h  得 到 复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误 差 是 :311''00( ) ( )12k f   整 体 误 差 为数值分析数值分析2、复化 1112,( ( ) 4 ( ) ( ) )6k x p s o f x f x f x  在 每 个 小 区 间 上 用 公 式1 1 110 0 12110 221( ( ) ( ) ) ( ) ( )6 3 312()33n n nn k k n f a f b h f x h f H h f x            , 其 中复化 4 ( 4 ) 4()( ) ( ) ( ) ,2880n h f O h a b   复化 数值分析数值分析1012xe  复 化 梯 形 公 式 与 复 化 辛 卜 生 公 式 计 算 积 分的 近 似 值 时 , 若 要 求 误 差 不 超 过 10 , 问 至 少各 取 多 少例 6个 节 点 ?( 4 )( ) , ' ' ( ) ( ) ,x e f x f x e  : ( 1解 ) 由 得2242( ) 1| ( ) | | ' ' ( ) | | ' ' ( ) |12 12111012 2 h f      6 7 . 3n 解 得6 8 1 6 9用 复 化 梯 形 公 式 至 少 取 , 节 点 至 少 取 个 。( 4 )240 1 0 1m a x ' ' ( ) , m a x ( )x e M f x e M      数值分析数值分析4 ( 4 ) ( 4 )444( ) 1| ( ) | | ( ) | | ( ) |2880 288011102880 2 h f      2 . 1n 解 得3 1 7用 复 化 辛 卜 生 公 式 至 少 取 , 节 点 至 少 取 2 个 。( 4 )( ) , ' ' ( ) ( ) ,x e f x f x e  : ( 2解 ) 由 得( 4 )240 1 0 1m a x ' ' ( ) , m a x ( )x e M f x e M      1012xe  复 化 梯 形 公 式 与 复 化 辛 卜 生 公 式 计 算 积 分的 近 似 值 时 , 若 要 求 误 差 不 超 过 10 , 问 至 少各 取 多 少例 6个 节 点 ?数值分析数值分析二、变步长复化求积公式变步长复化求积公式的基本思想:将区间 [a , b]逐次分半,建立递推公式,按递推公式计算,直到满足精度要求。 ( ) ( ( ) ( ) )2hn h b a T T h f a f b     ,222 , [ , ]1,22n a b 将 分 半 , 用 复 化 梯 形 公 式 得 ,4 4 214, ,24 h h   再 将 区 间 分 半 得 ,22 ,n n T直 到 为 止 将 作 为 积 分 的 近 似 值 。数值分析数值分析下面推导由 b n 给 出 误 差 限 , 将 [ , ] 等 分 , 步 长用 复 化 梯 形 公 式 :1 1 111101, ] ( ( ) ( ) )2[ , ]( ) ( ( ) ( ) ) ( )2nk k k k n k n x T f x f h T T f a f b h f x    在[ 上,在 上,数值分析数值分析 1 1 12 2 2112,, , ,2,2k x xx x x x n h h          将 原 等 分 区 间 , 再 次 分 半 , 每 个 小 区 间上 取 中 点 分 成 两 个 区 间 和 ,于 是 , 。11221212122211112200,]( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )221()22,]11( ) ( )2 2 2 2 2k n nn k n f x f x f x f f h T T f x T        在 [ 上 ,在 [ 上 ,110 2()h f x 记数值分析数值分析212211110 2( ( ) ( ) ) ( )2()n f a f b h f xH h f x  其 中变步长复化梯形公式的递推公式 : ( 由 n)1120[ ( ) ( ) ]21( ( 2 1 ) ) , 1 , 2 ,2 2 2f a f bb a b f a j      实际计算中的递推公式为22|| n n T直 到 为 止 , 作 为 积 分 的 近 似 值 。数值分析数值分析2|| 用事后误差分析法说明,为什么可以作为迭代终例: 止条件?21222()' ' ( )12()( ) ' ' ( )12 2 h fb a f    解 :12' ' ( ) [ , ] , ' ' ( ) ' ' ( )f x a b f f 假 定 在 上 变 化 不 大 即 有 ,于 是 得242 2 2 211( ) ( )33n n n n n T T I T T T      或2213n n I T      当 时 , 。数值分析数值分析变步长复化 梯形 求积公式的算法 11111. , ( ( ) ( ) )22. 0,23. ( ) ,*26. ,7. , ,2b a T f a f x f x x x h I T T          4. 若 ,则转若 则 ,输出 , 停机。转2 ( ) ( ) ]2112 2 2( ( 2 1 ) )221 , 2 ,nn n f a f Tb a b af a     1243 3 3n n nn n nn n n n n T T T T    已 知又 有两 式 联 立 解 得 :( ) ( )42242128421)4(312121实际计算过程如下:数值分析数值分析42242128421)4(3121213231622221144144同理可得变步长复化柯特斯公式数值分析数值分析3、 自适应求积法设预先给定误差  ,对区间 [ , ]算 1 ( , ) ( ) 4 ( ) ( )62b a a bS a b f a f f b  233( , ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )12 4 2 4b a a b a b a bS a b f a f f f f b        4 )11()( , ) ( , ) ( ) ( )2880a b S a b b a f    4 ( 4 )22()( , ) ( , ) ( ) ( )28 80 2b a b aI a b S a b f   , ) ( , ) 1 6 ( )I a b S a b I S  数值分析数值分析2 2 11( , ) ( , ) ( , ) ( , )15I a b S a b S a b S a b  12( , ) ( , ) 1 6 ( )I a b S a b I S  当 21( , ) ( , ) 15S a b S a b  时有 2( , ) ( , )I a b S a b  此时称区间 [ , ]算通过,若此区间不通过,则将区间 等分为两个区间 [ , ]2 和 [ , ]2ab b . 