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数值分析(09)解线性方程组的极小化方法

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数值分析数值分析第六节 极小化方法一、线性方程组的等价问题三、共轭斜量法四、预条件共轭斜量法二、最速下降法数值分析数值分析一、 线性方程组的等价问题1 2 1 21( ) , ( , , .. ., ) , ( , , .. ., )n n T n bA a R x x x x b b b b   设 对 称 正 定 , 求 解 的 线 性 方 程 组 为( )其 中1 1 1( , ) ( , ) 2n i j i ii j x x b x a x x b x      对 应 的 二 次 函 数 : , 称 为 模 函 数 , 定 义 为11( ) = ( )22221 2 1 2 1 24,10( 6 4 ) ( 4 10bx x x x x x x            12设 A =261( ) =例2:)数值分析数值分析13 x x Ax b r   有 如 下 性 质 :( ) 对 一 切 , 有 ( ) = g r a d ( ) = - ( )11, 1 , 2 , .. .,()j i x b r i ra d x Ax b         证 :221 2 1 2 1 24,10( 6 4 ) ( 4 10x x x x x x            12设 =261()例=2:)221212111062,42  1 1 1n n i j i ii j ix a x x b x    1() 2数值分析数值分析22,,1( ) ( ( ) , ) ( , )21( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )22( ) ( , ) ( , ) 42nx y R Rx y A x y x y b x yA x x b x A x y b y A y x b y A y y                ( 2 ) 对 一 切( )( , ) ( , )x A x x b x 1( ) = 2数值分析数值分析* * ** * ***,11( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )2211( , ) ( , ) ( , )221( ( ) , ) 52x A x x b x A x xA x x A x x A x xA x x x x       对 一 切 有( )*1* 1 * *11( ) ( , ) ( , )22x A b Ax bx b A b Ax x   ( 3 ) 设 = 为 的 解 , 则* * * *( , ) ( , )x A x x b x 1( ) =2数值分析数值分析*1** 1 *()( ) m )x A b Ax b x x设 对 称 正 定 , 则 = 为 解 的 充 分 必 要条 件 是 : 是 二 次 函 数 的 极 小 值 点 , 即=定 理 3*1***( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) b x x R x x    必 要 性 : 设 = , 由 上 式 及 的 正 定 性 ,所 以 有证, , 即 使 达明 :到 最 小 。* * *1( ) ( ) ( ( ) , )2x x A x x x x    ****()() x x b充 分 性 : 若 使 取 极 小 值 , 则 有g r a d = - = 0 ,即 是 方 程 组 的 解 。x x x ( ) = g r a d ( ) = A - ( ) ( )()( ) m i n ( )x x 求 二 次 函 数 极 小 值 点 的 一 般 方 法 是 :构 造 一 个 向 量 序 列 , 使( 0 )( 1 ) ( ) ( )()(12, ( 0 , 1 , .. .)k k x p k  可 以 采 取 以 下 方 法 :) 任 取 一 个 初 始 向 量 ,( ) 构 造 迭 代 格 式其 中 p 是 搜 索 方 向 , 是 搜 索 步 长 ,()( 1 ) ( ) ( ) ( )( ) *( ) ( ) ( )( ) ( ) )k k x p xx x x          ( 3 ) 选 择 p 和 使 得则 当 k 时 , 有数值分析数值分析( ) ( 1 )( 4 )x x (k ) (k )给 出 误 差 限 , 直 到<或 r b - A <迭 代 终 止 。数值分析数值分析( 1 ) ( ) ( )(), ( 0, 1 , ... )k k x p k   对 迭 代 格 式关 键 是 要 确 定 搜 索 方 向 p 和 搜 索 步 长 。()()()( 1) 确 定 搜 索 方 向 下 降 法 : 模 函 数 ( ) 减 少 最 快 的 方 向 ,即 : ( ) 的 负 梯 度 方 向 - g r a d ( ( ) ) 斜 量 法 : 取 方 向 p。( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1 )( ) ( ) )()k k k x p x        ( 2 ) 确 定 搜 索 步 长确 定 使 得 从 k 步 到 k + 1 步 是 最 优 的 , 即 :这 称 为 沿 p 方 向 的 一 维 极 小 搜 索 。 是 局 部 极 小 。