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数值分析(02)线性空间与赋范线性空间

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数值分析课件
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数值分析数值分析第二章 数值分析基础第一节 线性空间与赋范线性空间第二节 内积空间与内积空间中的正交系第三节 初等变换阵与特殊矩阵数值分析数值分析第一节 线性空间与赋范线性空间一、线性空间定义 2 V 是一个非空集合, 果① 在集合 V 中定义了加法运算,记为 “ +”,② 即 ∀α, β∈ V ,有 α+β∈ V ;③ 在数域 的元素之间定义了数量乘法,④ 即 ∀ k∈ F, α∈ V ,有 V ;⑤ 上述定义的加法和数乘运算满足代数运算的八条规则则称集合 V 是定义在数域 为 V ( F)。, ; ,   设;)1(  代数运算的八条规则;1)5(      ;)6(    .)8(    ;)7(  ;0 ,,)4( 使的负元素都有对任何 ,,0)3( 都有对任何中存在零元素在   ;)2(  数值分析数值分析线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念,它是向量空间概念的推广. 量 空 间1212( , , , )x x x 维 向 量 为 列 向 量.,分量的个数所含向量的“维”是指向量为行向量是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作线性空间,进而通过研究线性空间来解决实际问题.R :可以看成是实数域 R 上的线性空间,加法和数乘是实数中的加法和数乘;C :可以看成是复数域 C 上的线性空间,加法是复数的加法,数乘是实数与复数按复数乘法相乘;R m × n ( C m × n ): 实数域(复数域)上所有m × n矩阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘,构成线性空间;2、几个具体的线性空间实例数值分析数值分析P[x]n:实数域上所有次数 ≤ n的多项式。按多项式加法和数乘多项式定义加法和数乘,构成线性空间。但次数=n的多项式全体不能构成线性空间;P[x]:实数域上多项式全体 [ a,b ] : 区间 [ a, b ] 上一元连续函数的全体。是R 上的线性空间 ,因为两个连续函数之和以及实数 k 与连续函数乘积仍是连续函数;C n [ a,b ]: 类似于 C [ a,b ],在区间[ a, b ]上n阶连续可微的一元函数全体 上的线性空间。数值分析数值分析(1)一个集合,如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运算的封闭性.例1 实数域上的全体 矩阵,对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作 .nm线性空间的判定方法 中 任 意 两 个 矩 阵 定 义 矩 阵 的 “ 加 法 ”和 “ 数 乘 ” 运验 证 :算 , 且 封 闭( ) , ( )()( ) ,m n m m n ij m ij m m nA a R B b a b RA a R R            即:加法数乘所以 是线性空间。数值分析数值分析1 0 1 0, [ ] ,[ ] { ( ) , , , } ,,n xP x p x a x a x a a a a R     次 数 不 超 过 的 多 项 式 的 全 体 记 作 即对 于 通 常 的 多 项 式 加 法 数 乘 多 项 式 的 乘 法 构 成 线 性空 间例 2)()( 0101  )()()( 0011  ][ xP n)( 01  )()()( 01   ][ xP n[ ] 运 算 封 闭数值分析数值分析1 0 10[ ] { ( ) , , ,, 0 }n x p x a x a x a a a    次 多 项 式 的 全 体且对 于 通 常 的 多 项 式 加 法 和 数 乘 运 算 不 构 成 线 性 空 间例 300  xx n  ][ xQ n.][ 对运算不封闭xQ 在区间 上全体实连续函数,对函数的加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的线性空间.],[ ) , ( ) [ , ] ,( ) ( ) [ , ] ,( ) [ , ] ,f x g x C a bf x g x C a bf x C a b R有数值分析数值分析例 5 正实数的全体,记作 ,在其中定义加法及乘数运算为R .,,,,   验证 对上述加法与数乘运算构成线性空间.R(2)一个集合,如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律.证明 ;,,   ,    所以对定义的加法与数乘运算封闭.