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数值分析(03)内积空间与内积空间中的正交系

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数值分析课件
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数值分析数值分析一、内积和内积空间的基本概念    义 2 设 V 是 实 数 域 R 上 的 线 性 空 间 , 如 果 α ,β 一 个 实 数 记 为 ( α ,β ) 与 其 对 应 , 且 满 足 以 下 条 件 ,则 称 实 数 ( α ,β ) 为 向 量 α ,β 的 内 积 .① 对 称 性 ( α ,β )( β ,α )② 可 加 性 ( α β ,γ )( α ,γ )( β ,γ );③ 齐 次 性 (k α ,β ) k ( α ,β ) , k R ;④ 正 定 性 ( α ,α ) 0 , 且 当 且 仅 当 α 0 时 才 有( α ,α )0定义了内积的线性空间称为内积空间第二节 内积空间与内积空间中的正交系数值分析数值分析内积的基本性质 :( 1 ) ( , ) ( , )  ( , ) ( , ) ( , ) ( , ): k k k k         证( 2 ) ( , ) ( , ) ( , )        ( 3 ) ( , 0 ) ( 0 , ) 0数值分析数值分析,,2121nn 二、几种线性空间中定义的内积1. 的 内 积1,,( , )( 1 ) y Rx y x y x y 定 义 内 积,1,,(( 2 ),)i j x y Rx y x Ay x a y 为 对 称 正 定 矩 阵 , 定 义 内 积  1 1 1 2 1122 1 2 2 21 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2Ta a y x xa a ya x y a x y a x y a x y             数值分析数值分析111( , )i i x y x A y x a   取,1,,(( 2 ),)i j x y Rx y x Ay x a y 为 对 称 正 定 矩 阵 , 定 义 内 积数值分析数值分析3 2 02 4 2 ,0 2 5323 0 , 0 , 4 024   例1 1 110, 0..t ( ) 0, : : 1 , 2, ...,.. 1 , 2, ..., )k x k         对 称 正 定 阵数值分析数值分析 1 1 1 2 1122 1 2 2 2221 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 20 , 0x xa a x x xa a xa x a x x a x x a x               二 次 型 :正定矩阵的性质( 1 ) 正 定 阵 主 对 角 元 恒 正 ;1 1 11,00Tx e x Ax a   以 二 阶 矩 阵 为 例 证 明取 得证 明 :221 1 2 245x x x x 11221225   2 2 20,01Tx e x A x a   取 得数值分析数值分析1,( 2 ) 是 正 定 阵 也 是 正 定 阵 ;,( 3 ) ,n n A A A n 若 是 非 奇 异 的 则 是阶 实 对 称 正 定 阵 ;0i ( 由 证 明 )0 , 0 x x  ( 由 证 明 )( ) ( )0 , 0T T A x A x A A x    可 逆 ,证 明 :( ) ( ) 0T T A x A x A x数值分析数值分析( 1 ) ( , ) ( ) ( , ): T T T T T Tx y x A y x A y y A x y A x y x    证( 2 ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )T T Tx z y x z A y x A y z A y x y z y      0),()4(1, ,,(( 2 ),)i j x y Rx y x Ay x a y 为 对 称 正 定 矩 阵 , 定 义 内 积( 3) ( , ) ( ) ( , )x y k x A y k x A y k x y  数值分析数值分析( ) , ( ) [ , ] , ( ) 0 ,2 . [( , ) ( ) ( ) ( )[ , ] ( ),]x g x C a b xf g x f x g x d    对 于 给 定 的 权 函 数称 为 在 中中 的 内带 权 的 内 积积)()(),(,1)( 则若 二、 几种线性空间中内积的定义数值分析数值分析[ , ] , ( )[ , ] ,( 1 ) ( ) 0 ;( 2 ) ( ) , 0, 1... ;( 3 ) , ( ) ( ) ( )( ) 0 ;( ) [ , ] b x dx na b g x x g x a b设 是 有 限 或 无 限 区 间 是 定 义在 上 的 非 负 可 积 函 数 若 其 满 足存 在若 对 [] 上 的 非 负 连 续 函 数 有 =0 ,则 必 有则 称 是 上 的 一定 义 2 权 函 数数值分析数值分析)4(0)()3(1111)()2(111)()1(2 :常 见 的 权 函 数 有,13, ( ,.,) R A B a b   定 义 内 积中 的 内 积数值分析数值分析由内积定义的范数称为内积范数, 定义 2 ,,,)1( 22221 nn  (  ,1( 2 ) , ,i j A n x Ax x A x x a x 为 阶对称正定矩阵 的 范数定义为21,i n x Ax x A x a x 特 别 , 为 阶 对 角 阵 的 范 数 , 定 义 为三、内积范数数值分析数值分析   的内积范数。