• / 91
  • 下载费用:10 下载币  

数值分析(08)解线性方程组的迭代法

关 键 词:
数值分析课件
资源描述:
数值分析数值分析迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组,其基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列,由迭代序列来逼近原方程组的解,因此,要解决的基本问题是: 1. 如何构造迭代格式 型稀疏方程组的迭代法一 、 基本迭代法及其收敛性二 、 几种基本迭代法三 、 应用实例数值分析数值分析一 、基本迭代法及其收敛性设有线性代数方程组A=M+N , 要求 b (M+N)x=Nx+b x=用矩阵表示: 系数矩阵,非奇异且设 ; A x b x B x g B M N g M b      1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b              数值分析数值分析1(11 ) ( ),,( 0, 1 , 2, )x b x B M N g M g        基其 中 称 为 迭 代 矩本 迭 代 法 的阵 , 是 已 知迭 格 式的代维 向 量 ,( 0 ) ( 1 ) ( )(), , ( 0 , 1 , 2 , ){}x B x g    给 定 由 迭 代 格 式即 可 产 生 迭 代 序 列 。()( 1 ) ( )x x g Ax b   当 时 ,对 取 极 限得注:如何分裂 值分析数值分析20, 3336,A x b A M N M N                              例 :解 :8 - 3 2对 线 性 方 程 组 , 其 中 = 4 1 1 - 16 3 1 28 0 0 0 - 3 2将 分 裂 为 , 其 中 = 0 1 1 0 = 4 0 - 10 0 1 2 6 3 0231312()20 3 233 436 6 3A x b x M N x M b M b N        - 1 - 1 - 11 0081001110012231312( 20 3 2 ) / 8( 33 4 ) / 11( 36 6 3 ) / 12x x xx x xx x x        123数值分析数值分析( ) ( )23( ) ( )13( ) ( )12( 20 3 2 ) / 8( 33 4 ) / 11( 36 6 3 ) / 12 0, 1 , 2, ... x xx x xx x x k         (k+1)1(k+1)2(k+1)3迭 代 格 式 的 分 量 形 式 为( ( 3, 2, 1 )(10)迭 代 到 第 10 次 , 得 到已 知 精 确 解 为( 1 ) ( )0, 1 , 2, ...., x g                       迭 代 格 式 的 矩 阵 形 式 ,3 2 2 00 84 1 3 3迭 代 矩 阵 = - 01 1 1 1 1 16 3 3 6- - 01 2 1 2 1 2数值分析数值分析( 1 ) ( )( ) ( 0 )(), ( 0 , 1 , 2 , ){}x g    迭 代 法产 生 的 迭 代 序 列 , 如 果 对 任 取 初 始 向 量 都 有 则 称 此 迭 代 法 是 收 敛 的 , 否 则定 义是 发 散 的 。( ) ( ) ( ) ( )1212( ) ( )( , , , ) ,( , , , ) , ( 1 , 2 , , )k k k k x x xx x x x Rx x x x i n         对则在 列的收敛等价于每个分量的收敛。 即 ()( ) ( )( ) ( )( ) , ( ) ,l i m l i m , ( , 1 , 2, , )j i j i a A a a i j n       同 理 , 的 收 敛 与 所 选 择 的 范 数 无 关 。若则l i m 0 数值分析数值分析( ) ( 1 )( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )( 0 )( 0 ) ( 0 )()( 1 , 2, )k k x b x B x x gx x B x x          是 精 确 解迭 代 格 式 为误 差 向 量其 中 是 初 始 误 差 向 量 , 是 一 个 确 定 的 值 ( 0 )() 0 ( ) k   k=0由 此 , 得 到 结 论 : 对 任 意 初 值 ,迭 代 序 列 收 敛数值分析数值分析:1112212J o rd a  例 形 矩 阵()J o r d a 的 约 当 标 准 形  1, n P P A P JJ o r d a n J 存 在 阶 可 逆 矩 阵 , 使形 矩 阵 的 对 角 线 元 素 是 的 全 部 特 征 值 。2111