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数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式

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数值分析数值分析第六章 数值积分 与数值微分第一节 等距节点的 化求积法第三节 提高求积公式精度的外推方法第四节 值微分数值分析数值分析引 言( ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) x f xf x d x F b Fe w t o n L e i b n t 其 中 为 的 原 函 数公 式202 [ 0, )t xe dx t   例 如 , 对 概 率 积 分由于被积函数的原函数 F(x)不可能找到,牛顿 值分析数值分析0[ , ]()( ) ( )b x d x A f x 所 谓 , 从 近 似 计 算 的 角 度 看 , 就 是 在 区间 上 适 当 地 选 取 若 干 个 点 , 然 后 用 这 些 节 点 上 的函 数 值 的 加 权 平 均 方 法 获 得 定 积 分 的 近 似 值 , 即数 值 积 分( ) ( )( ) ( )f xf x d x x d x从 数 值 逼 近 的 观 点 看 , 所 谓 数 值 积 分 , 就 是 用 一 个具 有 一 定 精 度 的 简 单 函 数 代 替 被 积 函 数 , 而 求出 定 积 分 的 近 似 值 , 即()( ) ( ) ,( ) ( )p xp x f xf x dx p x 插 值 型 求 积 公 式 ,取 ( ) = 得即 : 用 插 值 多 项 式数值分析数值分析下面推导插值型求积公式设 … ,[a,b], pn(x)是 f(x)的 ) ( ) ( )nn i x f x l x 则有( 1 )11 0 1( ( ) )( ) ( ) ( )( 1 ) !( ) ( ) ( ) ( ) , ( )x p x w x x x x x x x a x b     ( 1 )1( ( ) )( ) ( ) ( )( 1 ) !nb b a x d x p x d x w x d    ( 1 )101( ) ( ) ( ( ) ) ( )( 1 ) !i x l x dx f x w x   ( 1 )101( ) ( ( ) ) ( )( 1 ) !n i f x f x w x    数值分析数值分析插值型求积公式00( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )i i x f x R f A f x  其中( ) 0 , 1 , , ( 2 )aA l x d x i n 截断误差或余项为( 1 )11( ) ( ( ) ) ( ) ( 3 )( 1 ) !b f f x w x   li(x)为 1 )101( ) ( ) ( ( ) ) ( )( 1 ) !i x f x f x w x   数值分析数值分析i=0,1,…,n) 称为 求积系数 ,i=0,1,…,n) 称为 求积节点 。0( ) ( )x d x A f x 数 值 求 积 公 式 的 一 般 形 式数值分析数值分析一、 牛顿 — 柯特斯求积公式的导出将积分区间 [a,b] 点 a+ i=0,1,2,…,h=(ba)/n。有第一节 等距节点的牛顿 — 柯特斯求积公式当求积节点等距分布时,插值型求积公式称为牛顿 — 柯特斯 (求积公式。0( ) ( ) ( 4 )x f x 其中()l x d x 数值分析数值分析0n()00()( ) , 0 , 1 , ,bb l x d x d d t b a C i     000011( 5 )0 , 1 , ,n )i j it j ( )C d t ( t j) d tn i j i! ( n i) !   Ci(n) 称为柯特斯系数 。()00( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 )i x f x b a C f x  于是 牛顿 — 柯特斯求积公式为引进变换 x=a+, 0≤t≤n xj=a+ j=0,1,2,…,c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 柯特斯系数表数值分析数值分析( 1)梯形公式 (n=1)a, x1=b, h= b- a, )=) =1/2I = ( ( ) ( ))2 x ) d x f a f b T  梯形公式的几何意义是用四边梯形 1(x)y=f(x)a x1=2)辛卜生公式 ( (n=2) 辛卜生公式又称为抛物线公式 。I = ( ) 4 ( ) ( )62a a x ) d x ( f a f f b ) S   a, (a+b)/2, x2=b, ) =1/6 , ) =4/6 , ) =1/6数值分析数值分析辛卜生公式的几何意义是用抛物线 y=P2(x)围成的曲边梯形面积代替由 y=f(x)围成的曲边梯形面积。))