上连续函数为称 )(],[)()(),(],,[)()3(212   的内积范数。的带权上连续函数为称 )()(],[)()()(),(],,[)()4(212 数值分析数值分析.,0),(,,.,,,;),,(矛盾所以等号不成立从而都有非零则线性无关因为若必线性相关则成立如果等号反之显然定理中等号成立非零当( , ) ( , ) ( , ).: ( )C h y S c h      设 是 内 积 空 间 中 任 意 两 个 向 量 则 有等 号 只 有 当 且 仅 当 和 是 线 性 相定关理 2 等时 才 成 立式222,( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0, 4 ( , ) 4 ( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) ( ,:)kk k k k                        任 取 实 数 考 虑 内 积利 用 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 有所 以 有证 明数值分析数值分析112222[ , ] , ( ) , ( ) [ , ]( ) ( ) ( ( ) ) ( (( 2 )))b b ba a aC a b f x g x C a bf x g x d x f x d x g x d x  中.,不同的表达形式不等式有在不同的空间中 Sc h w a r zC a u c 1122221 1 1( , , ,( , ) (1)) ( )n ni i i ii i iR x y Rx y x y x y x y      中( , ) ( ): ( ) ( )g x f x g x d xC a u c h y S c h w a r z写 出 不 等 式 的 表思达 形 式考数值分析数值分析222 2, , ,( , )( , ) 2 ( , ) ( , )2 ( )                             在 内 积 空 间 中 有所 以证 : ),(不等式的形式是用内积范数表示 S c h wa r c h w a r z     证 明 : 三 角 不 等 式数值分析数值分析.,,0),(,,记为是正交的和则称若对两个不为零的向量1),(1,1),(,,即不是零向量时当不等式由 Sc h w a r z],0[),(a r c c o s  ,且的夹角和中任意两个向量定义内积空间 间||||),( 21),(  ||||前述三种空间关系数值分析数值分析,0),(0 21111  由  r 同理可得 .,,, 21 线性无关故 r 使设有 r ,,, 21 证明 02211   得与上式作内积用 ,10),(),( 111111   、内积空间中的正交基和标准正交基1212   组 两 两则 线 无 关若 , , , 是 一 正 交 的 非 零 向 量 ,, , , 性 , , , } ,0( , ) ( , 1 , , )12 1 7 j j       在 内 积 空 间 中 取 一 组 基若则 称 基 是 中 的定标 准 正 交 基义内积空间 , , , }0( , )02 6 v v  在 内 积 空 间 中 取 一 组 基若则 称 基 是 中 的定正 交 12100,002121,0021214321 ,2,1,,1),(,2,1,,0),(,, 44321 的一个标准正交基为所以 100,0010,00014321 一个标准正交基也为 准正交基不唯一,但内积空间 1 , A A A E  若 阶 方 阵 满 足 即则 称 为 正 交 矩 阵正交矩阵与正交变换不是正交矩阵1111例 是 正 交 矩 阵数值分析数值分析数值分析数值分析证明 E 212221212111212222111211定理 的行 (列)向量都是单位向量且两两正交.   ,,, 2121数值分析数值分析212221212111 ,2,1,,0;,1当当   ,,, 2121, 是正交矩阵所以且两两正交向量的每个列向量都是单位 正交变换保持向量的长度不变.证明 ,为正交变换设 则有定义 若 线性变换 y=为正交变换.性质 2 正交变换保持向量间的夹角不变.数值分析数值分析  ;1 1   ;2 T   ;3 单位向量的列向量是两两正交的A  位向量的行向量是两两正交的 1 ) , , d e t ( ) 1 ;A A A 是 正 交 阵 则 是 非 奇 异 的1( 2 ) , A 是 正 交 阵 则 也 是 正 交 阵 , 且 同 阶正 交 阵 的 乘 积 仍 是 正 交 阵 ;正交矩阵的性质数值分析数值分析1 1 1 1 1 1 111.,,{ } hm id tv u v v u uv sp a n v  以 下 证 明 过 程 就 是 正 交 化 过 程① 令由 生 空 间 中 必 有 标 准定 理 2 - : 正 交 基7(.: )S c h m i d 交 化 过 程 给 出证 构 造 性 证 明明121 2 1 2121 2 1 212, , , ,{ , , , } { , , , } ,{ , , , } ,{ , , , } { , , , }{ , , , }u u uu