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数值分析(11)QR方法)

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数值分析课件
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数值分析数值分析第四节 求矩阵全部特征值的 阵的正交分解 , ( ),,,n n m n r A R Q Rm n Q R R R     是 列 满 秩 矩 阵 ( ) ,存 在 分 解 式 其 中 列 法 正 交 矩 阵 ,非 奇 异 上 三 角 阵 。 若 限 定 阵 对 角 元 符 号 ,定 理 4 解 式 是 唯 一 的 。当 时 正 交 阵 非 奇 异 上 三 角 阵 。数值分析数值分析数值分析1 1 11 2 1 1 2 11 2 111 2 2 1111 2 2 1,k k n H H R H H H R Q H H A Q A H H H H H Q Q H H H         1、 用 作 2 1( 1 , 2 , , 1 )1o u s e h o ld e r H R k H 造 阵则 (上三角阵)) 非奇异  数值分析数值分析数值分析( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 2 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 1 1 2 1( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2 2 212( 2 ) ( 2 )2, , ,0, , ,0 H H Ha a           A                          化 矩 阵 为 上 三 角 阵 ,只 须 依 次 将 各 列 对 角 线 下 元 素 化 为 零( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )12( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1, , ,( , 0 , , 0 ) H     记对 的第一列 构造 使数值分析数值分析数值分析( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2 2 2 2 12 2 ,( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2 2 1 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )11 12 13 1( 3 ) ( 3 ) ( 3 )22 23 2( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )( 3 )1233( 3 ) ( 3 )3( , 0, , 0 ), , ,0, , ,000 H H H Ha a a aa a              对 的第二列 构造 使( ) ( ) ( ) ( ) ( )12( ) ( ) ( )1 1 , ,, , ,( , , , 0 , , 0 )k k k k k k Tk k k k k k a a    一般地, 设 按列分块,构造 使  )1()1(2)1(1)1()()(2)(1)(,,,,,, 数值分析数值分析数值分析( 2 ) ( 2 ) ( 2 )11 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )12( ) ( )( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )11 1 1 , 1 1( 1 ) ( 1 ), 1 ,( 1 )1 , 1 1 ,0, , ,000000k k k k k k k n nk k k k k k k na a H H H a a              ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )12( 1 )( 1 ) ( 1 ), 1 ,, , ,00k k k k n          数值分析数值分析数值分析( ) ( )1( ) ( ) 2 2()( ) ( ) ( ) ( )1,1()( ) ( ( ) )()( 0, .. ., 0, , , .. ., )k k kk k k k k kk kk k k n U Us i gn a a a a  ( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,k k k k kn k k k H             计算 ,即( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1( ( ) )1( )1( ( ) ) ( , 1 , , )k k k k T kk j j k k T k T k U j k k n        ,数值分析数值分析数值分析( 1 ) ( 1 )( 1 ) ? ( 1 , . . . , ) k k i k n  可以不用上面公式计算, ?;思考:( ) ( )( 1 ) ( ) ( ), 1 , ,1( 1 ) ( )( 2 ) , 1 , ,l k ij j ij k k nt u ai k k na a t u ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1( ( ) )1( )1( ( ) ) ( , 1 , , )k k k k T kk j j k k T k T k U j k k n        ,数值分析数值分析数值分析化为上三角阵。矩阵可将阵连乘矩阵用一系列221)1( , 1 2 2 1()()1 1 , 2 , , 1, 1 , ,11 ( ) , 1 , ,2l ij j H H k k nt u ai k k na a t 计 算 。