先处理区间 [ , ]2 ,要求误差小于 2 ,即测试 21( , ) ( , ) 152 2 2a b a bS a S a 数值分析数值分析若满足则区间 [ , ]2 计算通过,若此区间还不通过, 再将此区间再等分为 3[ , ]4 和 3[ , ]42a b a b , 要求误差小于 4 ,如此递归下去,直到所分的小区间 全部通过计算 . 然后再处理右半区间 [ , ]2ab b . 数值分析数值分析第三节 提高求积公式精度的外推方法一、理查逊 (推法理查逊 (推法是数值方法中常用的一种加速收敛技术。0)()()()(1121111121k其中展开式:之间的截断误差有渐近和,若去逼近量的算法设用步长为数值分析数值分析 )()()(,01211211则满足代替,用中的将展开式 kk )())()((11212111211)(减得到:乘原式两端再与此式相用)()( 121 211 k  )(111)()(211211211211 整理后得到:数值分析数值分析)(得到的新公式,记为做了一次外推,和这个过程我们称为用()(111)()()( 112 )(111)()(211211211211 )()( 232 322 k  显然有,。的截断误差阶为逼近则类似地,若定义1)(1)()()(11记推的次数加用第一个下标表示作外次分半,作了的步长表示对原公式1)()( 11 k 111)()()(01110211010,21,1111101,,,,,,,作了一次外推。和表示用次分半,没有外推;进行了表示对外推;进行了一次分半,没有表示对公式;始分半,也没有外推的原表示没有对分半表示对原步长一般取 (,21数值分析数值分析, , 1, 1 ,1,10, 1 , , ; 1 , 2, , ;k i k i n i ki k n  一 般 地 , 用 和 做 外 推 , 有11, () h    若 进 行 了 次 外 推 , 则 有 :数值分析数值分析1 , 01 , 1 2 , 01 , 2 2 , 1 3 , 01 , 2 , 1 3 , 2 1 , 0n n n n                 理 查 逊 外 推 算 法 流 程数值分析数值分析二、龙贝格 (法龙贝格 (法是将理查逊 (推法应用于数值积分,由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。)()( 222224422   差有展开式复化梯形公式的截断误)2()2()2()1()()())()((24422)1(14422)0(1)0(1)(1然有表示没有外推的复化梯用数值分析数值分析 34)()(343)1(4)2()0(1)1(1)0(26)2(64)2(4)0(1)1(1记得( 0 ) ( 2 ) 4 ( 2 ) 62 4 6( 1 ) ( 2 ) 4 ( 2 ) 62 4 6( ) ( ) ... . 1( ) ( ) ... . 222I T C b a C b ab a b C C        ()()444 ( 1 ) ( 0 )( 3 ) 6 ( 3 ) 822684[ ( 2 ) 2 ( 1 ) ] 22( ) ( ) ... b a C b a       ( - 1 )得( - 1 )数值分析数值分析4 ( 1 ) ( 0 )( 0 ) 223 422记( - 1 )2 ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 )( 0 )1 2242 1 4 1m m mm T 一般地( 1 ) ( )()11 , 2 , ,44 1 0 , 1 , . . . ,m k kk n m  一 般 地1中 :表示逐次分半的次数:表示外推的次数数值分析数值分析( ) 2 21( 0 )1( 1 )1()1( ) ,222 h hT h b 中( ) 21( ) 42( ) 2 21( 1 ) ( )()11 , 2 , ,44 1 0 , 1 , . . . ,m k kk n m  一 般 地1中 :表示逐次分半的次数:表示外推的次数数值分析数值分析1234( 1 ) ( )1()1()()()()4 ( ) ( )22()2 4 11 , 2, ... , ; 0, 1 , ... , ;m k h hT h hT h hT h n k n m  步 长 为 的 复 化 梯 形 公 式步 长 为 的 复 化 辛 卜 生 公 式步 长 为 的 复 化 柯 特 斯 公 式步 长 为 的 复 化 龙 贝 格 公 式144222 (31 2 144323 ) ( 1 )11 11( 1 ) ( )()1( ( ) ( ) )21( ( 2 1 ) )2 2 24411 , 2, .. ., ;1 , 2, .. ., ;0, 1 , .. ., ;k kk f a f bb a b f a n m    ( )数值分析数值分析10, 贝格序列计算流程()21, ()32, ()54, )43, 0(1)1( T)1(1)2( T)2(1)4( T)3(1)7( T)4(1)11( T)0(2)3( T)1(2)5( T)2(2)8( T)3(2)12( T)0(3)6( T )0(4)10( T )0(5)15( T)1(3)9( T)2(3)13( T)1(4)14( T)( 2( 4( 6( 8( 1001( 1 ) ( 2 )11( ) ( 1 )( 1 )1( 0 ) ( 0 ) ( 0 )111. , ( ( ) ( ) )22. 2, 3, .. .,( 1 ) 0,2( 2 ) ( ) ,( 3 ) ( 2 ) 4 ) *2( 5 ) 1 , .. ., 1441( 6 ) ,( 7 )l m l mm m b a T f a f x f x x x h I T I            ( )若 , 则 转若 则 , 输 出 , 停 机 。2数值分析数值分析10xe 、 计 算 积 分 , 若 分 别 用 复 化 梯 形 公 式 和 复 化辛 卜 生 公 式 , 问 应 将 积 分 区 间 至 少 多 少 等 分 才能 保 证 有 六 位 有 效 数 字 ?习题六 ( 1) , 7
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