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数值分析(12)Lagrange插值与Newton插值

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数值分析数值分析插值问题与拟合问题如果可以将一个实际问题用函数来描述,那么对这个函数性质以及运算规律的研究,就是对这一实际问题的某些内在规律的理性揭示。在工程实践和科学实验中,经常需要建立函数关系,即 y=f(x)。虽然从原则上说,它在某个区间[a,b]上是存在的,但通常只能观测到它的部分信息,即只能获取 [a,b]上一系列离散点上的值,这些值构成了观测数据。这就是说,我们只知道一张观测数据表,数值分析数值分析而不知道函数在其他点 时只能用一个经验函数 y=g(x)对真实函数 y=f(x)作近似。xi x0 f(f(… f(面两类方法常用来确定经验函数 y=g(x)( 1)插值法 ( 2)拟合法根据问题的不同,有时要用插值技术来解决,有时则应该采用拟合的方法才合理。数值分析数值分析已知数据表( 1)插值法的基本思想求一个经验函数 y=g(x),使 g(f( i=0,1,…x0 f(f(… f(值的任务 就是由已知的观测点 (xi,物理量 (未知量 ),建立一个简单的、连续的解析模型 g(x) ,以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性 。o ● ●●x2 y2 f(x)g(x)数值分析数值分析机翼断面的下轮廓线如图所示,下表给出了下轮廓线上的部分数据。用程控铣床加工时,每一刀只能沿 如,如果工艺要求铣床沿 时就需要求出当 完成加工所需的数据,画出曲线。问题 1:机床加工 3 5 7 9 11 12 13 14 15 2)拟合法的基本思想已知数据表2()( ) ( ) ) m i g xg x f x=0求 一 个 经 验 函 数 , 使(o ●●●(y0)x1 x2 xn(y1)x0(y2)y=g(x)xi x0 f(f(… f(值分析数值分析在水文数据的测量中,不同水深的流速是不同的。水文数据的测量是天天进行的,为了减少测量的工作量,希望确定水深和流速之间的关系。为此测量了一系列不同水深和流速值,下表给出了对某河流的测量数据问题 2:水深和流速的关系水深 数插值第一节 插值基本问题第二节 两种基本的代数插值第三节 带导数条件的 段低次插值第五节 样条插值数值分析数值分析插值法 :由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点 ... , 的值 … , y n ,构造一个简单函数 F(x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式y= f(x)  F(x)使 F( F( , F( (a)这类问题称为 插值问题 。 f(x) 称为 被插值函数 , F(x)称为 插值函数 , ... , 为 插值节点 。(a)式称为 插值条件 。第一节 插值基本问题数值分析数值分析插值函数的类型 ()n x ni i=0在 函 数 空 间 中 取 插 值 函 数 .   211 1 0( ) 1 , , , ,( ) ( )p a n x s p a n x x xF x P x a x a x a x a    ni i=0 ,插 值 函 数 为=代 数 插 值 :  ()1 , s i n , c o s , s i n 2 , c o s 2 , , s i n , c o ss p a n xs p a n x x x x n x n xni i=0取角 插 值 :=三 s c o s ,( ) s in c o ss p a n x xF x a x b x例 取:( ) , ( ) ( )iF x F x c x   即 :数值分析数值分析 ( ) s i n 1 , , s i n ,F x a b x c x s p a n x x     例 :()()() 插 值 : =20 1 2230 1 2 3() a a x a b b x b x b x   例 :( ) ( )iF x c x 一 般 地 :数值分析数值分析当插值函数是代数多项式时,插值问题称为 代数插值 。设 ,x n 是 n+1个互异节点 ,函数 f(x)在这组节点的值 yk=f(k=0,1,… ,n)是给定的,那么存在唯一的 次数 ≤ 项式 x)满足 k=0,1,… ,n。