数值分析数值分析()( 1 ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1( ( ) , ) ( , )2kk k kk k k k k x x pA x p x p b x p           对 确 定 的 搜 索 方 向 , 构 造 一 个 的 函 数( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( , ) ( , ) ( , ) ( , )2( , )2( ) ( , ) ( , )2( ) ( , ) ( , )2k k k k k k k k kk k k k x b x Ax p b x b p Ap px r p Ap p        ( ) ( ) ( ) ( )' ( ) 0 , ( , ) ( , ) 0k k k kF r p A p p   令 即 :数值分析数值分析( ) ( )( ) ( )( ) ( )( , )( , )p   取 , 是 () 下 降 的 极 小 值 点 ,即 是 k k + 1 步 的 最 优 步 长 。( ) ( )( ) ( )( , )( , )p p 得( ) ( )' ' ( ) ( , ) 0 , ( ) p p A  正 定( ) ( ) ( ) ( )' ( ) ( , ) ( , )k k k kF r p A p p  数值分析数值分析二、最速下降法).()(,)(,,,)()()(,)()0()0()0()0(负梯度方向球面的这就是正交于椭减小最快的方向出发先找一个使从维空间的一个椭球面它是正定因为的等值面是的极小点出发寻找从x r(k ) (k ) (k )取 模 函 数 ( ) 减 少 最 快 的 方 向 ,即 : ( ) 的 负 梯 度 方 向 - g r a d ( ( ) ) ,- g r a d ( ( ) ) =最 速 下 降 法 :p(k)数值分析数值分析x=8; y=x';X=y))*x;Y=y*x));Z=X.^2+6*Y.^2+4*X.*Y)-(4*X+10*Y););x'),y'),z') *x221 2 1 2 1 24,10( 6 4 ) ( 4 1 02* 1bx x x x x x xx x x             12例 : 设 A=261( ) = )2( ) = ( ) = - 9 ,数值分析数值分析( 0 )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 1 ) ( ) ( )( 1 ) ( )0, 1 , 2, ....( , )( , )( 3 )k b A r rx x 最 速 下 降 算 法 :(1) 选 取(2) 对当 时 , 终 止 迭 代 。( 1 ) ( ) 06 不 难 验 证 , 相 邻 两 次 的 搜 索 方 向 是 正 交 的 , 即( , ) ( )( ) ( )( ) ( )( , )( , )p p 得数值分析数值分析 ( ) 1( ) ( 0 )11112***,( , )x A bx x x u u   (k) 看 到 , () 是 单 调 下 降 有 界 序 列 , 它 存 在 极 限 ,可 以 证 明 其 中 分 别 是 对 称 正 定 阵 A 的 最 大 、 最 小 特 征 值 ,1() 当 时 , 收 敛 是 很 慢 的 ,当 很 小 时 , 因 舍 入 误 差 的 影 响 , 计 算 将 出 现不 稳 定 现 象 。数值分析数值分析三、共轭斜量法 ( ( 0 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( )( ) ( )m )p 设 按 方 向 , ,..., 已 进 行 维 搜 索 , 求 得, 下 一 步 就 是 确 定 , 再 求 解 一 维 极 小 化 问 题( ) ( )( ) ( )( , ) 7( , )p p 可 得 ( )( 1 ) ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )( 8 )( 9 )k k k k x pr b A x r A p   下 一 个 近 似 解 和 对 应 的 剩 余 向 量 是( 0 )( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( )01p p p   不 失 一 般 性 地 设 =0 , 反 复 利 用 ( 8 ) 有+...+数值分析数值分析( 0 ) ( 1 ) 考 虑 , ,.. 么 方 向( 0 ) ( 0 ) ( )kp r p设 = , 一 般 的 确 定 , 我 们 不 但 希 望 使( 1 ) ( ) ( )( ) m i n ( ) ( 1 0 )k k kx x p     ( 0 ) ( )()( 1 ), . . . ,( ) m i n ( ) ( 11 )s p 而 且 希 望 的 选 择 使  ( 0 ) ( )( ) ( 0 ) ( 1 ), ...,, , ..., ,p px y p y p p R    若 , 可 记 成()()2( ) ( ) ( )( , )( ) ( )( ) ( , ) ( , ) ( 1 2 )2kk k y py b p Ap p       所 以 有,y 为 了 把 极 小 化 问 题 分 离 为 对 和 对 分 别 求 极 小 令数值分析数值分析 ( ) ( 0 ) ( 1 )( ) ( ), ) 0 , , . . . ,, ) 0 , 0 , 1 , . . . , 1y p y s p a n p pA p p j k  令 (即 ( ()( 0 ) ( )( ) ( ), ...,, ) 0,p p i j k=1,2,... , 每 步 都 如 此 选 择 , 则 它 们 符 合 下 面 定 义 称 正 定 , 若 R 中 向 量 组 满 足(则 称 它 为 R 中 的 一 个 A 共 轭 向 量 组 , 或 称 A 正 交定 义 3 组 。1 、 当 l
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