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数值分析(07) 误差分析和解的精度改进

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数值分析数值分析一、解的误差分析基本问题 —— 解的稳定性,A x b用 直 接 法 求 解 , 得 到 的 是 带 有 误 差 的 计 算 解( 数 值 解 ) 误 差 产 生 的 原 因 主 要 有 两 个 :1 , ,( ) ( ),A b A x x b      ( ) 一 般 原 始 数 据 都 带 有 误 差 , 因 此 实 际 解的 方 程 组 是 近 似 方 程 组将 对 解 的 精 度 产 生 影 响 。2( ) 计 算 过 程 中 , 舍 入 误 差 的 传 播 和 积 累 将 影 响 解 的 精度 。第四节 误差分析和解的精度改进数值分析数值分析12解 的 稳 定 性 : “ 小 的 误 差 会 不 会 引 起 解 的 很 大 变 化 ”有 两 种 解 的 稳 定 性 概 念 :( ) 数 值 方 法 的 稳 定 性 : 与 数 值 方 法 有 关 。( ) 数 学 稳 定 性 : 是 由 数 学 问 题 本 身 故 有 属 性 所决 定 的 , 与 数 值 方 法 无 关 。 即 通 常 所 说 的“ 病 态 问 题 ” 和 “ 良 态 问 题 ” 。数值分析数值分析100 , 1 , 2 , . . . 85d x 例 计 算:001l n 6 l n 5 , ... 8y      (1) 计 算 的 递 推 公 式此算法是数值不稳定的。) 8, 7 , .. ., 15y   (2) 计 算 的 递 推 公 式此算法是数值稳定的。数值分析数值分析1231 1 1112 3 61 1 1 132 3 4 1247111603 4 5                          考 察 方: 程 组例1321  21  对数学问题而言,如果输入数据有微小扰动,引起输出数据(即数学问题的解)有很大扰动,则称数学问题是 病态问题 ,否则称为 良态问题 。数值方法的稳定性 :一个算法如果输入数据有扰动(即有误差),而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。0 3210 5( 1 ) ( 0, 3 ) , ( 7 )( 2 ) ( 3 3, 3 ) ,( 2. )10    顺 序 消 元列 主 元 消 元例151210 0 2 921 0 1 4 9( 3 ) ( 0 3 3 , 0 4 ) ,( 1 2     列 主 元 消 13 1 ) ( ( ( 2 ) ( ( 2         顺 序 消 元列 主 元 消 元例120 . 7 8 0 1 0 . 5 6 2 9 0 . 2 1 70 . 9 1 3 0 0 . 6 5 9 1 0 . 2 5 4( 3 ) ( 0 . 2 0 3 6 , 0 . 1 0 3 3 )( 0 . 2 1 7 , 0 . 2 5 4 )         列 主 元 消 ( 4 ) ( , 105 ( , )         列 主 元 消 13 1 ) ( ( ( 2 ) ( ( 2         顺 序 消 元列 主 元 消 元例数值分析数值分析|| || || |||| || || |||| |||| || || |||| || || || || |1.|x b b x解 的 相 对 误 差 不 知 道是 否 可 改 用 相 对 剩 余 量 来 估 计 误 差两 种 误 差 估用计即 代 替由 前 面 例 子 说 明 是 不 可 以 的 。 为 什 么 ?下 面 我 们 来 推 导 事 后 误 差 估 计 式 。二、方程组的性态和矩阵的条件数数值分析数值分析11*b 将 上 两 式 合 并 就 推 出* * *, ( )e x x r b x x x        事 后 误 差 估记计1r b A x A e e A r   由 和 可 得 到,1 * * 1 * 1, b x A b x A    由 得 ,数值分析数值分析1*得 到 事 后 误 差 估 计 式1 ,当 很 大 时 不 能 用 相 对 剩 余 量 来 估 计 解 的相 对 误 差数值分析数值分析|| || || || || ||b A x 又1 , 0b b A 先 验 误 差 估 计 :( ) 只 有 有 扰 动1)( 相减得|||||||||||| 1  11|| || || |||| || || |||| || || |||| |||| || || |||| ||  — — 解 的 相 对 误 差 估 计 式数值分析数值分析1| | | | | | | | 12 0 , 0当 时 , 解 的 相 对( )误 差 估 计 式 为1*1()1 A1, 1 , ,11()11 A I      若 则 是 非 奇 异 阵 且 有引 理数值分析数值分析11*1|| || || || 1()1 当 时 , 解 的 相下 