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数值分析(15)样条插值

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数值分析数值分析样条是绘图员用于描绘光滑曲线的一种机械器件 ,它是一些易弯曲材料制成的窄条或棒条 对它在这些点的位置上“压铁” ,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点 .“样条函数”这个术语意在点出这种函数的图象与机械样条画出的曲线很象 条插值数值分析数值分析0 1 1( ) [ , ] [ , ]:( ) 0, 1 , 2, ,f x a b a ba x x x x bf x i       若 函 数 在 上 连 续 , 对 于 区 间上 的 一 个 分 划给 定 节 点 上 函 数 值 , 。若 函 数 S ( ) 满 足21110( 1 ) ( ) 0 1( 2 ) ( ) [ , ]( 3 ) ( ) [ , ] 0 1 1( ) , ..., ,,x y i nS x C a bS x x x i nS x x , , ;, 即 在 整 体 上 是 二 阶 连 续 的 ;在 每 一 个 小 区 间 ( , , )是 三 次 多 项 式 ;则 称 为 三 次 样 条 函 数 。 称 为 内 节 点称 为 外 节 点 次样条插值问题的提法数值分析数值分析( 1 ) 3 ( 1 ) 4 2 ,n n n    共 有 个 条 件缺 两 个 条 件 , 由 边 界 条 件 给 出 。插 值 条 件 分 析1 , 0 , 1 , 2 , . . . ,iy i n由 ( ) 已 知 节 点 上 函 数 值 。 这 是 n+1 个 条 件2''11' ' ' '12 ( ) [ , ] ,( ) ( ) , ( ) ( ) ,( ) ( ) , 1 , 2 , . . . , 1i i i i i i i ii i i iS x C a bS x S x S x S xS x S x i n  由 ( ) 隐 含 着 在 内 节 点 上 应 有10 0 11 1 2113 ( ) [ , ]( ) [ , ] ;( ) [ , ] ;()( ) [ , ] ;n nS x x xS x x x xS x x x x x x x  由 ( ) 在 每 个 上 表 达 式 不 同 , 故 应 分 段 构 造 :( ) 4S x 造 需 要 个 条 件3 ( 1 )n  个 条 件数值分析数值分析000( 0 ) ( 0 )'(30 ) ' ( 0 )" ( 0 ) " ( 0 )x S xS x S xS x S x      ( ) 周 期 边 界 条 件00'( ) '( ) , '( ) ' )1(x f x S x f x常 见 的 边 界 条边 界 条 件( ) 给 定 端 点 一件 有 以 下 三 种 :称 为 固 定 边阶 导 数 值界 条 件 。000" ( ) " ( ) " ( ) " ( )" ( ) 0 ( ) 02"x f x S x f xS x S x,特 别 , 当( ) 给 定 端 点 二 阶 导 数 值和 , 称 为 自 然 边 界 条 件 。数值分析数值分析() 三 次 样 条 插 值 函 数 的 基 本 方 法(1) 三 转 角 插 值 法 (2) 三 弯 矩 插 值 法以 下 面 问 题 为 例 介 绍 三 转 角 插 值 法 和 三 弯 矩 插 值 法 ( ) ( 0 , 1 , .. ., )'( ) , '( )()( ) ( 1 , 2 , .. ., 1 )( ) , ( ) '( ) ( 0 , )j j jy f x i nf x f x y i nS x y S x f x j n    对 于 分 划 已 给 相 应 的 函 数 值以 及 边 界 点 上 的 一 阶 导 数 值 个 三 次 样 条 函 数 使 之 满 足问 题数值分析数值分析二、三转角方程求解法' ' '''1 ( ) ( ) ,( , )i i i ii i i iy f x S x mm y m y( ) 未 知 , 但 可 设三 转 角 法 的 基 本 思只 是想111 1 12 [ , ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.i i i i i i i x x He rm i t eS x h x y h x y h x m h x      ( ) 如 能 求 出 , 则 可 在 上 构 造 三 次插 值 函 数共 有 个 待 求数值分析数值分析4, ( 0 , 1 , 2 , .. ., )im i n( ) 再 由 三 转 角 方 程 边 界 条 件 ( 补 充 两 个 方 程 )封 闭 的 方 程 组 , 可 求 出' ' ' '1( 3 )( ) ( ) , 1 , 2 , . . . , 111ii i i x S x i  如 何 求 ?利 用 在 节 点 上 二 阶 导 数 连 续 的 条 件由导 出 三 转 角 方 程 ( 个 方 程 要 解 个 未 知 数 )数值分析数值分析' ' '111 1 1( ) , ( , )[ , ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.i i i i i ii i i i i i i iS x m m y m ym x xH e rm x h x y h x y h x m h x m       设 只 是如 果 已 知 , 则 在 每 个 小 区 间 上 , 可 构 造 两点 三 次 插 值建 立 三 转 角 方 程11( ) , ( ) , ( ) , ( )x h x h x h x H e r m i t e 为 插 值 基 函 数2 211311( ) [ 2 ( ) ]( ) 1 2 i i i i i i i ix x x x x x h x x x x h               211 3( ) ( 2 ( ) )() i i x h x   