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数值分析(04)初等变换阵与特殊矩阵

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数值分析数值分析一、 初等变换阵二 、 高斯 ( 变换阵三 、 豪斯豪尔德 ( 变换阵四、几种特殊矩阵第三节 初等变换阵与特殊矩阵数值分析数值分析(单位阵和一个秩 1的矩阵之差 ), , , ,( , ; ) R R I V I U V设 是 实 常 数 是 阶 单 位 阵形 如的 矩 阵 称 为 初 等定 义 2 阵1一、初等变换阵( 1 ) de t ( ( , ; ) ) 1 V V U 定理 2等变换矩阵的性质1( 2 ) ( , ; ) ( , ; )1 ( ) V E U  数值分析数值分析1 1 ) de t ( ( , ; ) ) 1 V V U 证明 :     1 , , , V C U D I   取 V U 数值分析数值分析证明 :);,(  ))(();,();,(   (  得令 ,0 1( 2 ) ( , ; ) ( , ; )1 ( ) V E U  1 ( )( , ; 0 )E U V I数值分析数值分析初等方阵都是 初等变换阵 1 4 1 4 1 4 1 40 1 1 11 1 0( 1 , 4 ) 1 0 0 11 1 01 0 1 1( ) ( ) ( , ; 1 )e e e e E e e e e                                       ( , ) ( , ; 1 ) ( ) ( ) Ti j i j i j i jP i j E e e e e I e e e e      阵例 : 对 换 33( ( ) ) ( , , 1 )1 1 01 1 0( 3 ( ) ) ( 1 ) 0 0 1 0111 1 0( , , 1 )i c E e e cP c e e c                                 倍 乘 阵例 :数值分析数值分析( , ( ) )1 0 00 1 0 0( 1 , 3 ( ) )0 0 1 00 0 0 1P i j 消 元 阵例 :数值分析数值分析 1000 0 1 0 0定义    0,...,0,1,0,....,,,0,..,2,1设向量)(斯( 换阵定义 2 l e111111 数值分析数值分析 2223 , 24 , 23 , 24 , 201 0 0 000 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 00 1 00 0 1 l      数值分析数值分析定理 2, l e  11( ) ( )j j T Tj j j jj j j j j I l e I l eI l e l e l e l e I L L       证 :数值分析数值分析1 2 11 2 1122131 321 2 3 , 112. ...( ) ( )1111..(1.. ).n n l l ll e I l e I l e         定理 2值分析数值分析1 1 11 2 11 2 12131 321 2 31 2 1,12. ...()1111... 1( ) ...( ) n LI l e I l e I l l       定理 2值分析数值分析1 2 2131 322131 32211 0 0 1 0 01 0 0 1 00 1 0 11 0 0101L L               数值分析数值分析,,111111 l    12( , , . . . , , 0 , . . . , 0 ) x y x x x于 是 有1 2 1( , , ... , , , ... , ) 0 , 0, ( 1 , 2 , ... ,3.)Tj j n x x x x x i j j      且定 义 消 元 乘 数1,,00其 中定理 2值分析数值分析1 2 3 11 2 1 1131112121331( , , ) 01 0 01 0 , ( 2 3 )011 0 01 0 0001x x x m m x           ,,,,: ,例数值分析数值分析22( 1 , 3 , 6 , 9 ) ,( 1 , 3 , 0 , 0 ) a u s s 设 求 一 变 换 阵 使例 :221 0 0 0 1 0 0 0 1 10 1 0 0 0 1 0 0 3 3,0 2 1 0 0 2 1 0 6 00 3 0 1 0 3 0 1 9 0L L x                                            解 :, L A A 乘 矩 阵 相 当 于 对 的 第 行 以 下 各 行进 行 初 等 行 变 换 。数值分析数值分析21 1 2 122 1 2 22121 2 2 22 1 2 22 2 1 2n nw w w w ww w w w w w w w         122, ( , , , ) ,1 , ( , , 2 2), W w w E W ou se h ol   设 非 零 向 量且 满 足 条 件 形 如的 阶 方 阵 称定 义 2 等 反 射 阵 或 称 为 变 换 阵3三、豪斯豪尔德( 换阵1、豪斯豪尔德( 换的定义及性质数值分析数值分析32110 , || || 12212112 2 0 022120 0 10 1 01 0 0 W W I      例 :数值分析数值分析2 H( ) 是 对 称 矩 阵 : ;定理 2 de t ( ) 1( ) 阵 是 非 奇 异 阵 , 且2 o u s e h oI ld e 设 为 阵 ,3 H I( ) 是 正 交 阵 : ;224 , || || || || H x x  ( ) 变 换 保 持 向 量 长 度 不 变 :d e t ( ) 1 2 1 W   证 :2 ( 2 ) ( 2 )44T T H I W W I W W W W W W I      证 :( 5 )设  是以 w 为法向量过原点的超平面,对任何非零 向量 x , 有 x 关于超平面  对称。 