()2(4)((6)( 2(x)y=f(x)0数值分析数值分析(3) n=3 为 3/8 辛卜生公式a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (3(4) n=4为 式a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (40 1 2 3( ) ( ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) )8x dx f x f x f x f x   0 1 2 4 5( ) ( 7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )90x dx f x f x f x f x f x C     数值分析数值分析例 6 用梯形公式与 辛卜生公式求 321xI e d x  的近似值。解:辛卜生公式3 1 2 32 2 2 212 ( 4 ) 75 5056xI e dx e e e       I=32 2 212( ) 66 081 92xI e dx e e     梯形公式数值分析数值分析例 6用 当 算结果如下所示。si n 近似结果1 插值型求积公式的代数精度0( ) ( )x f x 定义 6若求积公式 对一切不高于 p(x)都等号成立,即 R(p (x))=0;而对于某个 m+1次多项式等号不成立,则称此公式的代数精度为 法 从 ƒ(x)=1,x,x2,依次验证求积公式是否成立,若第一个不成立的等式是 其代数精度是 值求积公式越精确定义 6若求积公式 对ƒ(x)=1,x,x2,x3…x m, 都等号成立,即 R(0;而对于 等号不成立,则称此公式 的代数精度为 ) ( )x f x 数值分析数值分析定义 1 定义 221证 义明 : 定 定 义01 1 10( ) , , 0, 1 , ,( ) , ,k m x x x x k mf x x x x    已 知 : 对 有对 有000()()b a x xf x d x x d x x d x  对 , 有0 0 0 0 0()m n n m i i i k i i ik i i k iA x A x A f x        1 1 10( ) , ,m x x x x   对 有数值分析数值分析例 6证明下面数值求积公式 具有 1次代数精度 ) ( ( 0) ( 1 ) )2f x d x f f所以求积公式具有 1次 代数精度。10( ) 11= 1 ( ) ( ( 0 ) ( 1 ) ) 12x d x f f    取 ,左解 :右10()1 1 1= ( ) ( ( 0 ) ( 1 ) )2 2 2f x xf x dx f f    取 ,左 右210()1 1 1= ( ) ( ( 0 ) ( 1 ) )3 2 2f x xf x d x f f    取 ,左 右数值分析数值分析例 6设有成立,确定 使上述数值求积公式的代数精度尽可能高, 并求代数精度 。解: 分别取 (x)=1, x, 有 , 4/3, ;111( ) ( ( 1 ) 4 ( 0) ( 1 ) )3f x d x f f f    则取 (x)=左 =右 =0;(x)=左 =∫ 右 =2/3所以具有 3次代数精度。10 1 21 ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )f x d x A f A f A f    数值分析数值分析1 )11( 1 ) !( ) ( ) ( )b aR f f x d x 其 中0( ) ( ) x ) d x A f x R f因 为证 明 :) ( )b x d x A f x 其中  n+1(x)= ((.. ((求积公式 至少具有 理 6由 n+1个 互 异节点 …x n。这里系数 与 f(x)无关。显然当 f(x)是任何一个不超过 多项式时 ,余项( 1 )11( 1 ) !( ) ( ) ( ) 0b aR f f x d x数值分析数值分析( 1 )11( 1 ) !( ) ( ) ( )b aR f f x d x 证 明 :其中  n+1(x)= ((.. ((f(x)是任何一个不超过 n+1次 的多项式时 ,余项( 1 )111( 1 ) !( ) ( ) ( ) ( )f f x d x c x d x  由于 等距节点 ),它的代数精度至少是 n,还可以证明 当 n 为偶数时n+x=+,≤t≤n/2xj=a+ j=0,1,2,…,等距节点 ),它的代数精度至少是 n,还可以证明 当 n 为偶数时n+x=+, ≤t≤n/2xj=a+ j=0,1,2,…,n 10 / 2/22/2( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( 1 ) ( 1 ) ) ( )220f c x d xc x x x x x x d h t t t t t d x       =a+(n/2)h, 数值分析数值分析()001b a C  证 明: ,例 6 ( ) 1 ,n f x证 取:()00( ) ( ) ( ) ( )i x d x A f x b a C f x  由( 1 )11( ) ( ( ) ) ( )( 1 ) !b f f x w x d   及( ) 0知00( ) ( )00( ) ( )( ) ( ) ( )i a f x d x A f x Ab a C f x b a C      所 以()001b a C    ,数值分析数值分析三、 ) [ , ] ( ) [ , ]( , )( ) ( ) ( ) ( )x a b g x a x g x d x f g x d x( 第 二 积 分 中 值 定 理 )如 果 函 数 在 上 连 续 , 函 数 在 上可 积 且 不 变 号 , 则 存 在 使引 理 :3( ) , ]( ) ( ) ( ( ) ( ) )2()'' ( )12x a f f x dx f a f   设 在 [ 上 有 二 阶 连 续 导 数定 , 则 梯 形求 积 公 式 的 截 断 误 差理 6值分析数值分析带误差项的梯形公式是3( ( ) ( ) ) "( )2 1 2a b x ) d x f a f b f    ( )1 , ( 3 )'' ( )( ) ( ) ( ) , [ , ]2bT f x a x b d x a b   证 明 : 由 截 断 误 差 公 式 有3''( ) ( )( ) ( ) ( ) ''( )2 1 2bT af b aR f x a x b d x f    证 毕''( ) [ , ]( ) ( ) 0 [ , ] [ , ]f x a bx a x b x a b a b   由 于 是 依 赖 于 的 函 数 且 在 上 连 续 , 又, , 由 引 理 知 , 在 区 间上 存 在 一 点 使 得数值分析数值分析证: 已知辛卜生求积公式的代数精度为 3,因此考虑构造一个三次插值多项式 p3(x)满足下列条件根据插值余项定理得:3 ( ) ( )p a f a 3 ( ) ( )p b f b3 22( ) ( )a b a 3''22( ) ( )a b a ( 4 )3() 24 ! 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x p x x a x x      5( 4 )( ) , ]( ) ( ) ( ( ) 4 ( ) ( ) )62()2880x a bb a a bR f f x dx f a f f    设 在 [ 上 有 4 阶 连 续 导 数 , 则 辛 卜 生求 积 公 式 的 截 断 误 差定 理 6为数值分析数值分析得到截断误差3 3 3 3( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )6 2 6 2a a b b a a bp x d x p a p p b f a f f b                 ( 4 ) 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 ! 2f f x a x x b d x    3 () 是 是 三 次 多 项 式 , 所 以( 4 ) 23 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4!b b a af x d x p x d x f x a x x b d x       两边求定积分得 ( 4 ) ( ) ,f a b假设 在区间 上连续,数值分析数值分析      2( 4 )2( 4 )5( 4 )1( ) ( ) ( )4 ! 21()4 ! 22880f f x a x x b d x a x x b d a b         因此辛卜生求积公式的截断误差为   5 ( 4 )S ( ) ,2880f f a b           2,0,a b x a x x     而且当 时由引理知,在 上总存在一点 使得数值分析数值分析带误差项的辛卜生公式是5( 4 )()( ) 4 ( ) ( ) ( )6 2 2 8 8 0a a b b x ) d x ( f a f f b )      定理 6 (023 ( 2 )2()0 012 ( 1 )()0 01, , ( ) .[ , ] ,()( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )( 2 ) ![ , ] ,()( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )12( 1 ) !a x b h b a b x dx b a f t t t n a b x dx b a f t t t n            设若 是 偶 数 , 则若( )( ) 是 奇 数 , 则数值分析数值分析四、 乎 数精度越高。是不是n 越大越好呢?答案是否定的。考察 讨论舍入误差对计算结果的影响。()00( ) ( ) ( ) ( )i i f x f x b a C f x I    () nk(n) 近 似 计 算 I 时 , 若 计 算 函 数 值 有 误 差 ,k=0,1,2,...,n; 设 C 没 有 误 差 , 则 在 牛 顿 - 柯 特 斯 求积 公 式 的 计 算 中 , 由 引 起 的 误 差 为) ( )00n()0( ) ( ) ( ) ( ( ) )()k k k k b a C f x b a C f xb a C    数值分析数值分析()01()) ( )00( ) ( )k b a C b a C   k0 k 皆 为 正 , 并 设 = m a x , 则 有()b a e  故 有 有 界 。但是 , n=8 时 ,出现负数,说明当 n8时,稳定性将得不到保证 ,另一方面误差项中有高阶导数,一般地说,难以进行误差估计。因此,在实际计算中,不用高阶的牛顿 — 柯特斯求积公式 ,一般我们只取 n=1,2,4。数值分析数值分析习题六 8(1)3()( ) ( )2 2 4b b x ) d x b a f f " ξa ξ b  1. 证 明 带 余 项 的 中 点 求 积 公 式数值分析数值分析习题
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