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数值分析(13)Hermite插值

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数值分析课件
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数值分析数值分析一 、 y=f(x)是 在 [a,b]上有一定光滑性的函数 ,在 [a,b] 上有 n+1个互异点 xo…x n, f(x)在这些点上取值..y p(x)在上面 n+1个点上满足 p(yi i=0,1,…,n 如果除了知道 f(x)在插值节点上的取值外 ,还知道 f(x)在插值节点 ≤mi≤何来构造插值函数呢 ? 三节 带导数条件的 它要构造一个插值函数 ,不但在给定节点上取函数值 ,而且取已知微商值,使插值函数和被插函数的密和程度更好 。数值分析数值分析010 1 2()0 0 0()1 1 1()( ) 1, , ,( ) , '( ) , , ( )( ) , '( ) , , ( )( ) , '( ) , , ( )( 0, 1 , 2, , )n x nx x x xf x f x f x f xf x f i 插 值 的 一 般 提 法 如 下给 出 函 数 在 个 互 异 节 点 上 的 函 数 值 及 若 干导 数 值 , 设 插 值 节 点 为 。 给 出其 中 是:正 整 数 。011n x  以 上 总 共 有 个 插 值 条 件 , 要 求 构造 不 低 于 次 插 值 函 数 ( ) 满 足 以 上 插 值 条 件 。数值分析数值分析''0 0 1 ' 0 21 1 0 ' 1 1 0 1 4 0 H H       求 一 个 四 次 插 值 多 项 式 ( ) , 使时 , ( ) , ( ) ;时 , ( ) , ( ) , ( )例012121211 , ,( ) ' '( ) ( 0, 1 , 2, , )2 1 ( )()0 1 2' ( ) 'ni i i i in i rm it en x x xy f x y f x i xH x x y  插 值 中 , 最 基 本 而 重 要 的 情 形 是 只 要 求一 阶 导 数 的 条 件 。 给 出 个 互 异 节 点 上的 函 数 值 和 导 数 值和构 造 不 低 于 次 插 值 多 项 式 , 要 求 满 足插 值 条 件, , ,数值分析数值分析二、 0 1 2' ( ) 'n i in i iH x x y使 其 满 足 插 值 条 件, , ,21001( ) ( ) ( ) 'i i x h x y h xL a ng e、 型 插 值 基 函 数 法设 值 多 项 式 为数值分析数值分析( 1 ) ( ) 2 11( 2 ) ( )0' ( ) 0 ( 0 1 2 )()x j n  应 是 次 多 项 式 ;, , , ,足 条 件 :,应 满( 1 ) ( ) 2 11( 2 ) ' ( )0( ) 0 ( 0 1 2())ii j x x i j   应 是 次 多 项 式 ;, , ,足 条 件,满,应 :21002100( ) ( ) ( ) '' ( ) ' ( ) ' ( ) ' 'j i j i j i j i j i i j i x h x y h x y yH x h x y h x y y    数值分析数值分析()( 1 ) ( ) 2 111( 2 ) ( )) ( ) ( 00' ( ) 0 ( 0 1 2, 1 , 2, , ))j x x  应 满 足 条 件 :应 是 次 多 项 式 ;, , , , ,构 造0()2( ) ( )( ) ( ) ( )a g ra l x a x b l x利 用 插 值 基 函 数设2' 2 '( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0ii i i i ii i i i i i i ih x a x b l xh x a l x a x b l x l x      由 条 件 (2) 可 列 出 方 程 组数值分析数值分析'( ) 1 , 1 , 2 ( ) 0i i i i il x a x b a l x      '2'00( ) ( )( ) ( 1 2 ( ) ( ) ) ( )( 0 , 1 , 2 , )1( ) ( ) , ( ) ( )i i i i i i j i jj i j ih x x x l x l x l xx x x x  所 以其 中''2 ( )1 2 ( )i ia l xb x l x  解 出2' 2 '( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0ii i i i ii i i i i i i ih x a x b l xh x a l x a x b l x l x      由 条 件 (2) 可 列 出 方 程 组数值分析数值分析()( 1 )2)( ) 2 11( 2 ) ' ( )0( ) 0 ( 0 1 2( ) , ( 0), 1 , 2, , )j x x i x i j n 应 满 足 条 件 :应 是 次 多 项 式 ;, , , , ,构 造2( ) ( ) ( )i ih x c x d l x设22'( ) ( ) ( ) 0' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 1i i i i ii i i i i i i i ih x c x d l xh x c l x c x d l x l x     由条件(2)可列出方程组数值分析数值分析21'20( ) ( )()[ ( 1 2 ( ) ' ( ) ) ( ) ] ( )i i i i i x h x l x y x x y l x    