数值分析数值分析()( 2 )2y H x k Wx k I W W Wx k W k W W Wx k W y      0TW x x   设 平 面 的 方 程 为证 :, ( 2 ) 2 x I W W x x W W x x     若5 )设  是以 w 为法向量过原点的超平面,对任何非零 向量 x , 有 x 关于超平面  对称。 若 y  ,则存在 ,x k R 使 y x k w ,则 数值分析数值分析2、 2- 13,,2x y R x y U x y  设 两 个 不 相 等 的 维 向 量但 则 存 在 使 , 其 中定 理。值分析数值分析,x y yx y y x221: 若 设 , 则 有证 , 因 此2222 W W   22()2 ( )x  22()2 ( )x x x y  22( ) ( )2 y x x y 22 ( ) ( ) 2 ( )T T T Tx y x y x y x x y x     因 为代入上式后即得到数值分析数值分析. ( 1 , 2 , , )o us e ho ld e i n 变 换 可 以 将 给 定 的 向 量 变 为 一 个 与任 一 个 平 行 的 向 量 。12( , , , ) , 0,( 0, ..., 0, , 0, , 0 )i ix x x x R x y e R        即 : 可 构 造 阵 , 使12 22110( ) ( ) ( ) , ( )10n ii i i k ik i g n x x s i g n x x s i g n    其中1( , , , , ) ,Ti i i i nU x y x e x x x     构造初等反射阵2122 W W I I U      2 2 21211( ... ( ) )221( 2 2 ) ( )2Ti i ni i i i i x x             其 中x y e  有数值分析数值分析21433( 2 , 0 , 2 , 1 ) , ,, ( 0 , 0 , 1 , 0 ),o e e e R K R   已 知 向 量 试 构 造例 阵使 其 中 。3 3 32( ) 4 0 4 1 3 , 2 0: ,s i g n x x x        因解3 3 3 33 ( 0 , 0 , 3 , 0 ) ,TK y e         故 取 于 是3 3 3( 2 , 0 , 5 , 1 ) , ( ) 3 ( 3 2 ) 1 5TU x y x         11 0 10 20 1 0 01115 10 0 10 52 0 5 14 U U    数值分析数值分析433( 2 , 0 , 2 , 1 ) , ,, ( 0 , 0 , 1 , 0 ),o e e e R K R   已 知 向 量 试 构 造例 阵使 其 中 。223 2 4 0 4 1 9, 3y x K        解: ,33 ( 0 , 0 , 3 , 0 ) ,TK y    取 于是( 2 , 0 , 5 , 1 ) TU x y  2211 0 10 20 1 0 01215 10 0 10 52 0 5 14    数值分析数值分析11( , , , , 0 , , 0 ) x x  12( , , , ) 0x x :   12 2 10( ) ( ) , ( )10k i ig n x x s ig n  () 1( 0 , , 0 , , , , )kT k k k nU x y x x x    ( ) ( )1 ()k k U U( ) ( )1 ()2k T kk k k x    其 中11. ( , , , , , )( 1 )Tk k nH x x x x xn k k n    构 造 阵 , 将 向 量 的后 面 个 分 量 约 化 为 零 。121 2 1( , , , ) 0 , ,( , , , , , 0 , , 0 )T n k k kx x x x H RH x x x x   即 : 任 给 定 构 造 使数值分析数值分析12 2 2 22m , ,|| || || || , || || || ||, , ,11k kk kM x x y H x y x yU x x U U I U U            在计算时为了防止向量 以先将向量 值分析数值分析2 2 21 1 1 1 1 221 1 1 1 1 111( ( ) ... )221( 2 2 ) ( )2 x x            其中111 1 121122 W W I I U       ( 1 ) 1 1 1 1 2( , , , ) ,x e x x x    1 1 1H x y e  有可构造初等反射阵121 1 112 2 11 1 1 12111.( , , , ) , 0 ,( , 0 , , 0 )10( ) ( ) ( ) , ( )10x x x R x HH x y e ig n x x s ig n x x s ig n           特别,取,使其中数值分析数值分析算法 110,定向量 计算初等反射阵 。 1212122111 1 11 1 1 11 1 1 1 1111 ( , , , )2 , m , ,0,/ , 1 , 2, ,3 ( )0, 4 ( )5 , ( 1 )16x x x x i z U       、输入 。、将 规范化如果 则转出停机否则z、计算如果z 则、、计算 ,、11117 ( , 0, , 0 )8, 、、输出 。