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数值分析(10)幂法

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数值分析数值分析第四章 代数特征值问题工程实践中有多种振动问题,如桥梁 或建筑物的振动,机械机件、飞机机翼的振动,及 一些稳定性分析和相关分析可转 化为求矩阵特征值与特征向量的问题。但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法 . 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法 . ()a A n 的 特 征 值 是 的 特 征 多 项 式的 个 零 点 数特征值问题第一节 特征值的估计和数值稳定性第二节 幂法和反幂法第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比( 法第四节 求矩阵全部特征值的 征值的估计和数值稳定性 1( ) , ( 1 , 2 , , )ni j n n i i i i a r a i nZ z C z a r      对 阶 矩 阵 , 令则 称 为 格 希 格定 义林 圆 盘 。一、格希格林圆盘 (11111212111211,则有最大元为的特征向量规范化使其,将设有数值分析数值分析内。为中心的格希格林圆盘必须在以此式说明,得到因为个方程是其第11),,2,1(,1,定理 4 - 1 ( 格 希 哥林 盘定理 ) 设矩阵 ()a R , 令 1:ni ii z z a a   则矩阵 A 的所有特征值包含于1 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、特征值问题的稳定性数值分析数值分析第二节 幂法和反幂法一、幂法求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列,由此计算特征值和特征向量。设 n 阶实矩阵  的 n 个特征值 为 ( 1 , 2 , , )i   , 满足 12 0n      , 所对 应的 n 个 特征向量 ( ) ( ) ( )12( , , , ) , 1 , 2 ,i i x x x i n  线性无关。 01 A V 任 取 非 零 的 初 始 向 量 , 构 造 向 量 序 列向量 逼近 A 的优特征值对应的特征向量   11,k ik 数值分析数值分析112111 1 1 1 1 12 10, ( 2, 3, , ) li m ( ) 0 li m ( ) 0()][i i k i X X               由 得故 只 要 充 分 大 , 就 有1011 , 2 , ,存 在 不 全 为 零 的 常 数 ( ) , ( 这 里 假 设 0 ) ,使 得  1 0111 1 12 1()[ ( ) ] k kk i i i i V A V A X       数值分析数值分析21A按 上 面 式 子 计 算 矩 阵 按 模 最 大 的 特 征 值与 相 应 的 特 征 向 量 的 方 法 称 为 幂 法 。 幂 法 的 收敛 速 度 依 赖 于 比 值 , 比 值 越 小 , 收 敛 越 快 。()( 1 ) 1 ( 1 ) ( ) ( 1 )1 1 1 1( 1 )1 ()( ) ( ), ( 1 , 2, )k k x y y i      因 此 , 可 把 作 为 与 相 应 的 特 征 向 量 的 近 似 。由为 的 第 个 分 量 。  11k ik a x ( )k C /( 0 )1( ) ( 1 )( ) ( 1 )11111 0,,2 ,( 1 ) 0 ( 1)两 点 说 明 :) 如 果 的 选 取 恰 恰 使 得 幂 法 计 算 仍 能进 行 。 因 为 计 算 过 程 中 舍 入 误 差 的 影 响 , 迭 代 若 干次 后 , 必 然 会 产 生 一 个 向 量 它 在 方 向 上 的 分量 不 为 零 , 这 样 , 以 后 的 计 算 就 满 足 所 设 条 件 。) 因 计 算 过 程 中 可 能 会 出 现 溢 出或 成 为 的 情 形 。 解 决 方 法 : 每 次 迭代 所 求 的 向 量 都 要 归 范 化 。 因 此 , 幂 法 实 际 使 用 的计 算 公 式 是0 1其中 ma x ( 表示向量 中绝对值最大的一个分量。 ( 4数值分析数值分析11m a x ( )  1  定理 4递推公式( 4有1 1 2112201 1 11 1 1 1 1 11 1 1k k k k kk k k k k k k U A C C C A C C C       1m a x( )k C  /由于 归一化向 量,所以  1 1 0m a x C A V   1 1 120 101 1 12 1[ ( ) ]m a xm a x [ ( ) ]k    数值分析数值分析 1 1 120 101 1 12 11 1 1 1 122111 1 1 1 12 11[ ( ) ]m a xm a x [ ( ) ][ ( ) ] [ ( ) ]m a x [ ( ) ] m a x [ ( )k i i k i X X            2] 当 k  时,  11l i m / m a X 数值分析数值分析   1001 11001 1 12 1111 1 12 1m a x m a x[ ( ) ]m a x [ ( ) ] A V A       1 1 12 11112 1m a x ( )m a x( )m a x ( )  1l im  数值分析数值分析两种特殊情况121 2 11 1 2( ) ( 1 ) ( )11( 1 ) ( )(]())m m k m k ny x                     前 面 假 定 如 果 按 模 最 大 的 特 征 值 有 多 个 , 即幂 法 是 否 有 效 ?