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数值分析(01) 数值计算与误差分析

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数值分析数值分析主 讲:张 明 础楼 201): 89741231): 89731281码 123456数值分析数值分析第一章 绪 论第一节 数值分析的研究对象和特点数值分析实际上就是介绍在计算机上解决数学问题的数值计算方法及其理论 202 [ 0, )t xe dx t   概 率 积 分000( , )()x y x x y 数值分析数值分析第一章 绪 论第一节 数值分析的研究对象和特点计算机硬件软件功能 算术与逻辑运算核心 算法 数值算法非数值算法计算机硬件的特点是快 值分析数值分析第一章 绪 论第一节 数值分析的研究对象和特点我们把在电子计算机上进行的科学工作称为科学计算。科学研究的方法 : 科学理论 ,科学实验 ,科学计算科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具,以数学模型为基础进行模拟研究。数值分析数值分析第一节 数值分析的研究对象和特点科学计算的步骤 :实际问题 → 数学模型 → 数值方法→ 程序设计 → 上机计算 → 分析结果。1、建立数学模型(实际问题数学化)2、设计计算方案(数学问题数值化)3、程序设计(数值问题机器化)4、上机计算并分析结果000( , )()x y x x y 数值分析数值分析第一节 数值分析的研究对象和特点数值分析是计算数学的基础课, 主要内容 包括数值代数 : 线性代数方程的数值解法, 求矩阵特征值的数值解法, 非线性方程组的数值解法 函数插值,函数逼近,数值积分,数值微分,常微分方程的数值解法 、要根据计算机的特点设计有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算。因此“归纳”成了不容忽视的思维方法。2、要有可靠的理论分析。即近似解能任意达到精度要求,近似算法要保证收敛性和稳定性。因此讨论的核心问题是“误差”。3、要有好的计算复杂性。计算复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。时间复杂性好是指节省时间,空间复杂性好是指节省存储量。因此这是在算法设计和程序设计中要研究的问题。4、要有数值实验。即任何一个算法都要通过数值试验证明是行之有效的。数值分析数值分析学习重点 :3. 数值方法的计算机实现(计算机实习)1. 构造数值方法的原理(支撑理论)2. 评价数值方法的好坏( 研究数值方法的性态、可靠性、效率 )迭代法 ,以直代曲 ,化整为零 ,外推法要掌握高级编程语言 : C , 1 用 — 容易2 用 — 轻松3 用 — 简洁4 使学生通过学习和实验,初步建立并理解数值计算,特别是科学与工程计算的基本概念,为进一步深入的学习打下坚实的基础。数值分析数值分析考试评分:平时作业 +程序占总成绩的 30%,期末考试占总成绩的 70%,开卷考试。作业要求:每周有课外练习,两周交一次作业,一学期完成 3 个综合程序课题设计。基本要求码 123456数值分析数值分析第二节 数值问题与数值算法求数学问题的数值解称为 数值问题 从给定的已知量出发,经过有限次四则运算及规定的运算顺序,最后求出未知量的数值解,这样构成的完整计算步骤称为数值算法,简称算法。评价算法的两个主要标准: 速度和精度数值方法: 适合在计算机上,按确定顺序依次进行计算的计算公式,也就是通常所说的数值计算方法。数值分析数值分析一个面向计算机 ,计算复杂性好 ,又有可靠理论分析的算法就是一个好算法 间复杂性 和 空间复杂性时间复杂性即 计算量 : 一个算法所需四则运算总次数 . 单位是 储量第二节 数值算法数值分析数值分析();;1 : 7*;*;or is s n d算 法f l o 4计算量(输入 x, 输出 y)255 给出 x,计算A:x·x··xB:x·x2·x4·x8·3。数值分析数值分析32( ) 3 4 2 62 p x x x x   计 算 多 项 式例 : 的 值 。23,算 法 算 出: 后 再 算 。需乘法 5次,加法 3次,存储单元 7个。( ) [ ( 3 4 ) 2 ] 6p x x x   算 法 :需乘法 3次,加法 3次,存储单元 6个。数值分析数值分析算法 B、 秦九韶算法 1247 (又称为 819)需乘法 法 储单元 n+3个。有递推公式算法 A、 需乘法 2法 储单元 n+4个。