代入 和 经整理得到2( ) 1 , 0, 11( ) ( ) ( )i i x c x d x x x l x     解 出于 是 求 出22'( ) ( ) ( ) 0' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 1i i i i ii i i i i i i i ih x c x d l xh x c l x c x d l x l x     由条件(2)可列出方程组数值分析数值分析01' '01,() ()[ , ] l i m [ , ] l i 1 !x x x xf x x f x x  类 似 地重 节 点 差 商01()01[ , , , ]()[ , , , ]!x x x x 对 差 商 中 , 若 有 某 些 节 点 相 重 ,由 可 定 义 重 节 点 差 商000'0000 0 0 '''00( ) ( ) )[ , ] , ]()() )1 ! 1 !x f x x f x 如 : 对2 、 N e w t 式的 He r mi t e 插值多项式 数值分析数值分析0101, , ,1() (), [ , , , ] l i m [ , , , ]() ()x x f x x x f x x xf       个由 此 可 得 到 一 般 重 节 点 差 商 的 表 达 式考虑 在 22 n  个互异节点 0 1 2 1,, nz z z  的 N e w t 插值多项式 212 1 0 0 1 0 11( ) ( ) [ , , ] ( ) ( )nn j x f z f z z z x z x z    2 2 1 ( 0 , 1 , , )i i iz z x i n   22 1 0 0 0 0 0 0 0 1220 1 0 0( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ]( ) ( ) ( ) [ , , , ]nn n n nN x f x x x f x x x x f x x xx x x x x x f x x x x          取得数值分析数值分析He rm it e 插 值 误 差 分 析( 2 2 )22 1 2 1001( ) [ , ] , 2 21()( ) ( ) ( ) ( )( 2 2 ) !, , ,n nn n x C a b a b e rm it x f x H x x x x   设 , 且 在 ( ) 上 存 在 次导 数 , 对 于 个 互 异 节 点 上 的 插 值 函 数 ,有 如 下 误 差 估 计 式其 中 是 介 于 中 最 小 数 和 最 大 数 之 间 。2 1 0 12 2 22 1 0 1( ) 1 , , ,( ) ( ) ( ) ( )()x n x x xR x K x x x x x x t   因 有 个 零 点 , 故 设( )构 造 以 为 参 变 量 的 辅 助 函 数证 明 :数值分析数值分析2210( ) ( ) ( ) ( ) ( )t f t H t K x t x   2221222210()( 2 2 ) !()()( ) ( )( 2 2 ) !x x ( )( )由 此 求 出 ( )代 入 的 表 达 式 即 得 到1'2 2 2 2( ) 2( ) 2 2 ( ),( ) ( ) 0 ( ) ( 2 2 ) ! 0t t n x x x xF t t n f K x n    0( ) ( )关于 有 个零点: , , , , 。但 关于 有 个零点,由 罗尔 定理必存在点 ( ),使数值分析数值分析''1 2 1 2 1 233''33 1 1 2 2 1 1 2 2321 1 1 1 12,,1 , 21 , 2( ) ( ) ( ) ' ( ) '( ) 1 2( ) 1x y y y rm it e H xH x y iH x y iH x h x y h x y h x y h x rm it e H xh x x x l x l      在 节 点 和 上 已 知 和 。试 构 造 两 点 三 次 插 值 多 项 式 ( ) 满 足 条 件( )( )( )由 插 值 基 函 数 的 一 般 形 式 , 用 于 两 点 三 次 ( )上 , 有 ( ( ) ( ) ) ( )解(例:22 2 2 221 1 122 2 22()()x x l x l xh x x x l xh x x x l x( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )'2111 2 1 2'1222 1 2 11( ) ( )1( ) ( )x l xx x x x l xx x x x其 中 ,,数值分析数值分析221 2 21 1 12 1 1 2 1 2222 1 12 2 21 2 2 1 2 1( ) 1 2 ( )( ) 1 2 ( )x x x x x xh x h x x xx x x x x xx x x x x xh x h x x xx x x x x x              代 入 后 得 到( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )1 2 1 21222314211( ) m ) m )4!1m )4 ! 