( ) 是 重 根 , 即 矩 阵 仍 有 个 线 性 无关 的 特 征 向 量 。 此 时 有 显 然 , 只 要1( ) ( 1 ) ( )11( 1 ) ( )11( 1 )12 ()(),,y ( )mk k x           不 全 为 零 , 当 充 分 大 时 , 就 有因 也 是 矩 阵 相 应 于 的 特 征 向 量 , 故 有为 相 应 的 特 征 向 量 , 即 对 这 种 情 况 幂 法 仍 然 有 效 。1 1k ik 1 2 1 3( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( )31 1 2 311()( 2 1 ) 2 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 )1 1 2 1 1 2( 2 )21 1 , 2()2 , ,[ ( 1 ) ( ) ( ) ]( ) ( )k k k k k k k x x x x x x x                          ( ) 且 矩 阵 有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 。由 上 式 可 知 , 是 个 摆 动 序 列 , 当 充 分 大 时 , 有( 2 ) ( )( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 )1 1 2( ) ( 1 ) ( 2 )1 1 2( 1 ) ( ) 1 ( 1 )1 1 1( 1 ) ( ) 1 1 ( 2 )1 1 2/[ ( 1 ) ][ ( 1 ) ]2 2 ( 1 )k kk k kk k kk k k x xy x xy y xy y x                   又 由故 在 这 种 情 况 下 , 仍 可 按 幂 法 产 生 向 量 序 列 。1X 2X 3X X 1X 21121 2 2k ik    2 /121 2 1( 1 ) ( )1()12nm m             综 上 可 知 , 当 的 特 征 值 分 布 为或 时 , 用 幂 法 可 以计 算 出 及 相 应 的 特 征 向 量 。 如 果 按 迭 代所 得 向 量 序 列 呈 有 规 律 的 摆 动 , 则 可 能 为的 情 况 。 否 则 应 考 虑 用 别 的 方 法 求 解 。 此 外 , 当 矩 阵无 个 线 性 无 关 的 特 征 量 时 , 幂 法 收 敛 很 慢 , 亦 应 考虑 改 用 其 他 方 法 。幂 法 计 算 简 便 易 行 , 它 是 求 大 型 稀 疏 矩 阵 按 模 最大 特 征 值 的 常 用 方 法 。 V 数值分析数值分析二、幂法的加速因为幂法的收敛速度是线性的,而且依赖于比值,当比值接近于 1时,幂法收敛很慢。幂法加速有多种,介绍两种 。21/( ) ( 1 )( ) ( 1 )( 1 ) ( 2 ) ( )21 1 211()( ) [ ( ) ( )]k k p A pI y pI x x        1. 原 点 移 位 法矩 阵 与 的 特 征 值 有 以 下 关 系 : 若 是 的 特征 值 , 则 就 是 的 特 征 值 , 而 且 相 应 的 特 征向 量 不 变 。 如 果 对 矩 阵 按 计 算 , 则有1kVnX p I 这 样 , 用 幂 法 计 算 的 最 大 模 特 征 值及 相 应 特 征 向 量 的 收 敛 速 度 比 对 用 幂 法 计 算 要 快 。这 种 加 速 收 敛 的 方 法 称 为 原 点平 移 法 。( ) ( 1 )21 1 1 2 2111211( )( ) [ ( ) ( ) ]( 2, 3,)k p I u u p           适 当 地 选 取 , 使 得 且1X 2X 数值分析数值分析123 1 2 32212 2 2221 1 2 1 1 2 10 0 )1( ) , 2( 2, 3, ,2)n nn n p p i                                               原 点 平 移 法 使 用 简 便 , 但 的 选 取 困 难 。 在 一 些简 单 情 形 , 可 估 计 。 如 当 矩 阵 的 特 征 值 满 足( 或 时 , 取则 有且11因 此 , 用 原 点 平 移 法 求 可 使 收 敛 速 度 加 快 。数值分析数值分析    1211222 1 12 1 2 1l i 22k k k k k k k a a a a aa a a a aa a aa a a a a aa a a Ai n            2 . A i t k e n 加 速如 果 序 列 线 性 收 敛 到 , 即则 当 充 分 大 时 , 有序 列 比 更 快 地 收 敛 到 , 这 就 是 加速 法 。 