数值分析数值分析下面一一验证八条线性运算规律:;)1( );()()())(2( 有对任何中存在零元素 ,,1)3(   1 使有负元素 ,,)4( 1   11   )5( 1       ;)6(     ; )7(      )()()8( 所以 对所定义的运算构成线性空间.  数值分析数值分析3、线性空间的基和维数已知 :在 中,线性无关的向量组最多由个向量组成,而任意 个向量都是线性相关的.Rn n1线性空间 多能有多少线性无关的向量?数值分析数值分析3、线性空间的基和维数若12, , , ( )    ( 1 , 2 , , ) i n  , 则 1 1 2 2      k k =1() F 则 称  为12, , ,  称  可 由12, , ,   数值分析数值分析1 2 1 21 2 212:, , .. ., , , , .. .,F.. . 0, , .. ., , k k k         设 V 是 定 义 在 数 域 上 的 线 性 空 间 ,若 存 在 一 组 不 全定 义 2为 零 的 数, 使 则 称 元 素 组 线 性 相 关 否 则 称 它 们 线2性 无 关 31 1 2 2 3 3,,( ) ( ) ( ) 0: k k kk f x k f x k f x  设 有 使解221223[ ] ( ) 1 ,( ) 2 5 , ( ) 316,P x f x x xf x x f x x x      已 知 素例 中 的 元1 2 3( ) , ( ) , ( ) .f x f x f 的 线 性 相 关 性数值分析数值分析131 2 31 2 302 3 05 6 0k kk k k      21 3 1 2 3 1 2 3( ) ( 2 3 ) ( 5 6 ) 0k k x k k k x k k k       即3231 3( ) , ( ) , ( )f x f x f 线 性 相 关 。1 2 3( ) ( ) ( ) 0f x f x f x  0 1 1 - 1于 是 存 在 不 全 为 的 数 、 、 使 得数值分析数值分析2 3 40 1 2 3 4 0k k x k x k x k x    即 :0 0 1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ( ) 0) ( )k p x k p x k p x k p x k p x    令解 :0 1 2 3 4 0k k k k k     2 3 40 1 2 3 4( ) 1 , ( ) , ( ) , ( ) , ( ).p x p x x p x x p x x p x x    所 以是 线 性 无 关 的4 0 12 3 42 3 4[ ] , ( ) 1 , ( ) ,( ) , ( ,) ( ) .P x p x p x xp x x p x x p x x  在 线 性 空 间 中 证 明 :是 线 性 无 关 的例 2数值分析数值分析;,,, )1( 21 线性无关n .,,,, , 21维数的称为线性空间基的一个就称为线性空间那末 ,,,, 2)( 21表示线性总可由中任一元素  定义 2线性空间 中, 如果存在 个元素 ,,, 21 满足:V,. nn n 为 的 线 性 空 间 称 为 维 线 性 空 间 记 作1 线 性 空 间 是 维 线 性 空 间P [ ] 1是 维 线 性 空 间[ , ]C a b 是 无 穷 维 线 性 空 间 。数值分析数值分析4、线性空间的子空间设 V 是线性空间,12, , ,   令 1 1 21| , , ,   ni i k k k k F 则1V 是 V 的子空间,称为由元素12, , ,   记作  1 1 2, , ,   nV sp  2[ ] 1 , , , , x sp an x x x  是 C [ a , b ] 的子空间 数值分析数值分析矩阵代数中的几个重要子空间 0( ) ,( ) | 0 ,m n A x R A x A R R    设 ,齐次线性方程组 的全体解集合是 的子空间,称1为 的零空间,记为、矩阵的零空间1 1 20 1 1 ( ) 4A N A, 求例 已 知数值分析数值分析1 1 2 1 1 2 1 0 10 1 1 0 1 1 0 1 11 3 4 0 2 2 0 0 0                         解1323    311 , 11( ) |( 1 , 1 , 1 ) | n k k Rk k R         令 基础解系为的零空间为数值分析数值分析()( 1 ) ( ) 0  ,若是齐次线性方程组矩阵 的零空间的一般结论的解空间。 ( 3 ) d ( ) ) 0 , ( ) ,0 ( ) 0N A r A nA x N A若即则 只有零解 。( 2 ) ( ) )N A n r数值分析数值分析 ),...,2,1(,:.. 维列向量个含按列向量分块1 1 1 2 12 1 2 2 212......