0111)(   1 2 1 0( ) ( ( ( ( ) ) )n n n nP x x x x x a x a a a a     nn   10)( n  0,1,2,,1  算 0 )1:*( ) *or i nt x tu u a i te n d算法 A (输入 a(i)(i=0,1, … ,n),x;输出 y)f l o 计算量11 1 0()n nP x a x a x a x a    注意数值分析数值分析()1 : 1 : 0* ( )p a nf or k np x p a ke n d  算法 B (秦九韶算法)(输入 a(i)(i=0,1, …,n ),x;输出 y)fl o 计算量注意  10)( n  0,1,2,,1  1 2 1 0( ) ( ( ( ( ) ) )n n n nP x x x x x a x a a a a     有递推公式数值分析数值分析 a 1 … a 2s......… ... …a b 1 … b 2n......… ... … m 的 计算量为 N= m n (2ik k i 1 , ,m ; j 1 , ,   A 矩阵乘积 : 求解 … +a 1………… (1)… +a 莱姆 (则 可知 ,如果方程组(1)的系数矩阵 一般记为 D=|A|)不等于零 ,那末 ,这个方程组有唯一解 ,而且它们可以表示为i/D (i=1,…,n)这里 ,中第 b n)代替构成的行列式。Ax=法步骤o )1((12)(1N=[(n!+n]0, N= 020 要算亿次的计算机,用每秒约为运算次数)法则求解用克莱姆(时当线性方程组3001 0 20,20C r am e 60,约为运算次数)消元法求解用高斯( G 下面给出矩阵 ,  m n n x R y R ,计算 Ax y , 存放在 y 中。 即 1, 1 , ,   ni ij j a x y i m 算法 A ( 行型) : i = 1 : m j = 1 : n y( i ) =A ( i, j) * x( j ) + y ( i ) e 算法 B ( 列型) : j = 1 : n fo r i = 1 : m y( i) =A ( i, j) * x( j ) + y ( i ) e 数值分析数值分析一、误差的来源与分类1、模型误差, 2、观测误差 ,3、截断误差, 4、舍入误差数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据后,用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表达式。在数学模型中,往往包含了若干参量如物体比重、阻力系数、热交换系数等,这些物理参数通常由实验仪器测得,根据仪器的精密程度,物理参数的确定也会产生一定的误差。第三节 数值计算的误差分析数值分析数值分析一、误差的来源与分类001 tL t L 金属棒在温度 的长度, 是 度时金属棒的长度,求在任何温度下金属例棒的长度。200066( 1 )0 1 2 5 3 1 0 , 0 0 0 6 8 1 0 t      根据热胀冷缩原理和物理实验,可建立如下数学模型:这里 是金属棒在 时的长度, 、 为物理参数并有如下估计:1 、 模型误差 数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。在例 1中, 就是模型误差。值分析数值分析一、误差的来源与分类6102、 观测误差 通过仪器观测,确定数学模型中的参数所引起这种的误差称为观测误差。在例 1中的 就是观测误差。232331 1 11,2 ! 3 ! !11( ) 12 ! 3 !x x x x x x x         求 的近似值。例23、截断误差 模型的准确解与某种数值方法的准确解之间的误差称为截断误差或方法误差。在例 2中,就是截断误差。431()4! x x   数值分析数值分析4、舍入误差 用计算机计算,由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差称为舍入误差。在例 2中 的用 4位浮点机计算 所产生的误差就是舍入误差。161 0 . 1 6 6 7 0 . 0 0 0 0 3 3 46    数值分析数值分析1( ) , 0 1( 1 ) !x   例 1: (截断误差 )2311 1 11,2 ! 3 ! !x x x       已知求 的近似值,并估计误差。解: 利用展开式的前三项,取 n=2,(21)1(1 21  5 1 . 7 * 1 03!   截断误差0 0 0() ( 1 )1000( ) ( ) '( ) ( )() ()( ) ( )! ( 1 ) !n a y lo r f x f x f x x fx x x       由 公式:二、截断误差分析数值分析数值分析二、截断误差分析234 3 5011 ( ) , si n ( ) ( )2 ! 3 ! 3 !si n ( )h O h h h h O       当 时 , 有 如 下 开 式试 确 定 求 解 + 的 近 似 计 算 公 式 及 截例 2 :断 误 差 。2 3 4 3 524241 1 1s ) 1 ( ) ( )2 ! 