将 这 一 方   于 幂 法 所 产 生 的 序 列 ,可 加 快 幂 法 的 收 敛 速 度 。211m a x( ) M  数值分析数值分析3、 的特征值满足 n  21 , 且含有相互正交的特征向量 12 , , , X ,则在幂法 迭代的每一步可进一步计算 Ra yl ei g h 商   ,(),    2 2 1100 122001,,(), ,ik A V A   2211( ) [ 1 ( ) ] O  数值分析数值分析三、反幂法反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法,也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。11111,1A n n u AA x x x A x A x     设 为 阶 非 奇 异 矩 阵 , 为 的 特 征 值 与相 应 的 特 征 向 量 , 即此 式 表 明 , 的 特 征 值 是 的 特 征 值 的 倒 数 , 而相 应 的 特 征 向 量 不 变 。 因 此 , 若 对 矩 阵 用 幂 法 ,即 可 计 算 出 的 按 模 最 大 的 特 征 值 , 其 倒 数 恰 为的 按 模 最 小 的 特 征 值 。 这 就 是 反 幂 法 的 基 本 思 想 。) ( 1 )( ) 1 ( 1 )() 因 为 的 计 算 比 较 麻 烦 , 而 且 往 往 不 能 保 持矩 阵 的 一 些 好 性 质 ( 如 稀 疏 性 ) , 因 此 , 反 幂 法在 实 际 运 算 时 以 求 解 方 程 组 代 替 幂 法 迭 代求 得 , 每 迭 代 一 次 要 解 一 个 线 性 方 程 组 。 由 于矩 阵 在 迭 代 过 程 中 不 变 , 故 可 对 先 进 行 三 角 分 解 ,每 次 迭 代 只 要 解 两 个 三 角 形 方 程 组 。1m a x ( ) 1可以证明反幂法计算格式1m a x ( )k C /数值分析数值分析0< ( )()j j j j                      用 带 原 点 平 移 的 反 幂 法 来 修 正 特 征 值 , 并 求相 应 的 特 征 向 量 是 非 常 有 效 的 。设 已 知 的 一 个 特 征 值 的 近 似 值 为 , 因接 近 , 一 般 有故 是 矩 阵 的 按 模 最 小 的 特 征 值 , 且 由上 式 可 知 , 比 值 / 较 小 。因 此 , 对 用 反 幂 法 求 一 般 收 敛 很 快 ,通 常 只 要 经 过 二 、 三 次 迭 代 就 能 达 到 较 高 的 精 度 。四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量数值分析数值分析第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比( 法其非对角元素收敛到零,从而使该矩阵近似为对角矩阵,得到全部特征值和特征向量。所用的矩阵为 称 值分析数值分析11c os si , , )1si n c )kJ k   定 义 4- n 阶 方 阵称 为 阵 。一、 - 3 Gi v e 换 矩阵有以下基本性质: ( 1 ) Gi v e 换矩阵 是非奇异阵,且 de t( ) 1J  ; ( 2 ) G iv e 换矩阵 是正交矩阵,有1 。 数值分析数值分析 21 , , . . . ,x x x x n、 变 换 矩 阵 对 向 量 和 矩 阵 的 作 用( ) 将 向 量 = 的 第 个 分 量 约 化 为 零 。( , )c o s c o .. ., ; ,k k ll k k l xy x xy x xy x i n i k l      ,若 令 , 有1122121212( 1 , 2 )c os c os c             整 , 可 将 约 化 为 零 。0 t a n 令 , 得 ( , ) , , . . . ,J k l x x x x x 向 量 = 只 改 变 的 第 个 分 量 和第 个 分 量 。值分析数值分析2222c o s ,    所 以 , 取22 ,0k k l k l ly c x s x r x x y     于 是 ( , ), . . . , , , , . . . , , 0 , , . . . , k l xx x r x x x xT1 k - 1 k + 1 - 1 + 1 n=0 t a n 令 , 得值分析数值分析例 4 - 3 已知向量 [ 1 2 3 4 ] , 试构造 Gi v e 换 使 向量 y J x 的第一二个分量不变,第四个分量为零。 解: 根据题意, 取 3 , 4 , 得 3 42 2 2 23 4 3 434,55x x x x   1 0 0 00 1 0 034( 3 , 4) 00554300553 , 4)50J x数值分析数值分析 2 , , . . . ,x x x x n( ) 将 向 量 = 的 第 k+1 个 分 量 到 第 n 个分 量 约 化 为 零 。  