u u v v u u u v v    在 内 积 空 间 中 任 取 一 组 基 ,证 明 由 可 构 造 正 交 基进 一 步 可 构 造 标 准 正 交 基 且2 1 2 1 2 2 1 12 1 1{ } , , ,,.u s p a n v u v    ② 由 的 线 性 组 合 构 造使 可 求 出数值分析数值分析3 1 3 1 1 1 1 2 2 11 3 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,( , ) ;         求出2 1 2 1 1 1 11 2 1 2 2 2 1 1( , ) ( , ) ( , ) 0( , ) . ( , ) ,v u u            作内积求出 得到2 2 2 1 2 1 2, , { , } .v v v v s p a n v v 于 是 由 生 成3 1 2 3 2 1 33 3 1 1 2 23 1 3 2 1 2{ , } , , , .,.u v v u         ③ 由 的 线 性 组 合 构 造使 和 可 求 出3 2 3 2 1 1 2 2 2 22 3 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,( , ) ;         求 出3 3 3 1 1 3 2 23 3 3( , ) ( , ) ,v u u     于 是数值分析数值分析111212( , ) ,( 1 , 2, , ){ , , , }{ , , , } k k j j k k u u v v v v      继 续 下 去 可 得 到 一 般 的 计 算 公 式于 是 得 到 中 的 正 交 基 和 标 准 正 交 基1 2 1 212,{ , , , } { , , , }{ , , , }a n u u u sp a n v v a n   由 于 正 交 化 过 程 只 作 了 线 性 运 算 因 此 必 限 维 内 积 空 间 中 构 造 标 准 正 交 基 的 原 理和 计 算 方 法 很 容 易 推 广 到 无 限 维 内 积 空 间 中数值分析数值分析1111( , ), 2 , 3 ,( , ):k jj u v    正 交 序 列1 1 1 1 111,( , ) , 2 , 3 ,:kk k k j j k k u v vv u u v v k      法 正 交 列,序数值分析数值分析1 1 21 2 31 2 11 1 6( ) A已知矩阵试求 的列空间例的正交基:1 2 31 2 3,( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 2 , 1 ) , ( 2 , 3 , 1 , 6 ){ , , } ( ) .:T T u uS u u u R A  的列线性无关是 的一组基解11 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ,2 2 1 2 1, ( , ) 0 ,v u v v v  确 定 使2111( , )( , )= 111( , )( , )u = 1 1( , , , ) ,2 2 2 2T  数值分析数值分析3 3 1 1 2 21 2 3 1 3 2( , ) 0 , ( , ) 0 ,v u v vv v v v  令 ,确 定 , 使1 1 1 1( 2 , 3 , 1 , 6 ) 3 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) 2 ( , , , )2 2 2 2( 2 , 1 , 1 , 2 )T T      3 1 3 23 3 1 21 1 2 2( , ) ( , )( , ) ( , )u v u vv u v vv v v v   ,1 2 3123( ) { , , } 1 1( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( , , , ) ,2 2 2 2( 2 , 1 , 1 , 2 ) v v     得 到 的 正 交 基 为数值分析数值分析1 1 21 2 31 2 11 1 6( ) A已知矩阵试求 的列空间 的例标准正交基:1 2 31 2 3,( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 2 , 1 ) , ( 2 , 3 , 1 , 6 ){ , , } ( ) .:T T u uS u u u R A  的列线性无关是 的一组基解11 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ,1 2v  1 1 11111( , , , )2222数值分析数值分析3 3 3 1 1 3 2 2( , ) ( , )1 1 1 1 1 1 1 1( 2, 3, 1 , 6 ) 6 ( , , , ) ( 2 ) ( , , , )2 2 2 2 2 2 2 2( 2, 1 , 1 , 2 )T T u u u            2 2 2 1 11111( , ) ( 1 , 2 , 2 , 1 ) 3 ( , , , )22221 1 1 1( , , , )2 2 2 2u u      2 2 2 21 1 1 11 , ( , , , )2 2 2 2Tv v v    3 3 3 32 1 1 21 0 , / ( , , , )1 0 1 0 1 0 1 0Tv