22111( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )i i i x x x x x x xh x h     ,数值分析数值分析1,于 是 , 在 [] 上22111332211122( ) ( 2 ( ) ) ( ) ( 2 ( ) )()( ) ( ) ( ) ( )i i i i i ii i i i x h x x x x h x xS x y x x x x x x         " 111221136 2 4 6 4 2()6 ( 2 )()i i i ii i x x x x xS x m x    求 二 阶 导 数 有数值分析数值分析1" 1111 221111316 2 4 6 4 2()6 ( 2 )()[ , ]i i ii i x x x x xS x m x    同 理 , 在 也 可 以 得 到"" 11 , 2 , , - 1 ( ) ( )i i i i ii n S x S ( ) 上 , 由在 内 节 点1111 221 1 11 1 1 12 ( ) 3 ( )i i i ii i ii i i i i iy y y ym m mh h h h h h         1 1 1 12 3 ( , , )( 1 , 2 , , 1 )i i i i i i i i i i im m m f x x f x        化 简 整 理 得 到 三 转 角 方 程111,1i ii i i h h h   其 中 数值分析数值分析' ' ' '00''00 ,( ) ( )x y S x  这 时 , 得 到 方 程 组2. 加 边 界 条 件 构 造已 知 两 端 点 一 阶 导 数闭 方值 和封 程 组            112222 221 1'1 0 1 1 1 2 1 02 1 2 2 2 32 3 2 2 2 11 2 1 1 122223 ( , , )3 ( , , )3 ( , , )3 ( , , )n nn n n n n nn n n n n x x f x x yf x x f x xf x x f x xf x x f x x                    '1数值分析数值分析4, ( 0 , 1 , 2 , . . . , )iM i n( ) 再 由 三 弯 矩 方 程 边 界 条 件 ( 补 充 两 个 方 程 )封 闭 的 方 程 组 , 可 求 出'' '' '''' ''1 ( ) ( ) ,( , )i i i ii i i iy f x S x MM y M y三 弯 矩 法 的 基 本 思 想( ) 未 知 , 但 可 设只 是2 ( ) .i i y S x( ) 如 能 求 出 , 则 可 由 和 构 造''1 ( ) ( ) , 1 , 2 , . . . , 111i i i iS x S x i   可 利 用 在 节 点 上 一 阶 导 数 连 续 条 件由导 出 三 弯 矩 方 程 ( 个 方 程 要 解 个 未 知 数 )( 3) 求 ?三 、 三 弯 矩 方 程 求 解 法数值分析数值分析11(1 , , ,) , ,i i i i ii i i i i iS x xa b c 在 中( ) 建 立 和 之 间 的 关 系代 入 两 个 端 点 和 并 记得 到132[]( ) ( ) ( ) ( )( 0 1 1 ), , , 41i i i i i i ii i i x a x x b x x c x x b c d n       、 建 立 三 弯 矩 方 程在 , 上 , 三 次 样 条 函 数 可 表 示 为, , ,其 中 是 四 个 待 定 系 数 。 ( 共 有 个 待 求 系 数 )"" ( ) ( 0 1 )1i i i x M i n M  设 , , , , , ,共 有 个 待 求 。数值分析数值分析11323211( ) , ,( ) ( ) ( ) ( )()1 , , ,i i i i i ii i i i i i i i i i i i i ii i i ii i i ii i i i x x x h x x a x x b x x c x x d x a h b ha b             在 中 代 入 两 个 端 点 和 并( ) 建 立记和 之 的 关 系得 到间211()' ( ) 3 ( ) 2 ( )" ( ) 6 ( ) 2" ( ) 6 ( ) 2 2" ( ) 6 2ii i i i i ii i i ii i i i i i i ii i i i i x a x x b x x cS x a x x x a x x b x a h b            对 求 导于 是数值分析数值分析11111( ) / 6/226,,i i i i i i i i i i i i i M y h M h y y a b c d得 到以 上 得 到 用 和 表 示 系 数 , , ,的 关 系 式 。( 2)构造三弯矩方程2( )[ , ]1' ( ) 3 ( - ) 2 ( - ) x a x x b x x ci i i i i i  利 用 在 内 节 点 上 一 阶 导 数 连 续 的 条 件 ,在 区 间 上数值分析数值分析( 2)构造三弯矩方程2( )[ , ]1' ( ) 3 ( - ) 2 ( - ) x a x x b x x ci i i i i i  利 用 在 内 节 点 上 一 阶 导 数 连 续 的 条 件 ,在 区 间 上21 1 1 1 11 1 11''( - 0 ) ( 0 )'' ( ) ( )3 2, , , i i ii i i i i ii i i ii i i x S xS x S xa h b h c ca b c c      在 节 点 上 应 有 ,即 , 得 到将 前 已 得 到 的 和 的 表 达 式 代 入 上 式 有1'21 1 1 1 1 1[ , ]( ) 3 ( - ) 2 ( - )i i i i x a x x b x x c       在 区 间 上数值分析数值分析11- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1- 