面 证 明 相 对 误 差 估 计 式为:对 误 差 估 计 式***, ( ) ( )(): A x b A A x x b x b A x           两式相减得证明11 1 , ( ) I A A设 由 引 理 知 非 奇 异11111)()(,)(有也非奇异于是1 1 1 *( ) ( )x I A A A b A x       数值分析数值分析1 1 1 *1*1( ) ( )()1x I A A A b A xA b x       由 引 理 的 估 计 式 得 到** 1, 即由*11*11() ()11 A A  得 到数值分析数值分析:( ) ,,,on d A AA x b若 线 性 代 数 方 程 组 的 系 数 矩 阵 的 条 件 数相 对 很 大 称 对 求 解 线 性 代 数 方 程 组是 病 态 的 矩 阵 方 程 组定 义 3称 为 病 态 方 程 组反 之 则 称 其 为 的211:,( ) . A A Ac o n d A A A对 非 奇 异 阶 方 阵 称 量 为 矩 阵矩 阵 的 条的条 件 数 记 为数定 义 3. " ":.,大 致 是 实 际 误 差 对 原 始 误 差的 放 大 倍 数 于 是 这 个 数 学 量先 验 估 计 式 说 明定 量 的 刻 画 了 方程 组 对 原 始 误 差 的 敏 感 程 度 即 病 态 程 度 由 此 定 义矩 阵 的 条 件 数数值分析数值分析1 . ( ) 1 , ,2 . ( ) , ,Co A Ax A Ax b  当 是 病 态 矩 阵 是病 态 方 程几 点 注 意 :组 。当 较 小 时 是 良 态 矩 阵是 良 态 方 程 组 。3. ( )4. ( )C on d A AC on d 阵 本 身 的 结 构 有 关 , 与 其他 任 何 外 部 因 素 无 关 。条 件 数 的 大 小 没 有 绝 对 的 标 准 ,与 方 阵 的 阶 数 有 关 。数值分析数值分析111 1 1()()c o n d A A Ac o n d A A A  通常使用的条件数有①1 m a x 12 2 2m ()()o A   ②谱条件数22 ) ( ) ( ): A Ac o A A当 为 非 奇 异 的 实 对 称 阵 时 因注 意 谱 条 件 数 在 理 论 上 有 重 要 意 义1 1 1m a x m a in m ) ( )1 1 1( ) ( ) A A A A     证:数值分析数值分析1 1 1( ) 1 ,,1A c o I A A I A A A A      对 任 何条 件 数 的 性 质① 非 奇 异 阵 都 有2 2 2m ax m ,( ) ( ) ( )( ) ( )T T on d QA c on d A Q c on d Q A A  对 非 奇 异 阵 作 正 交 变 换 后 谱 条 件 数 不 变即 若 正 交 阵 则③为  1 1,0 , ( ) ( )pp c o n d k A k A k A A A c o n d A     矩阵乘非零的常数后② 条件数不变1 , ( ) 1 , 1 , 2 ,pI c o p  单 位 阵 的 条 件 数 为数值分析数值分析1,2以 上 说 明 , 正 交 变 换 在 数 值 计 算 中 有 很 好 的 数 值稳 定 性 。( ) 对 矩 阵 作 正 交 变 换 不 改 变 矩 阵 的 谱 条 件 数 正 交矩 阵 的 条 件 数 达 到 最 小 。( ) 对 有 误 差 的 向 量 ( 矩 阵 ) , 正 交 变 化 后 按 谱 范 数不 会 增 加 误 差 。1)()()()()(m i nm a xm i nm a  on 21., ( ) 1 .Q c o n d Q 正 交 阵 的 谱 条 件 数 等 于即 若 是 正 交 阵 则④数值分析数值分析22|| || || || A A Q A Q A Q A A      同样,对 有 ,则 ,且正交变换后,误差也没有增加。22,|| || ( ) ( ) ( ) ( ) || ||T T TQ x Q xQ x x Q Q x x x x       其 中 是 的 误 差 且即 正 交 变 换 后 , 没 有 增 加 误 差 。在正交变换下,误差不增长,, x x x Q x Q x Q x    对 有 误 差 ,用 正 交 阵 作 变 换 ,数值分析数值分析2.( 1 )( 2 )( 3 )Ax b解 的 精 度 改 进双在 良 态 下 , 用 稳 定 的 数 值 方 法 求 解 , 也 总 是 会有 误 差 的 , 可 用 以 下 方 法 改 进 计 算 解 的 精 度 。用 双 精 度 计 算 , 有 效 数 字 增 加 了 , 舍 入 误 差 自 然 会 减 少 。精 度 改 善 :( 行 ) 比 例 增 减 改 善迭 代 改 善三、数值稳定性及解的精度改进1. .A x b结 论 : 直 接 法 解 , 用 顺 序 高 斯 消 元 法 是 不 稳 定 ,而 用 选 主 元 ( 列 主 元 ) 高 斯 消 元 法 是数 值 稳 定 性稳 定 的 。