v v    数值分析数值分析1 2 3123( ) { , , } 1 1 1 1 1 1( , , , ) , ( , , , ) ,2 2 2 2 2 2 2 21( 2, 1 , 1 , 2 )10       得 到 的 标 准 正 交 基 为数值分析数值分析1 1 21 2 3 ,1 2 1 , 6A A Q 试 求 的 正 交 分 解 其 中已 知例 矩 阵为 法 正 交 阵 为 上 三 角 阵:1 2 31 2 3,( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 2 , 1 ) , ( 2 , 3 , 1 , 6 ){ , , } ( ) .:T T u uS u u u R A  的列线性无关是 的一组基解1 1 1 1 11111( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( , , , )2222u v v   1 1 1 12 , 2v u v   数值分析数值分析3 3 3 1 1 3 2 2( , ) ( , )1 1 1 1 1 1 1 1( 2, 3, 1 , 6 ) 6 ( , , , ) ( 2 ) ( , , , )2 2 2 2 2 2 2 2( 2, 1 , 1 , 2 )T T u u u            2 2 2 1 11111( , ) ( 1 , 2 , 2 , 1 ) 3 ( , , , )22221 1 1 1( , , , )2 2 2 2u u      2 2 2 21 1 1 11 , ( , , , )2 2 2 2Tv v v    2 2 1 2 133     3 3 3 32 1 1 21 0 , / ( , , , )1 0 1 0 1 0 1 0Tv v v    3 3 1 2 3 1 26 2 1 0 6 2         数值分析数值分析3 3 1 2 3 1 26 2 1 0 6 2         2 2 1 2 133     1 1 12 1 2 3 1 2 32 3 6( ) 0 1 20 0 1 0A u u u Q R     1 2 31 1 222 101 1 1 2 3 622 10( ) , 0 1 21 1 122 0 0 10101 1 222 10       数值分析数值分析五、内积空间中的正交系定义 2 - 18 设  1k 内积空间 V 中的非零向量序列,若有 0( , )0   1 k V 中正交向量序列(正交系)。 若还有 ( , ) 1 , ( 1 , 2 , ) v i ,则称  1k V 中一个标准正交 向 量序列(标准正交系),有时也称法正交序列或规范化序列。 数值分析数值分析1111( , ), 2 , 3 ,( , ):k jj u v    正 交 序 列1 1 1 1 111,( , ) , 2 , 3 ,:kk k k j j k k u v vv u u v v k      法 正 交 列,序五、内积空间中的正交系数值分析数值分析11 1 0( ) . . .( 0) , 0 , 1 , 2 , . . n p x a x a x a x     定 设义 次 多 项 式2 0)()()())()()(,(满足若多项式序列  .)(],[)( 0 的正交多项式上带权为区间则称  1、 正交多项式的概念和性质  .)(, . . . ) ,2,1,0(,1)( 0 为规范化正交多项式则称若      0( ) 1n 则 称 为 首 项 系 数 为 的 正 交 多 项 式 , 数值分析数值分析定理 2正交多项式的性质 :  0[ , ] ( )[ , ] .1 b p 性 质 上 带 权 的 正 交 多 项 式 系一 定 是 上 的 线 性 无 关 函 数 系010 0 1 10001, 0 , ,( ) ( ) .. . ( ) 0( ( ) , ( ) ) .. . ( ( ) , ( ) ).. . ( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) ) 0 0 , 0 , 1 , .. .,( ) , ( ) , .. ., ( )j j jk k jj j j k c c cc p x c p x c p xc p x p x c p x p xc p x p xc p x p x c j kp x p x p x          对 , 设 有 , .., 使线 性 无 关 。数值分析数值分析 00()( ) ( )k x c p x 任 何 次 数 不 高 于 次 的 多 项 式 g ( ) 均 可 由正 交 多 项 式 系 线 性 表 出2,质即性 0()( ) ( )k x xx c p x 因 为 正 交 多 项 式 是 线 性 空 间 P [ ] 中 的 基 ,所 以 有 00( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) )k j j k j j k x p x c p x p x c p x p xc p x p xg x p x p x数值分析数值分析 0( ) ,( ) 1( ) ( ) ) 0 1 , 2 , . . .k x a b xp x x p x n设 是 [] 上 带 权 () 的 正 交 多 项式 系 , 则 与 任 何 次 数 不 高 于 次 的 多项 式 g ( ) 正 交 , 即( ,性 质 3  210 1 1101 , , , .. .,( ) , ( ) , .. ., ( )( ) ( )sp a n x x a n p x p x p c p x  对 于 中 的 任 意 一 个 多 项 式 g ( ) , 总 有证 :g  10( ) ( ) ( ( ) , ( ) ) 0nn k k p x c p x p 有 g ,   , ( ) ) ( ) ( ) 0 ( 0 , 1 , . . . 