3 ! 3 !11 2 ( )2!1s ) 1 2 ( )2!h h h h O h h h O hh h O he h h h O h             近 似 计 算 公 式 + 的 截 断 误 差 为解 :。数值分析数值分析例 1:设在一台虚构的 舍入误差为 :考虑 *入误差分析数值分析数值分析舍入误差对计算结果影响很大1231 1 1112 3 61 1 1 132 3 4 12471113 4 5360                          考察方: 程组例1321  21  : 考虑 y=x.^7-7*x.^6+21* x.^5x.^4+35* x.^3x.^2+7* x -1;x, y)x;y=x^7-7*x^6+21* x^5x^4+ 35* x^3x^2+7* x -1;y,[数值分析数值分析在实数系中,每一个实数可以有 无穷位 ,不同的实数代表数轴上不同的点;7 3 2 0 5 0 8 0 在计算机数系中,每一个数只有 有限位 ,只有部分有理数能被计算机数系中的数精确表示。表示。不能被计算机数系精确3浮点数: 102=103这种允许小数点位置浮动的表示法称为数的浮点形式。实数  . 10c,尾数阶码0,1,2,… ,9}, c∈Z 基数, (1) 称为 x 的规格化的浮点形式(1)1、计算机数系数值分析数值分析x的 进制 机器数 fl(x)可用两种方法定义:( 1)截断式fl(x)= 0. a1 . 10 11 2 10 . 1 0 5()( 0 . 1 0 ) 1 0 5a a af l xa a a a       x=  0. … 10c(2)四舍五入式x 的  0. a1 . 0c, y=fl(x)0,1,2,…,9}, , Lc U,L、 U 是常数。数值分析数值分析一般数制情况:  0. a1 . c , =2,8,10,16,0,1,2,… ,  Lc U,F(,k,L,U)表示以上数集全体加数 0,它是计算机中使用的有限离散数集 (机器数系) 。F(,k,L,U)中的数称为机器数。F(10,4,3), y=  4 1 5 9 2 6  在此机器数系 中表示 ).数值分析数值分析例 5 在机器数系 F(10,4,3)中表示 ) 1 4 1 5 9 2 6 ( 1 0 , 4 , 3 3 , 3 3 ) ,F   3 3 3 30 . 1 0 0 0 1 0 0 . 9 9 9 9 1 0   若浮点数的阶码不在 [L,U]内,则出现上溢或下溢。采用截断式 )=10采用四舍五入式 )=例如 在 4位机器数系 F(10,4,3)中输入出现下溢,输入 出现上溢。( 10 , 3, 2, 2: )F 通 过 分 析 浮 点 数 集 合 在数 轴 上 的 分 布 , 讨 论 一 般 浮 点 数 集 的 分思 考 题布 情 况 。的误差和有效数字定义 1设数 x是 re a 近似值 的绝对误差,称 为近似值 的相对误差。e a x x x a x   ,称 为数 的近似值 的绝对误差限,r r x x  ,称 为近似值 的相对误差限。数值分析数值分析例 6 已知准确值 a=是一个无限不循环小数,求截取不同位数后的近似值和误差界。解:10113,0 ;2xe a x    截取一位22223 ,10 1 6 1 0 ;2xe a x     截取三位34333 . 1 4 1 6 ,10 . 0 0 0 0 0 7 4 1 02xe a x     截取五位。a 的 近 似 值 的 绝 对 误 差 都 不 超 过 本 身 末 位 数 的 半 个 单 位是截取相应位数后,所得到的近似数中绝对误差的最小值。数值分析数值分析43443 1 510 0 0 9 3 1 02xe a x     是截取相应位数后,所得到的近似数中绝对误差的最小值。 1210 . 1 00 , 0 , 1 , . . . , 9 )a a a a  设 规 范 化 近 似 数的 绝 对 误 差 限 是 第 位 的 半 个 单 位 , 则 数 有位 有 效 数 字 。 (定 义 1 1 4 1 6 ,10 . 0 0 0 0 0 7 4 1 02xe a x     截取五位。343 . 1 4 1 6 3 . 1 4 1 5 有 五 位 有 效 数 字 , 有 四 位 有 效 数 字 。a 的 近 似 值 的 绝 对 误 差 都 不 超 过 本 身 末 位 数 的 半 个 单 位数值分析数值分析例 7: 以下近似数是经四舍五入得到的300003问它们分别有几位有效数字 ?解: 位有效数字 , 有 3位有效数字。位有效数字 , 位有效数字。3000有 5位有效数字, 03有 2位有效数字。例 8:设 x=x*= 答案 :5位数值分析数值分析例 :101, a=100 , e=1, x =42196, a=42195, e=1, 对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异。