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数值分析(14)分段低次插值

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数值分析课件
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数值分析数值分析我们已经知道插值有多种方法: 值、 值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段,而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么,是否插值多项式的次数越高,越能够达到这个目的呢?现在我们来讨论一下这个问题。第四节 分段低次插值数值分析数值分析我们已经知道: f(x)在 n+1个节点 xi(i=0, 1, 2,… , n) 上的 n (x) 的余项设想当节点数增多时会出现什么情况 。 由插值余项可知 , 当 f(x)充分光滑时 , 若余项随 时 ,这说明可用增加节点的方法达到这个目的 , 那么实际是这样吗 ?)!()()()()( )(  ) ( ) x f x 是否有 ,即要讨论收敛性问题。数值分析数值分析插值节点的增多 ,尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数 f(x) 的值相等 ,但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人 ,著名的龙格 (象证实了这个观点 1901年龙格 (给出一个例子 :201( ) ( 1 1 ) ,1 251 ( [ 1 , 1 ] ) ,( ) ( )x l       对 于 函 数 取 等 距 节 点即 将 区 间 进 行 等 分 得 到龙格 (象数值分析数值分析插值多项式情况 , 见图 :取 n=6和 n=10从图中可见, x)仅在区间 [能较好地逼近 f(x),而在其于位置 , x)与 f(x)的值相差很大 ,越靠近 端点 ,近似的效果越差 高次多项式插值发生的这种现象称为龙格现象 象表明插值多项式序列不收敛,实际上,严格的理论分析可知 插值多项式序列确是不收敛的,而且高阶插值还是不稳定的。数值稳定性从计算的数值运算误差看 ,对于等距节点的差分形式 ,由于高阶差分的误差传播 ,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差 ) s )x y xe x x L x  用0 上的5 个等距点对函数 进行插值估计。误差函数定义为例:01;n=5;x=0:pi;y=x);z=0*x;:pi;y0=y1=x0,y0,x);100;:;*z1;x,z,'k',x1,k',x,b',x,y,'r')e(x)*100'),x)')数值分析数值分析数值分析数值分析可以观察到误差曲线是震荡的,在接近端点的区间上最大,这种误差特性在等距多项式插值中非常典型,实际上,误差分布形状上的变化还取决于被插函数的性质以及插值区间的大小 |( 1 )0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()( 1 ) !x f x L x L x fx x x x x x x      分 析 值 的 误 差 :其 中( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) m )x L x f L x f数值分析数值分析2 . [0 , ] , 5w u c h m : 等 距 节 点3 . [0 , ] , 52w u c h m : 等 距 节 点4 . [0 , ] , 7w u c h m : 等 距 节 点5 . [0 , ] , 7w u c h m : 个 降低误差的三条途径数值分析数值分析n)m=101;x=(1;y=1./(1+x.^2);z=0*x;1:2/(1;./(1+2);y1=x0,y0,x);100;n)));./(1+2);y2=x);100;.2;*z1;x,z,'k',x1,k',x,b',x,r')),)n=11总结:( 1)建议尽可能在小区间上使用多项式插值。( 2)只能在一定范围内依靠增加插值点个数提高插值精度,如果插值点个数过多往往会适得其反。数值分析数值分析数值分析0( 1 )0110111( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )( 1 ) !m ) ( ) ( )( 1 ) !nn k x l x yR x f x L x x x x x x x x h e by sh v        插 值 多 项 式误 差 余 项 估 计 是零 点 插 值 ( 插 值 极 小 化 方 法 )数值分析数值分析数值分析 尽可能的小使得如何选取节点在)())((m ,1,0]1,1[1011.)())((m ,2,1,0(,)1(212c 1011)0(1最小作为插值节点,就使个零点的取最小。次多项式中对零的偏差的是所有首多项式的多项式的性质:首由e b y s h e e b y s h e )(11( ) 2 ( )x T x数值分析数值分析数值分析a gr a n g 2)!1()()()()()(2)()())((m a ()0(1)0(011的插值误差余项是多项式插值节点的插值的零点作用因为 数值分析数值分析数值分析),2,1,0()1(2)12(c [)(]1,1[)2(1,22],[1的插值节点上的零点换成上将区间变量代换时,需要作区间当插值区间是任意有限数值分析数值分析数值分析3( ) ( )[ 0, 1 ] ( )x e f x 设 , 用 插 值 极 小 化 方 法 , 求在 上 的 三 次 插 值 多 项 式例。1 [0 , 1 ] [ 1 , 1 ]2x 作 变 量 替 换 (t+1) , 将 变 换 到解 : ,0 1 2 31 1 ( 2 1 )c 0, 1 , 2, 32 2 2 ( 1 )0. 96 16 9, 0. 96 13 4, 0. 30 86 5, 0. 03 80 6x x x     取 插 值 节 点233 ( ) 0 . 9 9 9 7 7 0 . 9 9 2 9 0 0 . 4 6 3 2 3 0 . 1 0 2 4 0P x x x x   利 用 这 些 节 点 构 造 插 商 表 , 由 牛 顿 插 值 公 式 得数值分析数值分析因此实际应用中常采用分段低次插值。( 1)分段线性插值( 2)分段二次插值与分段三次插值( 3)分段 ) 分段三次样条插值因此,实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢?数值分析数值分析定义 设 f(x)是定义在 [a,b]上的函数,在节点a= x1<
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