数值分析数值分析H,y]=x)n=x);M=x));==0,M=0');z=x/M;s=z);if z(1)<0s=-s;s*(s+z(1));u=z;u(1)= s+z(1);H=n,n)-p\u*u';y=n,1);y(1)=-M*s;数值分析数值分析算法 210,定向量 计算初等反射阵 。 1212122111 1 11 1 11 1 1111 1 111 ( , , , )2 , m , ,0,/ , 1 , 2, ,3 ( )0, 456178x x x x x M i U U  、输入 。、将 规范化如果 则转出停机,否则、计算如果 则、、、计算 ,、11( , 0, , 0 )9, 、、输出 。数值分析数值分析H,y]=x)n=x);M=x));==0,M=0');x=x/M;s=x);if x(1)<0s=-s;x(1)=s+x(1);p=s*x(1);u=x;H=n,n)-p\u*u';y=n,1);y(1)=-M*s;数值分析数值分析 二 种 情 形 的 阵 , 还 可 进 行 降 维 处 理 。1( 1 ) x kk x R  阵 对 向 量 的 前 个 分 量 的 作 用 就 如 同 是 一 个阶 的 单 位 阵 的 作 用 。( 1 )( 2 ) ( 1 ) 11 2 1( , , , ) x x x R  ( 2 ) 11( , , , ) T n kk k nx x x x R  ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 ),( 1 ) ,k k n k n I Rx n k H      令 单 位 阵 ,对 构 造 一 个 阶 的 初 等 阵 使( 2 ) ( 2 ) ( )1x e数值分析数值分析1 2 1( , , , , , , )k nx x x x x x R  ( 2 ) 1 ( 2 )1( , , , ) ,T n kk k n kx x x x R H 对 构 造 初 等 反 射 阵( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )1 ()k k T n k n U U R       ( ) 11( , , , )k T n kk k k nU x x x R   ()1 k 12 2( ) ( )nk k ig n x x ( ) ( ) ( )11 ( ) ( )2k T k kk k k k x u      ( 2 ) ( 2 ) ( )1 ( , 0 , 0 , , 0 )k kH x e    则 有数值分析数值分析( 1 )( 2 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 )0000           令显 然 也 是 对 称 正 交 阵 。因 而数值分析数值分析2 122 22 2 2 32 ,( ) ( ) 5i g n x x x  解 构 造( 2 )2 2 32 2 2 22 1 2( 2 ) ( 2 )222( 0 , , ) ( 0 , 2 5 , 1 )( ) 5 2 5( , , 0 ) ( 2 , 5 , 0 )1, ( )x x I U U           于 是计 算25 2 5 0 010 ( 4 2 5 ) ( 2 5 )5 2 50 ( 2 5 ) ( 4 2 5 )H      ( 2 , 2 , 1 ) ,x例 : 已 知 向 量 试 构 造 初 等 反 射 阵使 最 后 一 个 元 素 为 零 。数值分析数值分析用降维法122 22 2 2 3( 2 )2 2 3( 2 )2 2 1( ) ( ) 5 ( , ) ( 2 5 , 1 )5 2 5 n x x xU x        ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22( 4 2 5 ) ( 2 5 )11( ) ( )5 2 5 ( 2 5 ) ( 4 2 5 ) U U         ( 1 )2 ( 2 )( 2 )221 0 01 0 000 4 2 5 2 500 5 2 5 5 2 50 2 5 4 2 505 2 5 5 2 5      2 1 2( , , 0 ) ( 2 , 5 , 0 )x x    ( 2 )( 2 )2(2,1)构 造数值分析数值分析=( ), 0 , ;,24,a Ri j a Ai j a A设 ,当 时 为 上 三 角 阵当 时定为 下 三 角 阵义.)(),()(;)( 1三角阵上是下则可逆三角阵下是上则三角阵下为上若三角阵。下上也是则三角阵下同阶的上是与若)(;)( 种特殊矩阵三角阵具有如下性质( 1)( 2)数值分析数值分析四、几种特殊矩阵= ( )1 , 0, n b e r g ( ) 0, n b e r a Ri j aj i a设 ,当 时 则 称 矩 阵 为 上 海 森 伯 格型 或 拟 上 三 角 形 矩 阵当 时 则 称 矩 阵 为 下 型 或 拟 下 三角定形 矩 阵义= ( ) 1 , 0 ,1 , 0 , 6 j i a R i j aj i a A      设 , 当 时当 时 则 称定为 三 对 角 阵义2 2 7 = ( ) a R  定 设义 ,11| | | | 1 , 2 , ... ,| | | | 1 , 2 , ... ,a i n Aa a i n 称 为 行 对 角 占 优 阵 ;若 , 称 为 严 格 行 对 角 占 优 阵 ;3 2 01 4 22 2 4A  例数值分析数值分析..,2,1||||:1 为严格对角占优阵证:矛盾。,111...,,(021 反证法:若0,,..,101不妨设定理 2格对角占优阵必是非奇异矩阵。数值分析数值分析习题二 15
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