一个近似值的准确程度,不仅与绝对误差的大小有关,而且与准确值本身的大小有关。数值分析数值分析例 9: 设计算机数系为 F(10,t,L,U),将实数x=± … × 10c,(),用四舍五入法表为机器数 fl(x);求其有效数字、绝对误差限、相对误差限。解:1 2 11 2 1( ) 1 00 . , 50 . 1 0 , 5l x aa a a a a a   ( ) . fl x 0 5 1 0    相对误差为绝对误差为:机器数的相对误差与 与字长 义 10为机器精度。fl(x)有 数值分析数值分析注:( 1)在数值计算中,尽可能多地保留近似数的有效数字,有效数字越多, 相对误差越小,计算结果越精确。( 2)对 08数值分析数值分析绝对误差和相对误差。的的近似值,讨论分别为 ),(,, 表示某一种确定的运算:),( 的绝对误差u|),(),(|||)(  |)(),()(),(| )(|),(|)(|),(|  | | | |y    3、数值运算中的误差估计1)数值运算的绝对误差和相对误差( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( )f x y f x yf a b f x y a x b      数值分析数值分析| | ( , ) | || | ( ) | | ( )| | | |r r rf x f x y yx y ux u y u    的相对误差u||)(|),(|||)(|),(|||)()()(|| |||),(|)(|| |||),(| ||)(|),(|||)(|),(|数值分析数值分析)()()()(||)(||)()3(22计式、差、积、商的误差估由以上公式可以推导和)(||)(||)()()()()1()()()()(||)(||)()2(3、数值运算中的误差估计2)和、差、积、商的误差估计式数值分析数值分析22( 3 ) ( ) | | ( ) | | ( )( ) ( ) ( )r r rx y y    计式、差、积、商的误差估由以上公式可以推导和( 1 ) ( ) ( ) ( )( ) | | ( ) | | ( )r r rx y x y x yx y x y        ( 2 ) ( ) | | ( ) | | ( )( ) ( ) ( )r r rx y y x x yx y x y    3、数值运算中的误差估计2)和、差、积、商的误差估计式数值分析数值分析(1) 加减法先对阶 ,后运算 ,再舍入fl(x) ± y)= fl(x) ± y))例 1:在 F(10,4,3)的计算机上计算 1+ 104解 : 1+ 104 =101+ 105= 105 + 105 (对阶,靠高阶 )= 105 = 105 = 104(2)乘除法先运算 ,再舍入x) × y)= fl(x) × y)),x) ÷ y)= fl(x) ÷ y))(3) 不在计算机数系中的数做四舍五入处理注:浮点数加法不满足结合律4、 数值计算中应注意的问题计算机中数的计算特点 :数值分析数值分析1) 防止大数吃小数当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时 ,绝对值小的数有可能被绝对值大的数 "吃掉 "从而引起计算结果很不可靠 新排序计算上式 = 23456=1+ 23456= 105+ 105=23457例 2:在 F(10,5,19)中,计算 23456+105+ 105+ 105+ 105 =234564、 数值计算中应注意的问题数值分析数值分析 1111 解:2) 避免两相近的数相减例 3:当 计算例 4 计算2,s i nc o  当 子出现相近数相减,将以上算式变形o i n)c o s1(s i nc o s1)c o s1(s i n)c o c o 24、 数值计算中应注意的问题( ) | | ( ) | | ( )r r y x yx y x y    数值分析数值分析3) 避免用绝对值小的数作除数)1 0 001 0 01(1 6 051 0 001 0 011 6 05 数值计算中应注意的问题22( ) | | ( ) | | ( )x y y y  数值分析数值分析常用的变换公式有4、 数值计算中应注意的问题1 1 11 ( 1 )x x x x1l n( 1 ) l n( ) l n( )  22l n ( 1 ) l n ( 1 )x x x x     si n( ) si n 2 c ) si    数值分析数值分析4) 合理安排计算步骤 ,减小运算次数简化计算步骤是提高程序执行速度的关键 , 它不仅可以节省时间 , 还能减少舍入误差 。例 4: 设 A、 B、 C、 020、 2050、 501、1100的矩阵,试按不同的算法求矩阵乘积 E=由矩阵乘法的结合律,可有如下算法1. E=(()D. 计算量 N=21490 E=A(B(. 