设 Pn(x)=a0++ (1)求次数 ≤n(x),使满足插值条件Pn( i= 0,1,2,… , n, (2)代数插值数值分析数值分析由插值条件 (2)知 Pn(x)的系数满足下列 n+1个代数方程构成的线性方程组a0+ …+a y0 a0+ …+a ……………… …+a i=0,1,2,…, n)的系数行列式是 02n 11 1 10 1 n . . , , , ) ( ) ( 4 ).. . .. . .. . .. . .. . x xx x xx x x x  (3)数值分析数值分析由于 以 (4)右端不为零,从而方程组 (3)的解 …a n 存在且唯一。2 02n 11 1 10 1 n . . , , , ) ( ) ( 4 ).. . .. . .. . .. . .. . x xx x xx x x x  但遗憾的是 方程组 (3)是病态方程组 ,阶数 ,病态越严重 。为此我们从另一途径寻求获得 Pn(x) 的方法 这两种方法称为基函数法)证毕插值误差0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x f x F x f x c x    数值分析数值分析第二节 两种基本的代数插值线性插值 (n=1) 求次数 ≤ 1 的多项式 L1(x)1( L1(101 0 010011 0 10 1 1 0( ) ( )()x y x x y yx x x x  点 斜 式对 称 式y=f(x)y=L1(x)x0 x1 格朗日插值数值分析数值分析0 1 0 1( ) ( ) ,l x l x x 为 以 为 节 点 的 插 值 基 函 数01010 1 1 0( ) , ( ) x l xx x x x记1 0 0 1 1( ) ( ) ( )L x l x y l x y0 0 0 11 0 1 1( ) 1 ( ) 0( ) 0 ( ) 1l x l xl x l x011 0 10 1 1 0() x y yx x x x数值分析数值分析令 L2(x)=l0(x) l1(x) l2(x)l0(x), l1(x), l2(x)是二次多项式,且满足1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , l2(0 , l2(0 , l2(1 n=2) 求次数 ≤ 2 的多项式 L2(x),使其满足条件 L2( L2( L2(x)含有 个因子,令 x)=λ(利用 1 确定其中的系数 λ,得到:数值分析数值分析类似的可以得到 l1(x), l2(x)0211 0 1 2( ) ( )()( ) ( )x x x x x x0122 0 2 1( ) ( )()( ) ( )x x x x x xl0(x) , l1(x) , l2(x) 称为以 值基函数 。0 2122 0 101 2 20 0 1 10 120 122) ))) ((((())) ) )( ( ( () )(() )((x x y x xx x x xx    1200 1 0 2( ) ( )()( ) ( )x x x x x x数值分析数值分析0,()1,j  0 1 10,0 1 1( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )nj j n i jj j j j j j n x x x x x x x x x x x x x x         令 Ln(x)=l0(x) l1(x)… +ln(x)n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n )使其满足条件n 次插值多项式 :求次数 ≤n(x), 使其满足Ln( Ln( ...... , Ln(.(7)容易求得lj(x)(j=0,1,…,n )称为以 .. , 数值分析数值分析000 1 1 10 0 1 1 100( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) .. .( ) ( ) .. .( )( ) ( ) .. .( ) ( ) .. .( )()j j j j j j j j x x x x xx x x x x x x x x x x x          将 代 入 得....(9)公式( 9)就是 特点:构造容易, 增加节点要重新计算,不适合编程计算。实际应用中只用低次插值。数值分析数值分析定理 5设 Ln(x)是过点 …x n的 f(x)的n 次插值多项式, f(x) ∈ [a,b] ,其中 [a, b]是包含点 …,x 对任意给定的x[a, b], 总存在一点 ( a, b)(依赖于 x)使( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nR x f x L x    1 0 1( ) ( ) ( ) . . . ( )x x x x x x     10)其中罗尔定理 设 f(x)在 [a,b]内连续,在 (a,b)内可导,且有f(a)=f(b);则在 (a,b)内一定存在一点 ξ,使得 f’(ξ)=0。