()... ... ... .....m nm m m na a aa a a a矩阵的两种分块表示( 2)矩阵的列空间和行空间数值分析数值分析维行向量个含按行向量分块 :21.,...,2,1),...,,(.,...,2,1),...,,(2121是行向量是列向量数值分析数值分析111( , , )ni i x y       1212, , , , A      ( ) | ,( ) ,n R A y R y A R     的 列 空, 由 的 列 向 量 生 成 的 集 合 是的 子 空 间 , 为称 为 间 , 记 12( ) , , , s p a n    数值分析数值分析111( , , )j x y         12( ) , , ,( ) ,   的 行, 由 的 行 向 量 生 成 的 集 合 是的 子 空 间 , 称 为为 空 间 , 记 ( ) | ,T n T m y R y A x x R R     ( ) ) ( ) ) ( ) R A r A显然数值分析数值分析  中元素求由 342)( 231  932)( 232  6)( 33  234  例0)()()()( 44332211  5()7694()532()22(43214321242134321设 该 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为 则0000000012104301~初等行变换 42 3 4342k k kk k k   即数值分析数值分析有且该子空间的维数为所生成的子空间的基是线性无关因此,2,)(),(),(),(,)(),(,432121()(4)(),(2)(3)(2142131 3 42 3 4342k k kk k k   又1 2 3 41 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x xf f f fk k k k   数值分析数值分析,2211     .,,,,,,,,,,212121并记作基下的坐标这个在称为元素有序数组1212, , , ,, , ,,,x   设 是线性空间 的一个基 对于任一元素 总有且仅有一组有序数使定义 2素在给定基下的坐标数值分析数值分析24 1 2 33445[ ] , 1 , , , ,.P x p p x p xp x p x  在 线 性 空 间 中就 是 它 的 一 个 基例 12 3 41 2 3 404pa a x a x a x a x   任 一 不 超 过 次 的 多 项 式1 2 3 40 1 2 3 4 5 p a p p p p pa a a a   可 表 示 为0 1 2 3 4( , , , , )a a a 在 这 个 基 下 的 坐 标 为数值分析数值分析231 2 3 4451 , 1 , 2 , ,,q q x q x q    若 取 另 一 基则544332211 45342321 2)1( 453423221 2)( 453423120212 40 1 2 3 4p a a x a x a x a x    21453423121014433221110 21)( ) , ,21, ,( 432110 这个基下的坐标为因此注 线性空间 V 的任一元素在不同基下所对应的坐标一般不同,一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的.数值分析数值分析12 , , , ,,.,  设 是 维 线 性 空 间 的 一 组 基 在这 组 基 下 中 的 每 个 向 量 都 有 唯 一 确 定 的 坐 标而 向 量 的 坐 标 可 以 看 作 中 的 元 素 因 此 向 量 与 它的 坐 标 之 间 的 对 应 就 是 到 的 一 个 映 射 ,, .nn V R由 于 中 的 每 个 元 素 都 有 中 的 向 量 与 之 对应 同 时 中 不 同 的 向 量 的 坐 标 不 同 因 而 对 应中 的 不 同 元 素 我 们 称 这 样 的 映 射 是 与 的 一 个对 应 的 映 射 这 个 对 应 的 重 要 性 表 现 在 它 与 运算 的 关 系 上6、线性空间的同构数值分析数值分析的坐标分别为与于是  k21212121设121 2 1 2, , , ,( , , , ) ( , , , ) ,a a b b b    即 向 量 在 基 下 的 坐 标 分 别 为和 则 ()()( 222111    2211),,,(),,,( ),,,(21212211),,,(),,,( 2121 n  数值分析数值分析: ,, 表 明 在 向 量 用 坐 标 表 示 后 它 们 的 运 算就 归 结 为 坐 标 的 运 算 因 而 线 性 空 间 的 讨 论 就归 结 为 的 讨 论定义 设 U、 果它们的元素之间有一一对应关系 ,且这个对应关系保持线性组合的对应,那末就称线性空间 同构 论构成线性空间的元素是什么,其中的运算是如何定义的,我们所关心的只是这些运算的代数性质.从这个意义上可以说,同构的线性空间是可以不加区别的,而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.数值分析数值分析三条公理,与其对应,且满足以下实数若存在唯一上的线性空间,是数域设定义 21 ) : 0 , 0 0( 2 ) : ,( 3 ) : , ,x x xk x k x k Fx y x y x y V         正定性 且齐次性三角不等式。空间称为赋范线性空间的线性的范数。