数值分析数值分析前面介绍的列主元法解决了 列主元法也有缺点,当方程中出现比例因子时,列主元法就无能为力了。41212121 0 1 1 , 02 a us s x 法 求 解 , 失 真列主元法求解 x1=3 7 71212121 0 1 0 1 0 1 , 02xx 列 主 元 法 求 解 , 失 真按行比例增减的高斯消元法 :将每个方程乘上一个适当的比例因子,使方程组的最大系数的绝对值不超过 1,然后再做列主元消元。( 2)(行)比例增减改善数值分析数值分析例 3用按行比例增减的高斯消元法求解方程组33212211321104102343321,43,21,110,4,2331221111321、在第 最小的 r,使 m 换 r , sk 元具体步骤如下:1、在第一步消元前,计算2,1m a 数值分析数值分析得:2323332222,,315113022,3123/2210211141178432234322321084322434312333232121333222321121元,得1 2 1 21 2 11 2 21 2 3 1 2 3 21 2 3 32 3 31 2 33 4 33 4 322 3 232 1 0 4 1 0224834 , 2 , 1 0E E s sx x Ex x Ex x x E x x Ex x x Ex x Es s s          对换 , 得:消元,得数值分析数值分析算法 按行比例列主元高斯消元法解线性方程组 d e t 1 , m 1 , ,1 , 2, , 1 5 2m 0, d e t 0, ,i k i kS a i     、对 循 环 执 行 到 第 步 。、 选 列 主 元确 定 使如 果 则 认 为 输 出 失 败信 息 停 机 。d e td e t , ),,1,( , 4 , 3否则交换行步转出执行第、如果数值分析数值分析。、输出解向量、否则停机。输出失败信息则认为如果、回代求解、e t , ,),,,( 8d e td e ,2,,2,1( /)( / ,,0,6d e td e t 5211( 3) ),,1( ( 2) /( 1) ,,2,14、消元计算数值分析数值分析,( 3 )A x b x xx x x x x x     求解 ,迭代改善计算解 有误差则精确解, ( )xA x b A x A x x b A x b A x          以 上 未 知 , 但 由可 得 到A x b b Ax r xx x x        解方程组 解出就得到改进解这个过程可以用迭代方法重复进行,这就是计算解的迭代改善法(余量校正法)。数值分析数值分析r b A xA x rx x x  迭 代 改 善 法 :迭代改善的计算格式:( 1 )()()()( 1 ) ( ) ( )01 , 2, ...)k x Yx x x k    (k)取r( 1 ) ( 1 , 1 , . . . , 1 ) 问 题 : 可 否 取数值分析数值分析de t ( ) , 量 级 差 别 大 , 分 布 零 乱 , 特病 态 问 题 的 识 别 : 有 以 下 几 种 方 法( ) 由 的 直 观 信 息 , 判 断 病 态 的 可 能征 值 分 布 分 散 ,的 大 小 但 都 只 是性 。可 能 性 。 12( , )d e t ( ) , ( ) , ( ) , , .. ., ,( ) , , 1 , 2, .. .,m n n A RA r A Ac i r     这 是 关 于 数 学 稳 定 性 的 问 题刻 画 矩 阵 固 有 属 性 的 量 有 :奇 异 值这 些 量 从 不 同 角四 、 病 态 方 程 组度 考 察 矩的 处 理阵 的 好 坏 。数值分析数值分析1 0 1 01 1 10110 0 1d e t ( ) 1 ( ) 5120on d A 如:1 0 0 1 0 010012121de t ( ) ( ) 12数值分析数值分析( 2 ) ( )C o n d A 有 一 些 近 似 方 法 , 带 有 经 验 性 , 但 不 增估 计加 计 算 量 。( 3 ) ( )A x b A A x  比 较 所 得 结 果 , 与 相 差 大 ,试 算 和则 病 态 。、双精度改善2、比例增减改善3、迭代改善。病态严重:1、正交分解2、奇异值分解。数值分析数值分析要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者,那么掌握归纳、递推等基本概念,理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。数值分析数值分析培养“数觉”:当计算机接替了大量计算,对机器的使用者来说,聪明地设计正确算法和解释结果是很重要的。设计计算需要充分理解运算的意义,解释结果需要会判断机器输出的某个结果正确与否,如果有错,错误是来自数据输入、运算的选择或是机器的运行。
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