数值分析数值分析证明 : 显然 Rn( =f(Ln(0 , i=0,1,…,n,现在任意固定一点 x∈ [a,b], x≠ (i=0,1,…,n ),设 Rn(x)=K(x) n+1(x),引进辅助函数g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x)n+1(t), (*)则 g(t)在 [a,b]上具有 n+1阶连续导数,在 t= , x 诸点处函数值皆等于零。即 g(t)在 [a,b]中有 n+2个零点。由 罗尔定理 知 g’(t)在 [a,b]中有 n+1个零点。如此反复,最后可推知 g(n+1)(t)在 [a,b]中有 1个零点 ,即有 g(n+1)( )=0, 步长。记 fi=f( (i=0,1…,n )⊿ fi= 称为 f(x)在点 - ⊿ f(x)在点 定 ⊿ 0 f(x)在点 距节点的 f(x)= xi=i (i=1,2,…,n ), 求 ⊿ nf((i=1,…,n n≥3解: ⊿ f(f()-f((i+1)2i+1⊿ 2f(= ⊿ f()- ⊿ f(2(i+1)+1-(2i+1)=2⊿ 3f(= ⊿ 2f()- ⊿ 2f(= 2⊿ nf(0 n≥3定义 5前差分) 设有等距节点 xi=x0+ih(i=0,1,…,n) ,其中 h>0 是步长。记 fi=f( (i=0,1…,n )⊿ fi= 称为 f(x)在点 - ⊿ f(x)在点 定 ⊿ 0 f(x)在点 值分析数值分析定义 5向后差分 )设节点 xi=x0+i=0,1,…,n ),其中 h>0 是步长。记 fi=f( (i=0,1…,n )▽ fi= 为 f(x)在点 ▽ 为 f(x)在点 定 0 f(x)在点 : ▽ f( f( f(=2f(x)= xi=i (i=1,2,…,n ), 求 ▽ nf((i=1,…,n n≥3▽ 2f( ▽ f(-▽ f(2(1]=2▽ 3f( ▽ 2f(-▽ 2f(2▽ nf(0, n ≥ 3数值分析数值分析定义 5中心差分 )设节点 xi=x0+i=0,1,…,n ),其中 h>0 是步长。记 () (i=0,1…,n )δfi=(x)在点 δ(x)在点 定 δ0 f(x)在点 f(x)= xi=i (i=1,2,…,n ),求 δ nf((i=1,…,n n≥3解: δ f( f() - f()=( i+1/2) 2-()2=2f( δ f() - δ f()=2(i+1/2) -2()=2δ 3f( δ 2f() - δ 2f()=2δ nf(0, n ≥ 3数值分析数值分析差分有如下性质:( 1)差分和函数值的关系000200021 ) ( 1 )2 ) ( 1 )3 ) ( 1 )4)5 ) ( 1 )6)nn k ki n i k ki n n i k ki n i n k ki n n i n f      数值分析数值分析211 / 211 2121 2()[ , , , ]( 2 1 ) !()[ , , , ]( 2 ) !m i m i m m i m i m x x x x         11()[ , , , ]!()[ , , , ]!i i m i i m x x x x ( 2)差分与差商的关系数值分析数值分析.. > , 值多项式为:)())(](,,[)](,[)()( 1101   且 t+i)h, 代入上式,得(],,,[1 因为当 x∈ [,令 x=xn+ ( ) ( )( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 5 )1!x f xP x f x t t t t       ( 5)式称为 也称为 表尾公式 算函数 f(x)在 x* 处的近似值分为以下步骤:1)根据等距节点表,构造差分表,2)根据 x*的位置,建立 分表xi ⊿ 2 ⊿ 3 … ⊿ 222233 出如下函数表:x i 0 1 2 3 f ( x i ) 1 2 17 64 解 造差分表 xi f( 11 22 173 造前插公式:P3(x)=1+s+7s(3s(,这里 x=s ,f(造后插公式:P3(x)=64+47s+16s(s+1)+3s(s+1)(s+2), 这里 x=3+s,当 x=s= f(≈ 计算 f(f(与 f(数值分析数值分析习题五 , 2
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