、( )( 2 )、 输 出 结 果 。 计 算 值 覆 盖 , 输 出 即 为 最 终 计 算 结 果 。数值分析数值分析数值分析1 2 1 H H  计算正交阵( 1 )( 2 ) ( 1 )1( 1 ) ( )()1 2 1, 1 , ... 1.. H k H H  )(1)()(1)(1)(11)(............记数值分析数值分析数值分析)1(............)()()()(1)()(1)(1)(11)()1()1()1(1( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )1()k T k T k T k k Ti i   )()()1()()(,...,1,)2(1)1(,...,1数值分析数值分析数值分析用 作正交分解 ,A=( ) ( ) 2 ( )2( ) (()) ( ( )1,())1 , 2, ..., 1( ) ( ( ) ) , ( )( 0, ..., 0, , , ..( ),)nk k kk k k ik k k k k k k k Tk k k k k k a a U Ua a a  计 算( ) ( 1 )2 . , A A 计算上三角阵( ) ( )( 1 ) ( ) ( ), 1 , ,1( 1 ) ( ) ( 2 ) , 1 , ,l k ij j ij k k nt u ai k k na a t u 数值分析数值分析数值分析( 1 )( ) ( 1 ) 计算正交阵( ) ( )( 1 ) ( ) ( )1 , ,1( 1 )( 2 ) , 1 , .. .,il k ij i q uj k k nq q t u 数值分析数值分析数值分析121121121为正交阵其中2 , , ( ) m n r A n   ( ) 列满秩上三角阵则阵构造o u s e ho l 0),,2,1(121数值分析数值分析数值分析,法法q,r]=qr(a) [q,r]=qr(a,0):紧凑格式紧凑格式法结果不一样。法和方法结果一样。正交化方法和o u s e d hm i d (,(,数值分析数值分析数值分析算法:用 作正交分解 ,A=( ) ( ) 2 ( )2( ) ( ) ( ) (()) ( )1,1 , 2, ...,( ) ( ( ) ) , ( )( 0, ..., 0, ,11. ( ), ..., )mk k kk k k ik k kk k Tk k k k k Tk k k k k a a aU a     计 算( ) ( 1 )2 . , A A 计算上三角阵( ) ( )( 1 ) ( ) ( ), 1 , ,1( 1 ) ( ) ( 2 ) , 1 , ,l k ij j ij k k nt u ai k k ma a t u ( , , ( ) ) m n r A n  数值分析数值分析数值分析( 1 )( ) ( 1 ) 计算正交阵 ( ) ( )( 1 ) ( ) ( )1 , ,1( 1 )( 2 ) , 1 , .. .,il k ij i q uj k k nq q t u数值分析数值分析数值分析例:用 的正交分解,即 A=中 211010211A( 2, 1 , 2 ) , ( 3, 0, 0 ) , ( 5, 1 , 2 )1 25 5 10 10 5 10112 1 5 1 2 5 14 215 151 10 2 4 10 2 1133 14 10 5 10110 5 5 14 211 150 10 2 11T T y u x R Q H                                                          一 :0法数值分析数值分析数值分析1 1 1 1 1111111222( 2, 1 , 2 ) , ( 3, 0, 0 ) , ( 1 , 1 , 2 )1 1 1 2 2 1 2112 1 1 1 2 1 2 2331 2 2 4 2 2 133 1413114( 14 / 11 , 3 / 11 , 4 / 11 ) , ( 14 / 11 , 5 / 11 , 0 ) ,T T y u x                                           法 二0:02 2 22222212( 0, 8 / 11 , 4 / 11 )1 0 0 0 5 0 0112 1 0 8 4 0 3 4551 0 4 2 0 4 310 5 10 33 14115 14 2 , 0 515 1110 2 11 0 0x H R Q A                                                         数值分析数值分析用 作 用 作数值分析数值分析数值分析0:......::...0:......::...0.......::...数值分析数值分析二、求矩阵全部特征值的 论依据: 任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵 的乘积,而且当 解是唯一的。11R( 1 , 2, ) . k k kk k 方 法 的 基 本 思 想 是 利 用 矩 阵 的 分 解 通 过迭 代 格 式将 化 成 相 似 的 上 三 角 阵 ( 或 分 块 上 三 角 阵 ) ,从 而 求 出 矩 阵 的 全 部 特 征 值 与 特 征 向 量 。数值分析数值分析11 1 1 1 112 1 1 1 2,,(2, 3, ) Q R Q A Q Q    由 即 。于 是 即 与 相 似 。同 理 可 得 , 与 相 似 。故 与 有 相 同 的 特 征 值 。可证,在一定条件下,基本 “基本”收敛于一个上三角阵(或分块上三角阵)。即主对角线(或主对角线子块)及其以下元素均收敛,主对角线(或主对角线子块)以上元素可以不收敛。特别的,如果 { “基本”收敛于对角矩阵。