1 )ax p x x x p x d x k 地 有 (数值分析数值分析()( , ) 正 交 多 项 式 有 n 个 互 异 实 根 , 且 全 部落 在性 质 4 内 。 00( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1x p x x p x p x d xc x p x d x n  由 证 ,:12( ) 0 ( ) , ),)p x a ba b x x x 且 ,所以 在( 内一定变号,因而一定在( 内有奇重根。设它们为 , ,. . . , ( k n ) ,今证必定k = n ) ( )aq x x x x x x xq x p x x q x p x d x   令 ) ( ) . . . (若k < n ,则必有0=( ( ), ( ))= ( ) ( ) ( )数值分析数值分析12( ) ( ) ( ) ( ),)( ) ( ) ( ) 0k n x x q x p x q x p q x p x 但 , ,. . . , 为 的偶重根,故 在( 内不变号,因此此为一矛盾,故必有 。以上性质对规范化正交多项式和首 1正交多项式都成立。数值分析数值分析 0010( ) 0 , 1( ) 1 ,( ) ?k x x p x d 区间[ ] 上带权 ( ) = 的最高项系数为1 的正交多项式系, 中例其求00100( ) 1 , 0 , ( ) ( )( ) ( ) 0x k p x p x x xx p x p x d 时 与 带权 ( ) =正交, 因此有解 1100010 , ( )2k xp x dx xd x  当 时 由 于1000() 102x  所 以 [a,b]中构造正交多项式      2010, , . . . , , . . . 1( ) ( ) , ( ) , . . . , ( ) , . . x x xx x x x   n=0由 = 1 , 可 构 造 首 的 正 交 多 项 式12111201,,,1)(,),(),( 由非规范化公式 :(即 :正交序列 )1111( , ), 2 , 3 , . . .( , )k jj u v   012110( ) 1, ( 2 , )( , ( ) )( ) ( )( ( ) , ( ) )x 得数值分析数值分析01110( ) 1( 0 , 1 , 2 , )( , ( ) )( ) ( )( ( ) , ( ) )x 得 到( , ( ) ) ( ) ( )[ , ] ( ) ax x x x x d xa b x   以 上故 不 同 的 、 得 到 不 同 的 正 交 多 项 式数值分析数值分析01 1 110112( ) 1( ) ( ) ( ) ( )( 0, 1 , 2, )( ( ) , ( ) )( 0, 1 , 2, )( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) )0, ( 1 , 2, )( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) ) ( ) ( )k k k k k x x x x x x x x             其 中公 式 中 内 积简化的递推公式数值分析数值分析0 ( ) 1x 令推导简化的递推公式10( ) 1 1 , 2( ) ( ) ( ) 1k i x kx x x c x   是 首 的 次 多 项 式 由 性 质 有( )10( ) ( ) ( 0, 1 , 2, ..., 2 )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k i j x j kx x x x x x dx c x x x        上 式 两 边 乘 以 再 积 分 ,得由性质 3知=0=00( ) ( ) ( ) 0k bi j x x x d x   数值分析数值分析0020 0 1 0 100 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x x x x x dx c x x x x x x           0j 令由性质 3知 200 ( ) ( ) 0x x d x 0 0c1 2 21 , 2 , , 2 0kj k c c c      同 理 对 可 得1 1 11( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )k k k k k kx x x c x c x       ( ) 式 为1( ) ( ) 上 式 两 边 乘 以 再 积 分 , 得数值分析数值分析111 1 11 1 1( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k k k k x x x x x
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本文标题:数值分析(03)内积空间与内积空间中的正交系
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