22 1( , 1 ) , . . . , , , 0 , , . . . , ,k k k kJ k k x x x r x x r x x    1 + 2 n= 2 2 212( , 2 ) ( , 1 ) , .. ., , , 0 , 0 , , .. ., ,kk k kJ k k J k k x x x r x xr x x x   1 k + 3 n= 22( , ) ( , 2 ) ( , 1 ) , . . . , , , 0 , . . . , 0 ,k n J k k J k k x x x rr x x  T1 k - 1=数值分析数值分析  2 , 1 , 4, 0 , 0 向 量 = , 试 用 换 将 约化 为例 ( 1 ) ( 1 )2, 1 , 4x x x T: 记 = , 对 计 算解 c 和 s 。122 2 2 21 2 1 221,55x x x    ( 1 ) ( 2 )21 05512( 1 , 2 ) 0550 0 1( 1 , 2 ) 5 , 0, 4x x数值分析数值分析( 2 ) 4,215对 计 算 c 和 s , c =21 ( 1 )4021( 1 , 3 ) 0 1 0 , ( 1 , 3 ) 21 , 0, 04021521521 ( 2 ) 5 , 0 , 4 数值分析数值分析( , )( , )((,3(,,)) ( ))k l A A k lJ k l A A k k l J k l A k l k l左 乘 只 改 变 的 第 、 行 。右 乘 只 改 变 的 第 、 列 。只 改 变 的 第 、用 对 矩 阵行 和 第作 变 换 得 到 的 结 论、 列 。A ( ), ( , ) ( )J k l b ,则有: ,1,1,,ik ik ik c a sa i nb sa c a i nb a j k l        数值分析数值分析适当的选择角度  , 可以使 矩阵 B 第 l 行的某一个元素 0 . 2 2 2 2,k j j lj k j a a a,若220k j  . 设 A ( ), ( , ) ( ) k l A b ,便有: ,1,1, , ,        k j k j k j c a s a j nb s a c a j nb a i j k 是对称矩阵 时,对矩阵 A 做正交相似变换, 即令 ( , ) ( , ) k l AJ k l ,可得: 22222222( ) ( ),,k k k k k l k k k l l lk k k ll k lk j jk k j jl lj k c a c sa s ac s a c sa c ac c c s a a a c sc c c a sa j k lc c c a sa j k               , , , i k l j k l 若要求 矩阵 C 的元素 0则只需令 22( ) ( ) 0ll k k k lc s a a a c s   o t 数值分析数值分析例 4 - 4 设对称矩阵1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3A,试构造 Gi v en s 矩阵 ( , )J k l , 使 ( , ) ( , ) k l AJ k l 的元素13 310 解 : 取 1 , 3 ,则 13311 11 3313c 02 , 得 4  ,22  , 2200220 1 0 0( 1 , 3 )2200220 0 0 1J数值分析数值分析易验证4 3 2 0 3 23 2 3 2 1( 1 , 3 ) ( 1 , 3 )0 2 2 23 2 1 2 3  数值分析数值分析二、利用 相似化简为对角阵记 A 的 非对角线 元素平方和为  2,1() a  当 0 可得 22)()(f f f  21212 2 ( , ) ( , ) k l A J k l2 1 1 2T T Tm m J J J J A 记 21m J = J J J , 每一列为对应的特征向量。 数值分析数值分析下面具体 推 导 换的详细过程: c o t 22k k l   令记 t , 利用三角恒等式2122 则它满足 0122  此方程有两个根 12  t 22s g n ( )s g n ( ) ( | | 1 )| | 1t       取21 ,1c s  1 ) 计算 与 c 数值分析数值分析0( ) ,( ) ,k k k k k ll k lk l j jk k j lj k jl lj k j a a c a s a a j k lc c a s a a j k lc a i k         , , , l j k l其中 1 s c   (2)计算矩阵 3)计算矩阵 每一列为对应的 A 的 近似特征向量。 为了求出 令 J = I , ( , ) J k l ,则有 12T T T J J J 。 令 J = I , ( , ) J k l ,则有 12T T T J J J 。 相应的元素更新公式如下: ( ) ( ) , ,j 1 , 2 , , j k j k j l j kj l j l j k j li j i s J s J i k l n       数值分析数值分析三、 ,( 次为 );,2(,),3,2();,1(,),3,1(),2,1(  , ).,1( 对每个 ),( J ac ob i 变换,完成上述 2)1( 变换称做了一次扫描。 ( 1)循环 次扫描 ,直到 )( 止 ( 2) 果 于某个小参数,就可以让它“过关”,不做 使 它 零化的变换了,这样可以节约些计算量。每次 扫描 所取 的小参数是一个界限,一般第一个界限取为(1  , 其余取为 ,3,2,1   。 数值分析数值分析习题四
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