1 - 1- ) - 2i i i i i i i i i i i y h M h h y y h M h   1 1 1 1 1 12 6 ( , , )( 1 , 2, , 1 )i i i i i i i i i i i h h M h M f x x f x x                ( + )化简后得到三弯矩方程0 0 1 1 0 11 1 2 2 1 22 2 1 1 12 ( )2 ( )2 ( )n n n n n nh h h h M gh h h h M gh h h h M g                                      11三 弯 矩 方 程 组 共 个 方 程 要 解 个 未 知 数 , 是 不封 闭 的 方 程 组 , 要 求 解 必 须 补 充 边 界 条 件 ' ' '00( ) ( )x y S x y已 知 两 端 点 一 阶 导2. 加 边 界 条 件 构 造 封 闭值 和方 程 组数 [ , ]01'2( ) 3 ( - ) 2 ( - )0 0 0 0 0 0- ( 2 )'' 1 0 0 0 1( ) 0 060'2 6( , - )0 0 0 1 0 1 0x a x x b x x cy y h M x h M f x x y    在 上得 补 充 方 程 [ , ]1'2( ) 3 ( - ) 2 ( - )1 1 1 1 1 1' ' 2( ) 3 21 1 1 1 1 1x a x x b x x cn n n n n x a h b h cn n n n n n n               在 上数值分析数值分析'1 1 1 12 6 ( , )n n n n n n na b h M y f x x      n - 1 n - 1 n - 1代 入 系 数 ,, 后 整 理 可 得 补 充 方 程'0 0 0 1 0 1 0 01 1 1 111'1 1 1 12 6 ( , )2 ( )6 ( , , ) ( 1 , 2, , 1 )2 6 ( , )ii i i i i i ii i i i in n n n n n n h M f x x y h h M h Mf x x f x x g i h M y f x x                          将 以 上 求 解 的 方 程 合 在 一 起 , 得 方 程 组数值分析数值分析即 :0000110 0 1 1112 2 1 11122 ( )2 ( )2n n h h h h g                              数值分析数值分析320 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1321 1 1 1 1 1 1 1 , 1 2321 1 1 1 1 1 1, , ,()( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] ;( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] ;( ) ( ) ( ) ( )3. ( )i i i i in n n n n n n nM a b c x a x x b x x c x x d x x xS x a x x b x x c x x d x x xS x a x x b x x c x                           由三 次 样 条 插 值 函 数计 算 , 就 可 得 到 分 段 三 次 样 条 插 值函 数 是 :1,1[ , ] ;x x数值分析数值分析401[ , ] , [ , ],()na b a ba x x x x C    插 值 区 间 的一 个 剖 分 是 设 被 插 值 函 数S ( ) 是 满 足 第 一 类 或 第 二 类 边 界 条 件 的 三 次 样 条插 值 , 则 在 插 值 区 间 上 有 估 计 式( ) ( ) 4 ( 4 )( ) ( ) ( )( 0, 1 , 2 )k k x S x c h f 1 0 1 215 1 3( ) , , ,3 8 4 2 4 8x x c c c      0其 中 h = m a 条插值的收敛性数值分析数值分析 500 . 20 . 40 . 60 . 810 阶导数精确结果样条结果 5 . 500 . 511 阶导数精确结果样条结果 5 . 5 . 500 . 512 阶导数精确结果样条结果 5)y0=x,y,y0=x,y,( 2) y0=x,y,(一维 )( 3) pp=x,y);( 结构数组 )y0=pp, x0, 系数 )pp,n), a) 求导数a,b])*[] 求积分n),绘图( 4) pp=x,y,'边界条件选项 ');( 5) pp=x,y);演示程序 例 】 根据连续时间函数的采样数据 , 利用 并检查重构误差 。t=;w=t));N0=t);tt=t(1),t(10*ww=t,w,))tt,b');t,w,''r'); 500 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91数值分析数值分析【 例 】 对于函数 , 很容易求得。 本例将借此演示样条函数求数值不定积分 、 导函数的能力 。xy s   x c o i n)(xy c ( 1) 不定积分样条函数 、 导数样条函数的求取和精度分析 。x=(0:)*2*pi;y=x);pp=x,y);%0:)*2*pi;pp,)(1)))2) 不定积分样条函数 、 导数样条函数的使用% 计算 y(x)在区间 [1,2]1,2])*[];1))-(1));%计算 )/););))/3) 绘制三个样条函数的图形;m:'),;y(x)','S(x)','dy/0 1 2 3 4 5 6 7 . 500 . 511 . 522 . 5y( x ) S ( x ) d y/ d 2084数值实验题五 0)
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