把定义了范数称为向量则实数 一般可表示为范数的形式地表示成以上三种范数可以统一,,2,1,)(11, , , ) , : ( ): m a x( 1 ) :x x x           常 用 的 范 数 有 如 下 三 种向 量 的 范 数向 量 的 范 数向 量 的 范 数 x,p)2. [ , ] a 的 范 数数值分析数值分析1111 计 算 向 量 的 范 数算 法s=0;i=1:ns=s+x(i)); )2 计 算 向 量 的 范 数算 法s=0;i=1:ns=s+x(i)*x(i);s)s=0;i=1:ns=s+x(i)^2;s)数值分析数值分析1m3 ax   计 算 向 量 的算 范 数法s=0;i=1:x(i))>s,s=x(i)); = m a x 为 向例 : 量 范 数 .( 3 ) ( ),,i n i ni n i nx y x y x yx y x y x y V               i i i m a x m a xm a x m a x( 1 ) 0 ,0 0 , 1 , 2 , . . . , 0x i n x     显 然证 :( 2 ) ,i n i nk x k x k x k x k F      m a x = m a  m a x 等价的有限维空间中的范数是对有限维空间有结论有关系式可以证明122 1 21 2 2 112, . :, ( 0 ) , PR x x C C x RC x x C x   在 上 所 有 的 范 数 是 等 价 的 即 如 果 和 是上 的 范 数 则 存 在 正 常 数 和 对有数值分析数值分析例: 证明注意:在同一问题中不能混用不同的范数。量范数的等价性不成立。2 2 2 22 1 211|| || m |m | || ||x x x n xn x n x    证 :2| | | | | | | | | | | |x x n x2 2 2 22 1 2 11| | | | m a x | | m a x | | | | | |n i ii n i nx x x x x x x          2| | | | | | | | | | | |x x n x  数值分析数值分析 11222,( ) [ , ] ( )2 : ( ( ) ): ma x ( )( 2 ) [ , ] :a bf x C a bf f x d xf f x d a        也 有 以 下 的 三 种 常 用 范 数范 数范 数范 数数值分析数值分析1[ , ] ( ) ( )a b f f x d x f x证 明 在 中 , = 为例 : 的 范 数 3 ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )( ) ( ) ,( ) , ( ) [ , ]g f x g x d x f x g x d xf x d x g x d x f gf x g x C a b      =11( 1 ) 0 , 0 ( ) 0f f f x   证 显: 然11( 2 ) ( ) ( ) ,kf x dx k f x dx k f k F   =1 ( ) ( ) [ , ]f x d x f x C a b所以 = 为 在 ( : )( ) ( ) 0, ( ) 0 0 ;( ) , ( ) ( ) ;( ) ,( ) ( ) (();( ) ,( ) ( )2- 6 ()3.)() F F A F kA k F B F A F B F A F R      中 阶 方 阵 的 范 数设 矩 阵 , 若 存 在 一 个 实 值 函 数与 其 对 应 , 且 满 足 以 下 条 件① 正 定 性 及 当 且 仅 当② 齐 次 性 有③ 三 角 不 等 式 有④ 相 容定性 有则 是义称 上 的 一 个 ,. 的 范 数 也 记 为即向量的范数具有相容性这就要求矩阵的范数和使用混合在一起矩阵范数常与向量范数大多数情况下,,,数值分析数值分析2 1211:( 1 ) ()()rb e ni  即 矩 阵 的 欧 氏常 用 的 矩 阵 范 数 有 两 种范 数数 范 数 , 记 为 范11| || m |n a  按 的 范 数 来 定 义 不 是 矩 阵 的 范 数 .,不成立。显然而如||||.||||||||1||||||||,2||||2222,1111数值分析数值分析( 2)算子范数(从属范数)即有由对,,,0,定义 2阵的算子范数)为向量范数。其中 m a xm a 数值分析数值分析1:,的列范数称为范数①矩阵的也有三种范数相对应常用的矩阵范数与向量 的行范数称为范数②矩阵的.)()()()(2m a xm a 阵的数值分析数值分析1 111 m A a    例 证 明 矩 阵 的 范 数 ,: :00时 结 论 显 然 成 立 。 因 此 在 下 面 的 证 明 中 总 假 定证 明 : 。