数值分析数值分析矩阵的正交相似化简,,1 U 设 存 在 酉 矩 阵使 得式 中 是 上 三 角 阵 , 它 的 对 角 线 元 素 是定 理 ( 定 理 )的 特 征 值 .,,,,n TS c h u A Q A Q 设 若 的 个 特 征 值 都 是 实 数 则 存 在正 交 阵 使 得式 中 是 实 上 三 角 阵 它 的 对 角定 理 2 (线 元 素 是实 数 域 上的的 定 理 )特 征 值 Q,R]=) 酉阵数值分析数值分析,, Q                             当 但 不 能 保 证 其 特 征 值 都 是 实数 时 可 以 正 交 相 似 于 一 个 拟 上 三 角 阵 即 存 在 正 交 阵使 得定 理 3数值分析数值分析.. . .. . .. . .. .::( 3 )::A 的特征值有复特征值* . . . *( 2 ) * :*A的 特 征 值 都 为 实 的 特 征 值0( 1 )0A A 角 化 有 个线 性 无 关 的 特相 似 标征形向 量准 : 数值分析数值分析实方阵的正交相似化简 : [Q,R]=)3 1 0;1 0;4 8  [1]=1)9 9 30;1 0 0 0;1 1 0 0;0 0 1 0],  [2]=2)2 1 1;1 4 ],  [3]=3)实方阵的上 [P,H]=)3 1 0;1 0;4 8  [P,H]=1)P*H*)数值分析数值分析u se h o ld e e n be       用阵作正交相似变换上第阵一步... ... ... ...*::::*1k k kG iv e nk k Q        用 变换产生迭代序列第二步12***n数值分析数值分析H o u s e h o ld e      用阵作正交相似变换(对称阵) 三对角阵***数值分析数值分析1、化一般矩阵为上 2 1 1 12 1 22 2 1 232 33 311( 2 , 3 , , ) ,Ho u se ho h h hh h h hh h i   称 形 如的 矩 阵 为 上 海 森 堡 ( H e s s e n b e r g ) 阵 。 如 果 此 对 角线 元 全 不 为 零 则 称 该 矩 阵 为 不 可约 的 上 H e s s e n b e r g 矩 阵 。讨 论 用 变 换 将 一 般 矩 阵 相 似 变换 成 H e s s e n b e r g 阵数值分析数值分析11111111,1 0 0001se h r H n se h r首 先 , 选 取 矩 阵 使 得 经 相 似 变换 后 的 矩 阵 的 第 一 列 中 有 尽 可 能 多 的 零 元 素 。为 此 , 应 取 为 如 下 形 式其 中 为 阶 矩 阵 。11 1 2111 1 1 2 2 11 2 1 3 1 1 2 1 2 1 3 1( , , , ) , ( , , , ) ,a HH a H A Ha a a a a a a a  于 是 有 其 中数值分析数值分析2 2 2222111111.(,0)0 , , ,2nn n H n  只 要 取 使 得 就 会 使 得 变 换 后的 矩 阵 的 第 一 列 出 现 个 零 元 。数值分析数值分析2 2 1 1 22122 2 2 1 1 2 21 0 0 0 * * * *0 1 0 0 * * * *00 * * ***002 2 , , ,, .n n nH ou se h ol de H A H n H ou se h ol de r H H H A H H H e ss e n be             同 理 , 可 构 造 如 下 列 形 式 矩 阵使 得*如 此 进 行 次 , 可 以 构 造 个 矩 阵使 得其 中 为 上 矩 阵 特 别 地 , 当 为 实 对 称 矩 阵 , 则经 过 上 述 正 交 变 换 后 , 变 为 三 对 角 阵 。数值分析数值分析12215 2 2 2 3 21 0 5 2 2 2 20 2 1 00 2 4 12,022, ( 2 , 2 ) 2 ( 1 , 0 ) ( 2 2, 2 ) :T T TH ou s e h ol AH ou s e h ol       用 变 换 将 矩 阵 化 成 上 H e s s b e r g 阵 。求 矩 阵 满: 足,数值分析数值分析2222 2 2 2 2104 4 2 22012 2 2 2 24 4 2 21 0 0 00 1 0 0220022220022                      数值分析数值分析221 0 0 05 2 2 2 3 20 1 0 01 0 5 2 2 2 222002 2 0 2 1 0220 2 4 100221 0 0 05 2 5 10 1 0 01 0 3 222000 2 2 3220 0 1 2220022H H A H          于 是 有数值分析数值分析用 作正交相似变换 , 使 法如下:( 1 ) ( 1 )1112 21111 1 1 1( 1 )1 1 2 ,1 , 2, .. ., 21( 1 ) ( )( ) ( ( ) ) ,()( 0, .. ., 0, , , .. ., )k k k k i k k k k k k k n U Us i gn a a a a       ,,,计算1( 2 )  ( 1 )11( 1 ), 1 , ,11 ( )2 1 , ,l ij j ij k k nt u ai k na a t u()()数值分析数值分析( 1 )11( 1 )1 , . . . ,1( 1 )( 2 ) 1 , . . . ,il ij i a uj k na a t u1( 3 )  数值分析数值分析2、上 需要将其次对角线上的元素约化为零,用 值分析数值分析用 作 1 ) ( 1 ) ( 1 )11 12 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )21 22 2( 1 ) ( 1 )11b bb b iv e n R  对 上 H e s s e n b e r g 阵 ,通 常 用 个 变 换 阵 可 将 它 化 成 上 三 角 矩 阵 ,从 而 得 到 的 分 解 式 。( , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 2 , 1 )J n n J J B R( 2 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( , 1 ) ,记 T T J J n n B Q R   即:( 2 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( , 1 )T T J J n n R 数值分析数值分析( 1 )211111( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 12 13 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 23 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1232 33 3( 2 ) ( 2 )10 (c os si n 0 0si n c 0( 1 , 2 ) 0 0 11( 1 , 2 )b b bb b Bb b   具 体 步 骤 为 :设 否 则 进 行 下 一 步 ) ,取 旋 转 矩 阵则( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )11 211 1 1 11 2111c si n , b    其 中J (2,1)J(2,1)3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )1 12 13 1 1 1( 3 ) ( 3 ) ( 3 )2 23 2 1 2( 3 ) ( 3 ) ( 3 )33 3 1 32 ( 3 ) ( 3 )43 4 10 (10c os si n c 3, 2 )11( 3, 2 )b b b br b b bb b ( )设 否 则 进 行 下 一 步 ) , 再 取 旋 转 矩 阵 -则3( 3 )4( 3 ) ( 3 )1( 2 )( 2 )( 2 ) 2 ( 2 ) 232222 2 2 22 3222c si n , ( ) ( ) n n b      其 中) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )1 1 1 1 1( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )1 1 1 1( ) ( )1( 1 , )k k kk k n nk k kk k k k n k nk k kn k kk k k n k n n k k Br b b b br b b bb h hb b          1k 假 设 上 述 过 程 已 进 行 了 步 , 有1( ) ( )1( ) 2 ( ) 210,11( 1 , ) c os si n c si n , ( ) ( ) k kk k k b b设 取其 中1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 )1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 )1( 1 , )1k k kk k k k k nk k k k k n k nk k kk k k n k b b br b bR k k B Bb h bb h                  于 是因 此 , 最 多 做 次 旋 转 变 换 , 即()( ) ( ) ( )1 1 2 1 3 1( ) ( )2 2 3 2()33( , 1 ) ( 2, 1 ) ( 1 , 2 )nn n n n R n n R Br b b br b   得J 数值分析数值分析, 1 ,22, 1 ,, , 1 ,1 , , 1 ,, , , 1, 1 , , 1H e ss e n b e r g ,1 , 2, ..., 1( 1 ) , , ,( 2 ) ( 1 , )1 , 2...,( 3 ) ( 1 , )1 , 2...,i i i ii i i ii k i k i ki k i k i i k i k ik i k i k a a c i i A c a sa c i i c q sa c q       输 入 上 阵计 算计 算, 为 上 三 角 阵 为 正 交 阵 。注意此处要设置中间工作单元用 作正交分解A=值分析数值分析225 3 26 4 44 4 5( 6, 4 ) 6 4 ( 1 , 0 ) ( 6 52 , 4 )77350               用 方 法 求 矩 阵 的 全 部 特 征 值 。首 先 将 化 成 上 H e s s e n b 阵 , 取解11 0 00 20 50 47 000 47 00 20 50H  于 是 数值分析数值分析1122111 1 15 75 0 20 84 6 76 7, 5 ( 02 ) 96 4c 80 . si n 78 1H H A H Q             即 为 与 相 似 的 上 H e s s e n b e r g 阵 。 将 进 行 分 解 ,( 2, 1 ) 78 1 80 3 00 0 1R4 96 4 1 59 6 7 08 9( 2, 1 ) 0 8 31 0 1 03 00 3 84 6 0 76 7( 8 31 0 ) ( 3 84 6 ) 4 52 6,c 8 31 0 3 56 4,si n 3 84 6 1 18 9       于 是再 取111 0 0( 3, 2 ) 0 3 56 4 1 18 90 1 18 9 3 56 4( 3, 2 ) ( 2, 1 )4 96 4 1 59 6 7 08 90 4 52 6 1 98 20 0 1 95 3   于 是数值分析数值分析12 1 2, 1 ) ( 3, 2 ) 78 1 64 3 71 20 18 9 56 49 5 88 3, 11 Q       第 一 次 迭 代 得重 复 上 述 过 程 迭 代 次121 2 49 6 69 5 97 10 32 5 89
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本文标题:数值分析(11)QR方法)
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