2ix x x x x x xR x f x x x      ( 4 )( 4 )其 中2231()( ) ( )4! x x x ( 4 )数值分析数值分析数值分析数值分析H e rm 不 完 全 形 式 的 插 值 多 项 式44 4 4''44( ) ,( 0 ) 0, ( 1 ) 1 , ( 2 ) 1 ,( 0 ) 0, ( 1 ) 1 ,H e rm i t  试 构 造 一 个 不 高 于 4例 : 次 的 插 值 多 项 式使 其 满 足 条 件4''014 0 0 1 1 2 2 0 1( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x h x y h x y h x y h x y h x y    用 值 基 函 数 法 构 造 设解 :'00'14 1 1 2 2 10( ) ( ) ( ) ( )x h x y h x y h x y   数值分析数值分析,,014 0 0 1 1 2 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x h x y h x y h x y h x y h x y    010 0 1 0 2 0 0 0( ) 1 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0h x h x h x h x h x    010 1 1 1 2 1 1 1( ) 0 , ( ) 1 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0h x h x h x h x h x    010 2 1 2 2 2 2 2( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 1 , ( ) 0 , ( ) 0h x h x h x h x h x    ,,' ' ' ' , ,014 0 0 1 1 2 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x h x y h x y h x y h x y h x y    ,,' ' '010 0 1 0 2 0 0 0( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 1 , ( ) 0h x h x h x h x h x    ,,' ' '010 1 1 1 2 1 1 1( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 1h x h x h x h x h x    数值分析数值分析11( 0 ) ( 2 )( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( )( 1 0 ) ( 1 2 )x l x x ax b x ax b     设'111( 1 ) 1 , ( 1 ) 020 由 得1 , 2  221 ( ) ( 2 )h x x x  2222( 0 ) ( 1 )( ) ( ) ( )( 2 0 ) ( 2 1 )x l x 设''1 1 1 1 11( 0) 0 , ( 1 ) 1 , ( 2( 1 )) 0 , ( 0)(0 , ( 1 ) 0),h h h h    为 四 次 多 项 式 且 满 足''2 2 2 2 22( 0) 0 , ( 1 ) 0 , ( 2( 2)) 1 , ( 0)(0 , ( 1 ) 0),h h h h    为 四 次 多 项 式 且 满 足222 2 21( 2) 1 , ( 2) 1 1 , ( ) ( 1 )4h l h x x x     由 得数值分析数值分析,,1 1 1 1 11( 0 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 2( 3 )) 0 , ( 0 )(0 , ( 1 ) 1),h h h h    为 四 次 多 项 式 且 满 足21 ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )h x x x x   设, 211( 1 ) 1 1 ( ) ( 1 ) ( 2 )h h x x x x       由 得 , ,14 1 1 2 2 12 2 2 2 222( ) ( ) ( ) ( )1( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )41( 3 )4H x h x y h x y h x yx x x x x x         ( 5 )224()( ) ( 1 ) ( 2 )5!fR x x x x  误 差 余 项数值分析数值分析H e r m 节 点 差 商 构 造 插 值 。0 0 1 ' 0 21 1 0 ' 1 1 0 "( 1 ) 4 0 H H       求 一 个 四 次 插 值 多 项例 式 ( ) , 使时 , ( ) , ( ) ;时 , ( ) , ( ) ,并 写 出 插 值 余 项 的 表 达 式 。0 1 1()0 1 11()[ ] , , , , ]!x x x x x f x x x       , , ,, , ,011由 于 在 处 有 一 阶 导 数 值 的 插 值 条 件 , 所 以 它 是“ 二 重 节 点 ” ; 而 在 处 有 直 到 二 阶 导 数 值 的 插 值条 件 , 所 以 是 “ 三 重 节 点 ” 。 因 此 , 利 用 重 节 点差 商 公 式 可 以 作 出 下解 :列 差 商 表 。数值分析数值分析x i y i 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商0 1 1 31 0 10 9 61 0 10 40 / 2 ! = 20 11 52 2 2 2( 5 ) 2 31 2 3 6 ( 1 ) 5 ( 1 )1( ) ( ) ( 1 ) 0 1 ,5!()N e nH x x x x x x xR x f x           根 据 插 值 公 式 , 插 多 项 式 为( )且 插 值 余 项 为,其 中 是 被 插 函 数 。数值分析数值分析习题五 13(用重节点差商法)
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