11 x x  1则 对 任 意 的 满 足 , 有01 11 1 11m n nj j j j j j j jA x x a x a x a a         1 1 10121[ , , .. ., ] ,m A a a aa a A111将 给 定 的 按 列 分 块 为 并 记=00000 1111n j eA e a 此 外 , 若 取 为 阶 单 位 矩 阵 的 第 列 , 则 有 ,而 且11 11 1 11m a x m a x m a j n j x a a         因 此 有数值分析数值分析特 征 值 及 对 应 特 征 向 量 对:0,),(   满足特征对0,0)(0,  0)d e t (   的特征值是de t ( )( ) de t ( ) A是 的 ,记 为特 征 多 项 式()I A A 称 是 的 特 征 矩 阵 ;( ) 0 , d e t ( ) 0 A A  即 是 的 特 征 方 程数值分析数值分析1 2 , 35 , 3A 的 特 征 值 ,4 0 12 3 2 , ( )1 0 4A A A 求 的 谱 半 径例 : 。24 0 1( ) d e t ( ) 2 3 2 ( 5 ) ( 3 ) 01 0 4 A             令解 :( ) 5 的 谱 半 径定义 2 - 8 设,记 A 的全部特征值为 A 的谱 )( A , 即   ,,,)( 21  ,记 ( ) m a x | |  A 的谱半径。 数值分析数值分析特征值和特征向量的性质 :.)2( 量是线性无关的的不同特征值的特征向A  12( 1 ) , , , ,i j a    设 阶方阵 的特征值为 则有1 2 1 1 2 2 ;n n na a a        12    1 1 1 2122 1 2 2( ) ( )        验证:21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 121 2 1 2()()a a a a a a            1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( )a a a a   ;矩 阵 非 奇 异 无 零 特 征 值数值分析数值分析 ( ) ( ) A A  与 有 相 同 的 谱则有特征对若 ),,()5( ( , ) , ;k A k x k R  有 特 征 对 非 零( , ) ,x m N 有 特 征 对1 1( , ) , d e t ( ) 0 ;A x A  有 特 征 对( 3 ) ,一定有个线性无关的特征向量( 4 ) , )  有 特 征 对( , ) ,: ,0A x A x x x 的 特 征 对 为 即证2( ) ( ) ( ) ( ) , 0A A x A x A x x x x        数值分析数值分析m a )n n A A A  证 明 矩 阵 的 范 ,例 数 ::证 明 :, 有 0),(),(|||| 22  , 由于 是 半 正定的 对称阵, 的特征值 ),,2,1(  为非负 的实数 ( ) ( )11 j jj j x a A A U a U2 ( ) ( ) 2 2 22 1 1 21 1 1 1| | | | ( , ) | | | | | | | |n n n j j j j jj j j jA x a U a U a a x             021  n  ,另设其对应的特征向 量是 )()2()1( ,,, , 它可作为 的一组 标准 正交基。对任一个非零的向量 x 有展开式 )(1 ,其中 ),( )( 为展开系数 数值分析数值分析( ) ( )11 j jj j x a A A U a U2 ( ) ( ) 2 2 22 1 1 21 1 1 1| | | | ( , ) | | | | | | | |n n n j j j j jj j j jA x a U a U a a x             22122|| |||| ||若取 )1( ,则 1|||| 2 x , 且 1)1(1)1(22 ),(),(||||   故 )(||||m || m ||222x 。证毕。 数值分析数值分析, . , ( 12 - 1, 2 , ) ( )nn p A A   ( 特 征 值 上 界 定 理 )设 对 于 有定 理。,.: ,,p p p A U A    设 是 的 任 一 特 征 值 为 相 应 的 特 征 向 量则 有因 是证的 任 一 特 征 值 故 定 理 得 证明 , ( )+2 - 2 设 对 任 意 的 正 数 , 存 在 某 种 矩 阵范 数 使 得定 理。数值分析数值分析.,1,,,1m 1, 1 , ,11)112 - 3( A I      若 则 是 非 奇 异 阵 且 有定 理0 0 0.( 1 ) , ( ) 0 ,0,:I A I A x x    用 反 证 法假 设 是 奇 异 阵 则 有 非 零 解 即存 在 使证 明100 11)( 1即)()()()(1,)()()2(111 有两边取范数又由1)(11  ) ( )( ) ( )I A I I A I I A A      再 利
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本文标题:数值分析(02)线性空间与赋范线性空间
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