计算量 N=242000 E=(A(D. 计算量 N=3080合理安排计算步骤 ,减小运算次数11( 1 )1 + )3 5 2 121 3 ! 5! ( 2 1 ) !    nx x x x=1,需要计算十万项取 13x ,只须计算前 9 项 解:例 5 计算 2 要精确到 510  . 数值分析数值分析误差的定性分析法: 即研究算法的数值稳定性。误差的定量分析 法 :关于稳定性问题需要区别有两种不同含义的稳定性概念,一种是关于解的稳定性(或数学问题的稳定性);第二种是数值方法的稳定性或简称数值稳定性。四、 误差的定性分析数值分析数值分析一个算法如果输入数据有扰动(即有误差),而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。四、 误差的定性分析关于稳定性问题需要区别有两种不同含义的稳定性概念,一种是关于解的稳定性(或数学问题的稳定性);第二种是数值方法的稳定性或简称数值稳定性。对数学问题而言,如果输入数据有微小扰动,引起输出数据(即数学问题的解)有很大扰动,则称数学问题是 病态问题 ,否则称为 良态问题 。数值分析数值分析舍入误差对计算结果影响很大1231 1 1112 3 61 1 1 132 3 4 12471113 4 5360                          考察方: 程组例1321  21  1 , 2 , . . . 851d x 例 计 算:11111 0051( 1 ) 55y d x x d    解 : 由8,..5有误差初值000001111555)51()51 (的误差数值分析数值分析0( 1 ) 5e y y e   同 理 得 的 误 差此算法是不稳定的1 1 1 1180 , 5 5 611651 1 1( ) 9 5 9n n n n n y y y y          10 5)2( 数值分析数值分析1,...,7,8)1((..51111000误差数值稳定的。位有效数字。此算法是有相同的与准确值85 2 3 2 1 5  由数值分析数值分析数值分析数值分析无条件稳定与条件稳定对任何输入数据都是稳定的算法称为无条件稳定。对某些数据稳定,而对另一些数据不稳定的算法称为 条件稳定 。22 0a x b x c  求例 二 次 方 程: 的 根 。21 , 224214b b  ,当 时 算 法方 法 :不 稳 定 。2121s ) 4210s )120b i b b ac   ,其中 此算法无方法 :条件稳定。数值分析数值分析例 3 在 F(10,4,9)数系中,求解二次方程:0163 2 02  按求根公式解得, 103, 10 ;解法 2)(24)(211221i g 解得 103 104果输入数据有微小扰动,引起输出数据(即数学问题的解)有很大扰动,则称数学问题是 病态问题 ,否则称为 良态问题 。病态问题与条件数数值分析数值分析28)33(,33100|||  化不大2 100( ) 1 1 5 031 f x x x x   数 学 问 题例 : : 求 在 处 的 值 。100 50( )   解 :,33,  有误差若。的根处是一个病态问题接近因此,此问题在 0)(3100 )()(|)3100( 数值分析数值分析2 ( ) 0x f x因 此 , 此 问 题 在 远 离 的 根 处 是一 个 良 态 问 题 。2( ) 1 1 5 0 22 f x x x x   数 学 问 题 : 求 在例 : 处 的 值 。, 有误差若( 2 ) 1 1 4 4f 解 :1)  ()(|)2(  ,0),()(  对应的函数值为,设两个不同的数据( ( ( ) ) C eC o nd f x如 果 能 找 到 一 个 数 满 足 , 则 称C 为 该 问 题 的 条 件 数 , 记 为 。( ) ( ),()rx x f x f f x相 对 误 差数值分析数值分析推导计算函数值的条件数))((')()(  '( )( ) ( ( ( ) )()xf xf x d f 函 数 值 的 条 件 数 为)(')(')('  的连续性,足够小时,由当f x f x f x x x( ) ( ) '( ) ( )  f x f x f x x x f x x( ) ( ) '( ) ( )( ) ( ) 于 是'( )() x (((,2406))(((,3100o o , 7, 11,12,13,14,15思考题, 9数值分析数值分析'' ( , )( , )( ( ( , ) )( , ) ( , )yx y f x yx f x yC o n d f x yf x y f x y答 案 :( , ) ( ( ( , ) ) .f x y C o n d f x 导 求 函 数 值 的 条 件 数
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